1數據結構課程的內容2第5章數組和廣義表（Arrays&Lists）5.1數組的定義5.2數組的順序表示和實現5.3矩陣的壓縮存儲5.4廣義表的定義5.5廣義表的存儲結構①元素的值并非原子類型，可以再分解，表中元素也是一個線性表（即廣義的線性表）。②所有數據元素仍屬同一數據類型。數組和廣義表的特點：一種特殊的線性表3順序存儲方式：按低地址優先（或高地址優先）順序存入一維數組。（難點是：多維數組與一維數組的地址映射關系）例1：已知二維數組Am,m按行存儲的元素地址公式是：

Loc(aij)=Loc(a11)+[(i-1)*m+(j-1)]*K,請問按列存儲的公式相同嗎？

答：盡管是方陣，但公式仍不同，要作修改：

Loc(aij)=Loc(a11)+[(j-1)*m+(i-1)]*K例2：〖00年計算機系考研題〗設數組a[1…60,1…70]的基地址為2048，每個元素占2個存儲單元，若以列序為主序順序存儲，則元素a[32,58]的存儲地址為

。根據列優先公式Loc(aij)=Loc(a11)+[(j-1)*m+(i-1)]*K得：LOC(a32,58)=2048+[(58-1)*60+(32-1)]*2＝8950答：請注意審題！想一想：若數組是a[0…59,0…69]，結果是否仍為8950？89504例3：【專科考研資格考試】假設有三維數組A7×9×8，每個元素用相鄰的6個字節存儲，存儲器按字節編址。已知A的起始存儲位置（基地址）為1000，末尾元素A[6][8][7]的第一個字節地址為多少？若按高地址優先存儲時，元素A[4][7][6]的第一個字節地址為多少？

答：

①末尾元素A[6][8][7]的第1個字節地址＝

1000+(7×9×8)×6－6=4018

②按高地址優先存儲時，元素A[4][7][6]的第1個字節地址＝提示：將第3維看作“頁碼”，前面兩維就是每頁上的二維數組。（高維地址計算通式參見清華殷人昆教材的解釋）3586只要計算出任一數組元素的地址，就能對其輕松地進行讀寫操作！計算地址的意義：5^……行指針向量a11a12…^a1nam1am2…^amn補充：數組的鏈式存儲方式—用帶行指針向量的單鏈表來表示。注：鏈式數組的運算請參見“稀疏矩陣的轉置”注意：本章所討論的數組與高級語言中的數組有所區別：高級語言中的數組是順序結構；而本章的數組既可以是順序的，也可以是鏈式結構，用戶可根據需要選擇。65.3矩陣的壓縮存儲討論：1.什么是壓縮存儲？若多個數據元素的值都相同，則只分配一個元素值的存儲空間，且零元素不占存儲空間。2.所有二維數組（矩陣）都能壓縮嗎？未必，要看矩陣是否具備以上壓縮條件。3.什么樣的矩陣具備以上壓縮條件？

一些特殊矩陣，如：對稱矩陣，對角矩陣，三角矩陣，稀疏矩陣等。4.什么叫稀疏矩陣？矩陣中非零元素的個數較少（一般小于5%）重點介紹稀疏矩陣的壓縮和相應的操作。7一、稀疏矩陣的壓縮存儲問題：如果只存儲稀疏矩陣中的非零元素，那這些元素的位置信息該如何表示？解決思路：對每個非零元素增開若干存儲單元，用來存放其所在的行號和列號，便可準確反映該元素所在位置。實現方法：將每個非零元素用一個三元組（i，j，aij）來表示，則每個稀疏矩陣可用一個三元組表來表示。二、稀疏矩陣的操作8例1：

三元素組表中的每個結點對應于稀疏矩陣的一個非零元素，它包含有三個數據項，分別表示該元素的

、

和

。行下標列下標元素值例2：寫出右圖所示稀疏矩陣的壓縮存儲形式。0

1290000

00000-30001400

0240000

18000015

00-700(1,2,12)

