第五節光波的疊加(Superpositionofwaves)

一、波的疊加原理兩個或多個光波在空間某一區域相遇時，發生光波的疊加。頻率、振幅、位相都不相同的光波疊加較復雜，本節只討論頻率相同或頻率相差很小的單色光波的疊加。實際光源發出的光波不能認為是余弦或正弦函數表示的單色光波，但可以將任何復雜的波動分解為一組由余弦函數和正弦函數表示的單色波之和。討論單色光波有實際意義。光波的疊加原理:幾個光波在相遇點產生的合振動是各個光波單獨在該點產生的振動的矢量和.疊加原理是波動光學的基本原理。1疊加結果為光波振幅

的矢量和，而不是光強

的和。

光波傳播的獨立性：兩個光波相遇后又分開，每個光波仍然保持原有的特性（頻率、波長、振動方向、傳播方向等）,按照原來的傳播方向繼續前進。疊加的合矢量仍然滿足波動方程的通解，一個實際的光場是許多個簡諧波疊加的結果。疊加原理只在入射光強度較弱的情況下成立,而當光波的強度很大(例如光強達1012V/m的激光)時，介質將產生非線性效應,疊加原理不再適用。疊加原理的特點:2疊加原理也是介質對光波的線性響應的一種反映。介質在電場的作用下會發生極化。光是一種電磁波。當光通過介質時，介質也會發生極化。極化與電場強度的一次方成正比，即隨電場線性的變化，但是當光的強度很高時，極化會隨電場非線性的變化。在外電場作用下，電介質的表面上出現束縛電荷的現象叫做電介質的極化。極化的總效果是介質邊緣出現電荷分布。3二、兩個頻率相同、振動方向相同的單色光波的疊加（一）代數加法設兩個頻率相同、振動方向相同的單色光波分別發自光源S1和S2，在空間某點P相遇，P到S1和S2的距離分別為r1和r2。兩光波各自在P點產生的光振動可以寫為根據疊加原理，P點的合振動為可見：P點的振動也是一個簡諧振動，振動頻率和振動方向都與兩單色光波相同，而振幅A和初位相分別由上兩式決定。4進一步：若兩個單色光波在P點振幅相等。即a1=a2=a則P點的合振幅：表示單個光波在P點的強度表示兩光波在P點的相位差在P點疊加的合振動的光強I取決于兩光波在疊加點的相位差。P點合振動的光強得P點光強有最小值，相位差介于兩者之間時，P點光強在0和4I0之間。P點光強有最大值，δ=±2m(m=0、1、2…)5下面把位相差表示為P到光源的距離r1、r2之差：由于：故：或：為單色光波在傳播介質中的波長為單色光波在真空中的波長,n為介質折射率6為光程差，記為表示從S1和S2到P點的光程之差。所謂光程，就是光波在某一種介質中所通過的幾何路程和這介質的折射率的乘積。采用光程概念的好處是，可以把光在不同介質中的傳播路程都折算為在真空中的傳播路程，便于進行比較。即光程差等于波長的整數倍時，P點有光強最大值即光程差等于波長的半整數倍時，P點的光強最小7兩光波在空間相遇，如果它們在源點發出時的初相位相同，則光波在疊加區相遇點的強度將取決于兩光波在該點的光程差或相位差。若在考察時間內，兩光波的初相位保持不變，光程差也恒定，則該點的強度不變，疊加區內各點的強度也不變，則在疊加區內將看到強弱穩定的強度分布，把這種現象稱為干涉現象，產生干涉的光波稱為相干光波，其光源稱為相干光源。實際光波產生干涉必須要滿足一些條件：兩疊加光波的位相差固定不變，光矢量振動方向相同，頻率相同。8二、復數方法：仍考慮兩束同向傳播的平面波的疊加問題，原光波的波函數可以分別寫成：合成波為同頻率的簡諧波：不同的初相位不同的振幅9其中如果，E10=E20

