函數的概念教學設計漯河高中趙莉一、教學目標

1、知識與技能通過豐富的實例，讓學生①了解函數是非空數集到非空數集的一個對應；②了解構成函數的三要素；③理解函數概念的本質；④理解f(x)與f(a)（a為常數）的區別與聯系；⑤會求一些簡單函數的定義域。2．過程與方法在教學過程中，結合生活中的實例，通過師生互動、生生互動培養學生分析推理、歸納總結和表達問題的能力，在函數概念的構建過程中體會類比、歸納、猜想等數學思想方法。3、情感、態度與價值觀讓學生充分體驗函數概念的形成過程，參與函數定義域的求解過程以及函數的求值過程，使學生感受到數學的抽象美與簡潔美。二、教學重點、難點重點：函數的概念以及構成函數的三要素；難點：函數概念的形成及理解。三、學法與教學方法1、學法：2、教學方法：有效教學的課堂模式四、教學過程（一）創設情景、提出問題提問1：初中時函數的概念是如何定義的？[設計意圖：通過提問，學生復習了初中函數的概念，為提問2打下鋪墊，為引入本節課題，并為學習高中階段函數的概念作好準備。]生：一般地,設在一個變化過程中有兩個變量x、y,如果對于x的每一個值,y都有唯一的值與它對應,那么就說x是自變量,y是x的函數.提問2：?y=1是函數嗎？?y=x與是相同的函數嗎？【學情預設：學生可能回答的不盡相同】[設計意圖：通過提問，學生發現利用初中的概念很難回答這兩個問題，從而理解了從更深的高度學習函數概念的必要，從而引出了本節課題。]（二）師生互動、探究新知1、函數的有關概念師：下面我們共同看生活中的三個例子例1：一枚炮彈發射后,經過26s落到地面擊中目標.炮彈的射高為845m,且炮彈距地面的高度h(單位:m)隨時間t(單位:s)變化的規律是h=130t-5t2.例2：近幾十年來，大氣層中的臭氧迅速減少，因而出現了臭氧層空洞問題．圖中的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞的面積從年的變化情況．例3：國際上常用恩格爾系數反映一個國家人民生活質量的高低，恩格爾系數越低，生活質量越高．表中恩格爾系數隨時間（年）變化的情況表明，“八五”計劃以來，我國城鎮居民的生活質量發生了顯著變化．時間（年）19911992199319941995199619971998199920002023恩格爾系數（%）對于這三個實例，我分別提出一個問題請同學們思考：問題1：從炮彈發射到炮彈落地的時間內，集合A中是否存在某一時間t,在B中沒有高度h與之相對應？是否有兩個或多個高度與之相對應？問題2：從1979-2023年，集合A中是否存在某一時間t,在B中沒有面積S與之相對應？是否有兩個或多個面積與之相對應？問題3：從1991-2023年，集合A中是否存在某一時間t,在B中沒有恩格爾系數與之相對應？是否有兩個或多個恩格爾系數與之相對應？[設計意圖：通過三個問題的提問，著重向學生滲透集合與對應的觀點，這樣再用集合與對應的觀點描述函數是顯得不突兀]師：通過剛才的三個問題，請同學們總結出這三個實例的各自特點。生1：炮彈飛行時間的變化范圍是數集，炮彈距地面的高度h的變化范圍是數集，對應關系。從問題的實際意義可知，對于數集A中的任意一個時間t，按照對應關系，在數集B中都有唯一確定的高度h和它對應。生2：數集，，并且對于數集A中的任意一個時間t，按圖中曲線，在數集B中都有唯一確定的臭氧層空洞面積S和它對應。生3：數集A={1991,1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000,2023}，B={,,,,,,,,,}且對于數集A中的每一個時間，按表格，在數集B中都有唯一確定的恩格爾系數和它對應。