，(1,3,9)，(3,1,-3)，(3,5,14)，

(4,3,24)，(5,2,18)，(6,1,15)，(6,4,-7)解：至少有4種存儲形式。法1：用線性表表示：0

1290000

00000-30001400

024

0000

18000015

00-700()9法2：用三元組矩陣表示：0

1290000

00000-30001400

024

0000

18000015

00-700121213931-3351443245218611564-7注意：為更可靠描述，通常再加一行“總體”信息：即總行數、總列數、非零元素總個數668ijvalue稀疏矩陣壓縮存儲的缺點：012345678將失去隨機存取功能！10法三：用帶輔助向量的三元組表示。

方法：增加2個輔助向量：①記錄每行非0元素個數，用NUM（i）表示；②記錄稀疏矩陣中每行第一個非0元素在三元組中的行號，用POS（i）表示。76531211202NUM(i)6543POS(

i)21i0

1290000

00000-30001400

024

0000

18000015

00-700-7461516182524341453-3139311221866vji0123456783用途：便于高效訪問稀疏矩陣中任一非零元素。POS(i)如何計算？POS(1)＝1POS(i)＝POS(i-1)+NUM(i-1)11法四：用十字鏈表表示用途：方便稀疏矩陣的加減運算方法：每個非0元素占用5個域rightdownvji同一列中下一非零元素的指針同一行中下一非零元素的指針十字鏈表的特點：①每行非零元素鏈接成帶表頭結點的循環鏈表；②每列非零元素也鏈接成帶表頭結點的循環鏈表。則每個非零元素既是行循環鏈表中的一個結點；又是列循環鏈表中的一個結點，即呈十字鏈狀。122100H1931182512typedefstruct{

Triple

data[MAXSIZE+1];//三元組表，以行為主序存入一維向量

data[]中

intmu;//矩陣總行數

intnu;//矩陣總列數

inttu;//矩陣中非零元素總個數}TsMatrix;三元組表的順序存儲表示（見教材P98）對三元組表data[]的整體定義

#defineMAXSIZE125000//設非零元素最大個數125000typedefstruct{inti;//元素行號

intj;//元素列號

ElemTypee;//元素值}Triple;對表中每個結點的結構定義13二、稀疏矩陣的操作

0

12

90000

00000-30001400

0240000

18000015

00-7000

0–3001512

000180

90024000

0000-70

0140000

00000(1,2,12)(1,3,9)(3,1,-3)(3,5,14)(4,3,24)(5,2,18)(6,1,15)(6,4,-7)(1,3,-3)(1,6,15)(2,1,12)(2,5,18)(3,1,9)(3,4,24)(4,6,-7)(5,3,14)三元組表a.data三元組表b.data轉置后MT（以轉置運算為例）目的：14答：肯定不正確！除了：（1）每個元素的行下標和列下標互換（即三元組中的i和j互換）；還需要：（2）T的總行數mu和總列數nu也要互換；（3）重排三元組內各元素順序，使轉置后的三元組也按行（或列）為主序有規律的排列。上述（1）和（2）容易實現，難點在（3）。

若采用三元組壓縮技術存儲稀疏矩陣，只要把每個元素的行下標和列下標互換，就完成了對該矩陣的轉置運算，這種說法正確嗎？有兩種實現轉置的方法壓縮轉置快速(壓縮)轉置提問：15方法1：壓縮轉置思路：反復掃描a表（記為a.data）中的列序，從j=1～n依次進行轉置。三元組表a.data三元組表b.data①(1,3,-3)②(1,6,15)③(2,1,12)④(2,5,18)⑤(3,1,9)⑥(3,4,24)⑦(4,6,-7)⑧(5,3,14)(1,2,12)(1,3,9)(3,1,-3)(3,5,14)(4,3,24)(5,2,18)(6,1,15)(6,4,-7)1122colq1234討論：每個元素的列分量怎樣書寫？a.data[p].jp1234......16StatusTransPoseSMatrix(TSMatrixM,TSMatrix&T){T.mu=M.nu;T.nu=M.mu;T.tu=M.tu;if(T.tu){

q=1;for(col=1;col<=M.nu;col++){for(p=1;p<=M.tu;p++){if(M.data[p].j==col){T.data[q].i=M.data[p].j;T.data[q].j=M.data[p].i;

