第一章1.1.1一、選擇題(每小題5分，共20分)1．在△ABC中，a＝5，b＝3，則sinA∶sinB的值是()A．eq\f(3,5) B．eq\f(5,3)C．eq\f(3,7) D．eq\f(5,7)解析：∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,b)＝eq\f(5,3).答案：B2．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3eq\r(2)，則AC＝()A．4eq\r(3) B．2eq\r(3)C．eq\r(3) D．eq\f(\r(3),2)解析：由正弦定理得eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，∴AC＝eq\f(BC·sinB,sinA)＝eq\f(3\r(2)×sin45°,sin60°)＝2eq\r(3).答案：B3．在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對(duì)邊，若eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，則△ABC是()A．等邊三角形 B．銳角三角形C．等腰直角三角形 D．任意三角形解析：把已知條件中式子eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)與正弦定理的關(guān)系式eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)對(duì)比，可得sinB＝cosB，sinC＝cosC，所以B＝C＝45°，A＝180°－(B＋C)＝90°.故△ABC是等腰直角三角形．答案：C4．下列對(duì)三角形解的情況的判斷中，正確的是()A．a(chǎn)＝4，b＝5，A＝30°，有一解B．a(chǎn)＝5，b＝4，A＝60°，有兩解C．a(chǎn)＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝120°，有一解D．a(chǎn)＝eq\r(3)，b＝eq\r(6)，A＝60°，無解解析：對(duì)于A，bsinA<a<b，故有兩解；對(duì)于B，b<a，故有一解；對(duì)于C，B＝120°且a>b，故無解；對(duì)于D，a<bsinA，故無解．答案：D二、填空題(每小題5分，共10分)5．在△ABC中，由“a>b”________推出“sinA>sinB”；由“sinA>sinB”________推出“a>b”．(填“可以”或“不可以”)解析：在△ABC中，必有sinB>0，由正弦定理得eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)，于是，若a>b，則eq\f(a,b)>1，則eq\f(sinA,sinB)>1.由sinB>0，可得sinA>sinB；反之，若sinA>sinB，由sinB>0，可得eq\f(sinA,sinB)>1，則eq\f(a,b)>1，a>b.答案：可以可以6．已知a，b，c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊，若a＝1，b＝eq\r(3)，A＋C＝2B，則sinA＝________.解析：∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，∴B＝eq\f(π,3)，∴由正弦定理，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，eq\f(1,sinA)＝eq\f(\r(3),sin\f(π,3)).∴sinA＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)三、解答題(每小題10分，共20分)7．在△ABC中，已知A＝30°，a＝eq\r(6)，b＝2eq\r(3)，求B.解析：在△ABC中，由正弦定理可得eq\f(\r(6),sin30°)＝eq\f(2\r(3),sinB)，解得sinB＝eq\f(\r(2),2).∵b>a，∴B>A.∴B＝45°或135°.8．在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，試求c及△ABC的外接圓半徑R.解析：∵A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)＝2R，∴c＝eq\f(a·sinC,sinA)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝5eq\r(6)，∴2R＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(10,\f(\r(2),2))＝10eq\r(2)，∴R＝5eq\r(2).eq\x(尖子生題庫) ☆☆☆9.(10分)在△ABC中，若acosA＝bcosB，試判斷△ABC的形狀．解析：由正弦定理，設(shè)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝k，則a＝ksinA，b＝ksinB，∴由acosA＝bcosB得