【學情預設：學生能根據問題回答出這三個實例的各自特點，但語言可能不精準，教師應根據學生回答的情況進行補充和修正，滲透集合和對應的觀點】師：綜合3個例子的各自特點，我們能發現它們有什么共同特點？生：對于數集A中的每一個x，按照某種對應關系f，在數集B中都有唯一確定的y和它對應。師：對，同學們總結的非常好，這就是函數的定義（板書），我們共同大聲的把函數的定義讀出來生（共同）：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域．師：函數的概念既已形成，那么它的本質是什么呢？我們先看一個表格，請學號01-05的同學填寫上次考試的數學成績，之后回答下面3個問題：問題1：若學號構成集合A={01,02,03,04,05}，成績構成集合B={132,135,120,125,122}，f:上次考試數學成績，由A到B能否構成函數？問題2：若將問題1中集合A改為“A={杜杭，王麗，林晨晨，姚壯，田汶帥}”，其余條件不變，那么由A到B能否構成函數？問題3：若學號04的學生上次考試因病缺考，無成績，那么學號與成績能否構成函數？[設計意圖：通過提問，使學生對函數概念中關鍵詞的把握更準確，對函數概念的理解更直觀，為下面總結函數概念的本質特征打下基礎]ABfABf師：ABfABf[設計意圖：對函數概念的理解由具體到抽象，螺旋上升]師：在我們理解了函數是非空數集到非空數集的一對一或多對一的對應關系后，對于函數的概念，我們應該強調以下幾點：1、A,B都是非空數集；2、A中任意，B中唯一；3、函數的定義域為A；函數的值域{f(x)|x∈A}B；師：對于初中我們所學的一次函數，二次函數，反比例函數它們的定義域值域分別是什么呢？[設計意圖：通過提問，學生既復習了初中所學函數的圖像，又進一步加深了對定義域、值域概念的理解]生：函數圖像定義域值域y=kx+b(k0) y0 xRR(a>0)y0xR師：由以上分析我們知道函數有幾大要素？決定函數的主要因素是什么？生：函數有三要素：定義域、對應關系和值域，而決定因素是定義域和對應關系。（板書）師:回答的非常好！由同學們的回答我們可知：如果兩個函數的定義域，對應關系完全一致，則兩個函數相等，這是判斷兩函數相等的依據.（板書）2、區間的概念設a，b為實數，且a<b定義名稱符號數軸表示閉區間[a,b]開區間(a,b)半開半閉區間(a,b]半開半閉區間[a,b)oxoxy實數集R可以用區間表示為（-∞，+∞），并且，我們把滿足x≥a,x>a,x≤b,x<b的實數x的集合分別表示為[a,+∞),(a,+∞),(-∞,b],(-∞,b).提問：數集都可以用區間表示嗎？（學生討論）生1：單元素集合不能生2：離散的集合不能【師生互動：各種不能用區間表示的集合問題進行總結?！浚ㄈ┖献魈骄?、例題分析【師生互動】本節的例題和變式訓練將采用小組討論，合作探究的方式，由學生主講，不足部分可以由其他同學補充，最后教師點評類型一函數概念的應用xy0xyxy0xyoxoy1y1oxoyxyo1-1ABCCDE[設計意圖：考察對函數概念的理解，緊扣定義，驗證對于定義域內的每一個x，是否有唯一的函數值與之相對應]xo42yo°x4y21（2）已知A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|1≤yxo42yo°x4y21AB°??°??y4xo221x4y21o?CD[設計意圖：考察在函數的概念中，集合A就是函數的定義域，集合B包含函數的值域這一知識點]師:如果把題目條件改為，“以A為定義域，以B為值域的函數選哪個選項？”【學情預設：學生可能對B、C選項會有質疑】(3)與函數y＝x＋1相等的函數是(B)．A．y＝(x＋1)0B．C．y＝(eq\r(x＋1))2D．