T.data[q].value=M.data[p].value;q++;}}}

}returnOK;}//TranposeSMatrix;壓縮轉置算法描述：（見教材P99）//用三元組表存放稀疏矩陣M，求M的轉置矩陣T//q是轉置矩陣T的結點編號//col是掃描M三元表列序的變量//p是M三元表中結點編號這里的M和T其實都是三元組表形式！17三元組表a.data三元組表b.data①(1,3,-3)②(1,6,15)③(2,1,12)④(2,5,18)⑤(3,1,9)⑥(3,4,24)⑦(4,6,-7)⑧(5,3,14)(6,4,-7)(6,1,15)(5,2,18)(4,3,24)(3,5,14)(3,1,-3)(1,3,9)(1,2,12)1122colq1234p1234......1、主要時間消耗在查找M.data[p].j=col的元素，由兩重循環完成:for(col=1;col<=M.nu;col++)循環次數＝列長度nu

{for(p=1;p<=M.tu;p++)循環次數＝非零元素個數tu壓縮轉置算法的效率分析：所以該算法的時間復雜度為O(nu*tu)----即M的列數與M中非零元素的個數之積最惡劣情況：M中全是非零元素，此時非零元素總數tu=mu*nu，時間復雜度為O(nu2*mu)注：若M中基本上是非零元素時，即使用傳統轉置算法的時間復雜度也不過是O(nu*mu)（程序見教材P99）結論：壓縮轉置算法不能濫用。前提：僅適用于非零元素個數很少（即tu<<mu*nu）的情況。18方法2

快速轉置三元組表a.data三元組表b.data③(1,3,-3)①(2,1,12)⑥(2,5,18)②(3,1,9)⑧(4,6,-7)④(5,3,14)⑦(1,6,15)⑤(3,4,24)(1,2,12)(1,3,9)(3,1,-3)(3,5,14)(4,3,24)(5,2,18)(6,1,15)(6,4,-7)思路：依次把a.data中的元素直接送入b.data的恰當位置上（即M三元組的p指針不回溯）。關鍵：怎樣尋找b.data的“恰當”位置？p1234q3519如果能預知M矩陣每一列(即T的每一行)的非零元素個數，又能預知第一個非零元素在b.data中的位置,則掃描a.data時便可以將每個元素準確定位（因為已知若干參考點）。技巧：先生成三元組表的兩個輔助向量，讓它攜帶每行（或列）的非零元素個數NUM(i)以及每行（或列）的第一個非零元素在三元組表中的位置POS(i)

等信息。設計思路：i123456NUM(i)202112POS(i)133567注：為實現轉置運算，應當按列生成

M矩陣的輔助向量計算式：POS(1)＝1POS(i)＝POS(i-1)+NUM(i-1)輔助向量的樣式：請注意a.data特征：每列首個非零元素必定先被掃描到。20令：M矩陣中的列變量用col表示；

num[col]：存放M中第col列中非0元素個數

cpot[col]：存放M中第col列的第一個非0元素的位置

（即b.data中待計算的“恰當”位置所需參考點）討論：求出按列優先的輔助向量后，如何實現快速轉置？col123456num[col]222110cpot[col]1計算式：cpot(1)＝1cpot[col]

＝

cpot[col-1]+num[col-1]

357890

12

90000

00000-30001400

0240000

18000015

00-700Mcol123456由a.data中每個元素的列信息，可以直接從輔助向量cpot[col]中查出在b.data中的“基準”位置，進而得到當前元素之位置。三元組表a.data(6,4,-7)(6,1,15)(5,2,18)(4,3,24)(3,5,14)(3,1,-3)(1,3,9)(1,2,12)colp1234...想一想：是從原始矩陣M中統計num[col]方便些，還是從對應的三元組表a.data中統計更方便？21StatusFastTransposeSMatrix（TSMatirxM,TSMatirx&T）{T.mu=M.nu;T.nu=M.mu;T.tu=M.tu;if(T.tu){for(col=1;col<=M.nu;col++)num[col]