則有RiE10E20E010合成波的初位相等于原光波初位相的平均值；合成波的振幅為與原光波的位相差有密切關系。11當時，兩個波處處時時完全相加，合成振幅加倍。當時，兩個波處處時時完全抵消，和振幅為零，合成波不再存在。為其它值時，振幅介于2E10與零之間。12三、相幅矢量加法：相幅矢量：長度代表振動的振幅大小，它與ox軸的夾角等于該振動的位相角。xa2a1Aα1αα2o13駐波產生條件：兩個頻率相同、振動方向與大小相同而傳播方向相反的單色波的疊加。實現情況：光波垂直入射到反射比很高的介質分界面一、駐波的波函數：兩束反向傳播的源光波的波函數：設定E10=E20

，則合成波為：

14

兩頻率相同、振動方向相同而傳播方向相反的單色光波的疊加，例如垂直入射到兩種介質分界面的單色光波與反射波的疊加，產生駐波。駐波設反射面是Z=0的平面，假定界面的反射比很高，可以設入射波和反射波的振幅相等。入射波和反射波的表示式為15入射波與反射波疊加后的合成波為對于z方向上的每一點，隨時間的振動是頻率為的簡諧振動，相應的振幅隨z而變合成波上任意點的振動相位都相同，即波的位相與z無關。亦即不存在位相的傳播問題，故把這種波叫做駐波。反之稱為行波。16不同的z值處有不同的振幅，但極大值和極小值的位置不隨時間而變。振幅最大值的位置稱為波腹，其振幅等于兩疊加光波的振幅之和，而振幅為零的位置稱為波節。波腹的位置由下式決定波節的位置由下式決定相鄰波節（或波腹）之間的距離為相鄰波節和波腹間的距離為波節、波腹的位置不隨時間而變17若考慮反射面是z=0平面，z的方向指向入射波所在介質，介質折射率為n1；反射面后介質的折射率為n2，且n2﹥n1，則有(在垂直入射時有的位相躍變,即“半波損失”)。若介質分界面上的反射比不為1，則還同時存在行波。在激光理論中把穩定的駐波圖樣稱為縱模所謂“半波損失”，就是當光從折射率小的光疏介質射向折射率大的光密介質時，在入射點，反射光相對于入射光有相位突變π，即在入射點反射光與入射光的相位差為π，由于相位差π與光程差λ/２相對應，它相當于反射光多走了半個波長λ/２的光程，故這種相位突變π的現象叫做半波損失。半波損失僅存在于當光從光疏介質射向光密介質時的反射光中，折射光沒有半波損失。當光從光密介質射向光疏介質時，反射光也沒有半波損失。