y＝|x＋1|[設計意圖：考察函數相等的條件，定義域和對應關系一致就是相等的函數，本題切入點是判斷他們的定義域和對應關系是否一致]類型二求函數的定義域【例2】求下列函數的定義域：(1)y＝eq\f(x＋12,x＋1)－eq\r(1－x)；(2)[設計意圖：函數問題首要考慮定義域，這貫穿了整個高中數學，是高考的重點，也是易漏點，本題設計目的讓學生對函數的定義域有直觀的認識，并能總結都有哪些類型的定義域問題]解：（1）要使函數有意義，∴即：∴定義域為(-∞,-1)∪(-1,1]（2）要使函數有意義，∴即：∴定義域為(-∞,-3)∪(-3,-2]∪(0,1)∪(1,+∞)【注：提示學生函數的定義域要用集合或區間的形式表示，不能用范圍表示】師：對于函數的定義域，我們大家討論一下我們目前學過的都有哪些類型？經過學生討論生1：1、如果f(x)是分式，那么函數的定義域是使分母不為0的實數的集合；2、如果f(x)為偶次根式，那么函數的定義域是使根號內的式子大于或等于0的實數的集合；3、如果f(x)是0次方式，那么函數的定義域是底數不為0的實數的集合。生2：我再補充一下：1、如果f(x)是整式，那么函數的定義域是實數集R；2、如果f(x)是由幾個部分的數學式子構成的，那么函數的定義域是使各部分式子都有意義的實數的集合師：同學生總結的非常好，我們把求函數定義域的類型進行一下歸總，有以下幾類：1、如果f(x)是整式，那么函數的定義域是實數集R；2、如果f(x)是分式，那么函數的定義域是使分母不為0的實數的集合；3、如果f(x)為偶次根式，那么函數的定義域是使根號內的式子大于或等于0的實數的集合；4、如果f(x)是0次方式，那么函數的定義域是底數不為0的實數的集合；5、如果f(x)是由幾個部分的數學式子構成的，那么函數的定義域是使各部分式子都有意義的實數的集合；6、如果函數有實際背景，那么除符合上述要求外，還要符合實際情況．類型三求函數值【例3】(1)已知①求的值；②當a>0時，求f(a),f(a-1)的值．解：①②因為a>0,所以f(a),f(a-1)有意義.[設計意圖：本題考查求函數值的問題，要特別注意f(a)與f(x)的區別，其中f(x)表示x對應的函數值，不是f乘x；而f(a)是指x=a時的函數值。]易錯題：函數y＝eq\f(x,kx2＋kx＋1)的定義域為R，則實數k的取值范圍為(B)A．k<0或k>4B．0≤k<4C．0<k<4D．k≥4或k≤0[設計意圖：本題是道易錯題，易錯點在于對參數的討論，考查有關函數的定義域問題，在遇到含有參數的問題時一定不能忘記對參數的討論，特別是最高次項系數有參數，要對系數進行討論]【學情預設：有些學生可能忘記考慮k=0那種情況，應重點給學生強調】（四）鞏固訓練，反饋練習1.下列對應法則是集合M上的函數的有()．①M＝Z，N＝N*,對應法則f：對集合M中的元素，取絕對值與N中的元素對應；②M＝{1，－1,2，－2}，N＝{1,4}，對應法則f：x→y＝x2，x∈M，y∈N；③M＝{三角形}，N＝{x|x＞0}，對應法則f：對M中的三角形求面積與N中的元素對應．A．1個B．2個C．3個D．0個2函數定義域為()A．(－∞，1]B．(－∞，2]C．(－∞，－eq\f(1,2)）∩(－eq\f(1,2)，1)D．(－∞，－eq\f(1,2))∪(－eq\f(1,2)，1]3．下列各組函數是相等函數的是________(只填序號)．①f(x)＝x－1，g(x)＝(eq\r(x－1))2；②f(x)＝|x－3|，；③f(x)＝eq\f(x2－4,x－2)，g(x)＝x＋2；④，g(x)＝eq\r(x－1)·eq\r(x－3).4．函數y＝f(x)的圖象與直線x＝a的交點()A．必有一個B．一個或兩個C．至多一個