=0;

for(i=1;i<=M.tu;i++){col=M.data[i].j;++num[col];}cpos[1]=1;

for(col=2;col<=M.nu;col++)cpos[col]=cpos[col-1]+num[col-1];for(p=1;p<=M.tu;p++)

{

col=M.data[p].j;q=cpos[col];T.data[q].i=M.data[p].j;T.data[q].j=M.data[p].i;T.data[q].value=M.data[p].value;

++cpos[col];}

//for}//ifreturnOK;}//FastTranposeSMatrix;快速轉置算法描述：//M是順序存儲的三元組表，求M的轉置矩陣T//先統計每列非零元素個數//再生成每列首元位置輔助向量//p指向a.data，循環次數為非0元素總個數tu//查輔助向量得q，即T中位置前3個for循環用來產生兩個輔助向量重要！修改向量內容（列坐標加1），預備給同列的下一非零元素定位之用元素轉置221.

與常規算法相比，附加了生成輔助向量表的工作。增開了2個長度為列長的數組(num[]和cpos[]）。傳統轉置：O(mu*nu)壓縮轉置：O(mu*tu)壓縮快速轉置：O(nu+tu)快速轉置算法的效率分析：2.

從時間上，此算法用了4個并列的單循環，而且其中前3個單循環都是用來產生輔助向量表的。

for(col=1;col<=M.nu;col++){};循環次數＝nu;

for(i=1;i<=M.tu;i++){};循環次數＝tu;

for(col=2;col<=M.nu;col++){};循環次數＝nu;

for(p=1;p<=M.tu;p++){};循環次數＝tu;

該算法的時間復雜度＝nu+tu+nu+tu=O(nu+tu）討論：最惡劣情況是矩陣中全為非零元素，此時tu=nu*mu而此時的時間復雜度也只是O(mu*nu)，并未超過傳統轉置算法的時間復雜度。小結：稀疏矩陣相乘的算法略，見教材P101-103增設輔助向量，犧牲空間效率換取時間效率。235.4廣義表的定義廣義表是線性表的推廣，也稱為列表（lists）記為：LS=(a1,a2,……，an)

廣義表名表頭(Head）表尾(Tail)1、定義：①第一個元素是表頭，而其余元素組成的表稱為表尾；②用小寫字母表示原子類型，用大寫字母表示列表。n是表長在廣義表中約定：討論：廣義表與線性表的區別和聯系？廣義表中元素既可以是原子類型，也可以是列表；當每個元素都為原子且類型相同時，就是線性表。242、特點：有次序性有長度有深度可遞歸可共享一個直接前驅和一個直接后繼＝表中元素個數＝表中括號的重數自己可以作為自己的子表可以為其他廣義表所共享特別提示：任何一個非空表，表頭可能是原子，也可能是列表；但表尾一定是列表。25E=(a,E)=(a,(a,E))=(a,(a,(a,…….)))，E為遞歸表1）A=()2）B=(e)3）C=(a,(b,c,d))4）D=(A,B,C)5）E=(a,E)例1：求下列廣義表的長度。n=0，因為A是空表n=1，表中元素e是原子n=2，a為原子，(b,c,d)為子表n=3，3個元素都是子表n=2，a為原子，E為子表D=(A,B,C)=((),(e),(a,(b,c,d)))，共享表26ABDCeabcd②A=(a,(b,A))例2：試用圖形表示下列廣義表.（設代表子表，

代表元素）

e①D=(A,B,C)=((),(e),(a,(b,c,d)))Aab①的長度為3，深度為3②的長度為2，深度為∞深度＝括號的重數＝結點的層數27介紹兩種特殊的基本操作：GetHead(L)——取表頭(可能是原子或列表);GetTail(L)——取表尾(一定是列表)

。廣義表的抽象數據