18（一）合成光波偏振態的分析光源S1和S2發出兩個頻率相同而振動方向互相垂直的單色光波，其振動方向分別平行于x軸和y軸，并沿z軸方向傳播?？疾煸趜軸方向上任一點P處的疊加。兩光波在該處產生的光振動可寫為（假定S1和S2光振動的初相位為零）根據疊加原理，P點處的合振動為：合振動的大小和方向都是隨時間變化的四、兩個頻率相同、振動方向垂直的單色光波的疊加19消去參數t，得合振動矢量末端運動軌跡方程為其中這是一個橢圓方程式，表示在垂直于光傳播方向平面上，合振動矢量末端的運動軌跡為一橢圓，且該橢圓內接于邊長為2a1和2a2的長方形，橢圓長軸與x軸的夾角為2a12a2EyExy20把合矢量以角頻率周期旋轉，其矢量末端運動軌跡為橢圓的光稱為橢圓偏振光。兩個頻率相同，振動方向互相垂直且具有一定位相差的光波的疊加，一般可得到橢圓偏振光。橢圓的形狀取決于兩疊加光波的振幅比和相位差橢圓偏振光橢圓偏振光光矢量在垂直于光的傳播方向的平面內，按一定頻率旋轉(左旋或右旋)。如果光矢量的端點軌跡是一個橢圓，這種光叫做橢圓偏振光。21（1）整數倍時表示合矢量末端的運動沿著一條經過坐標原點其斜率為的直線進行，其合成光波是線偏振光。在垂直于傳播方向的平面內，光矢量只沿某一個固定方向振動，則稱為線偏振光，又稱為平面偏振光或線偏振光。幾種特殊情況EyExδ=022（2）的奇數倍時，表示合矢量末端的運動沿著一條經過坐標原點其斜率為的直線進行，其合成光波是線偏振光。EyExδ=π（3）的奇數倍時，這是一個正橢圓方程，其長、短軸分量分別在X、Y坐標軸上，表示合成光波是橢圓偏振光。EyExδ=3π/223光矢量在垂直于光的傳播方向的平面內，按一定頻率旋轉(左旋或右旋)。如果光矢量端點軌跡是一個圓，這種光叫做圓偏振光。圓偏振光若則合矢量末端運動軌跡是一個圓，此時合成光波是圓偏振光。24（4）當取其它值時，合成光波為任意取向的橢圓偏振光。EyEx3π/2<δ<2πEyExδ=0EyEx0<δ<π/2EyExδ=π/2EyExπ/2<δ<πEyExδ=πEyExπ<δ<3π/2EyExδ=3π/225右旋圓偏振光右旋橢圓偏振光規定：迎著光線看，光矢量順時針轉的稱右旋圓偏振光或橢圓偏振光）；光矢量逆時針轉的稱左旋圓偏振光（或橢圓偏振光）。左旋和右旋右旋左旋偏振光的旋向可以由兩疊加光波的相位差來決定26對于某一時刻，傳播路程上各點的合矢量末端位置構成一個螺旋線，螺旋線的空間周期為光波波長，各點場矢量的大小不一;其末端在與傳播方向垂直的平面上的投影為一個橢圓。zxy27橢圓偏振光的強度橢圓偏振光的強度恒等于合成它的兩個振動方向互相垂直的單色光波的強度之和，它與兩個疊加波的位相無關。此時不發生干涉。28（二）橢圓偏振參量間的關系一般，橢圓偏振光可以由合振動在坐標系xy中的分量Ex、Ey的振幅比和相位差表示，也可以由橢圓兩個主軸長度及主軸（長軸）相對于坐標軸x的方位角及旋轉方向來表示。2a12a2EyExy在正交坐標(x,y)中,橢圓偏振光E的分量Ex,Ey分別可表示為:y`x`在正交坐標(x`,y`)主軸系中,橢圓偏振光E的分量Ex`,Ey`分別可表示為:A1,A2是橢圓的長軸和短軸,正負號分別對應左旋和右旋.上式表示在主軸系中的一個正橢圓(11-132)(11-133)(11-140)(11-141)29兩坐標系之間光矢量的關系為:將(11-132),(11-133)及(11-140),(11-141)代入(11-142),(11-143)

:(11-142)(11-143)(11-144)上式表明,不管將橢圓偏振光投影在什么坐標下,兩個互相垂直分振動振幅的平方和是常數.進一步運算,可得(11-145)定義橢圓度ε,(11-146)

ε

<0時為右旋,ε>0時為左旋.30定義振幅比角β,(11-147)則可以求得(11-148)(11-149)上兩式給出了兩組坐標系中橢圓參量之間的關系.已知一組參量可求取另一組參量.一般說來,由比值A2/A1和角度Ψ兩參量就可以確定橢圓形狀及其在空間的取向,因此是橢圓偏振光的兩個基本參量.31五、兩個不同頻率的單色光的疊加

—光學拍光學拍是由兩個頻率接近、振幅相同、振動方向相同且在同一方向傳播的光形成的。(a)兩個單色波(b)合成波(c)合成波的振幅變化(d)合成波的強度變化32平均角頻率平均波數調制頻率調制波數合成波是一個頻率為而振幅受到調制的波，即振幅隨時間和位置在-2a與2a間變化,是一個低頻調制波33拍頻的應用：利用已知的一個光頻率w1，測量另一個未知的光頻率w2。當很小振幅變化緩慢，而光波的頻率很高，E變化極快。合成波的強度與A2成比例合成波的強度隨時間和位置在0～4a2之間變化，這種強度時大時小的現象稱為拍。拍頻等于，即等于振幅調制頻率的兩倍，或等于兩疊加單色光波頻率之差。34六、群速度和相速度1、相速度（Phasevelocity）：等位相面傳播的速度z或t352、群速度(Groupvelocity)：等振幅面傳播的速度z或t在真空中傳播時，波速相同，相速度和群速度相等。在色散介質中傳播時，不同頻率的光波傳播速度不同，合成波形在傳播過程中會