機動目錄上頁下頁返回結束高階線性微分方程第三節一、線性齊次微分方程解的結構三、常系數線性齊次微分方程

五、Euler方程

第十章二、線性非齊次微分方程解的結構四、常系數線性非齊次微分方程

證畢一、線性齊次微分方程解的結構是二階線性齊次方程的兩個解,也是該方程的解.證:代入方程左邊,得(疊加原理)

定理1.機動目錄上頁下頁返回結束說明:不一定是所給二階方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解并不是通解但是則為解決通解的判別問題,下面引入函數的線性相關與線性無關概念.機動目錄上頁下頁返回結束定義:是定義在區間I

上的

n個函數,使得則稱這

n個函數在I

上線性相關,否則稱為線性無關.例如，

在(,)上都有故它們在任何區間I

上都線性相關;又如，若在某區間

I

上則根據二次多項式至多只有兩個零點,必需全為0,可見在任何區間

I

上都線性無關.若存在不全為

0

的常數機動目錄上頁下頁返回結束兩個函數在區間I

上線性相關與線性無關的充要條件:線性相關存在不全為0的使(無妨設線性無關常數思考:中有一個恒為0,則必線性相關(證明略)線性無關機動目錄上頁下頁返回結束定理2.是二階線性齊次方程的兩個線性無關特解,則數)是該方程的通解.例如,方程有特解且常數,故方程的通解為(自證)

推論.是

n

階齊次方程的n

個線性無關解,則方程的通解為機動目錄上頁下頁返回結束二、線性非齊次方程解的結構

是二階非齊次方程的一個特解,Y(x)是相應齊次方程的通解,定理3.則是非齊次方程的通解.證:

將代入方程①左端,得②①復習目錄上頁下頁返回結束是非齊次方程的解,又Y中含有兩個獨立任意常數,例如,

方程有特解對應齊次方程有通解因此該方程的通解為證畢因而②也是通解.機動目錄上頁下頁返回結束定理4.分別是方程的特解,是方程的特解.(非齊次方程之解的疊加原理)定理3,定理4均可推廣到n

階線性非齊次方程.機動目錄上頁下頁返回結束定理5.是對應齊次方程的n

個線性無關特解,給定n

階非齊次線性方程是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解機動目錄上頁下頁返回結束常數,則該方程的通解是().設線性無關函數都是二階非齊次線性方程的解,是任意例1.提示:都是對應齊次方程的解,二者線性無關.(反證法可證)機動目錄上頁下頁返回結束例2.

已知微分方程個解求此方程滿足初始條件的特解.解:是對應齊次方程的解,且常數因而線性無關,故原方程通解為代入初始條件故所求特解為有三機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束三、常系數線性齊次微分方程

基本思路:求解常系數線性齊次微分方程求特征方程(代數方程)之根轉化二階常系數齊次線性微分方程:和它的導數只差常數因子,代入①得稱②為微分方程①的特征方程,1.當時,②有兩個相異實根方程有兩個線性無關的特解:因此方程的通解為(r

為待定常數),①所以令①的解為②則微分其根稱為特征根.機動目錄上頁下頁返回結束2.當時,

特征方程有兩個相等實根則微分方程有一個特解設另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,則得因此原方程的通解為機動目錄上頁下頁返回結束3.當時,

特征方程有一對共軛復根這時原方程有兩個復數解:利用解的疊加原理,得原方程的線性無關特解:因此原方程的通解為機動目錄上頁下頁返回結束小結:特征方程:實根特征根通解以上結論可推廣到高階常系數線性微分方程.機動目錄上頁下頁返回結束若特征方程含k

重復根若特征方程含k

重實根r,則其通解中必含對應項則其通解中必含對應項特征方程:推廣:機動目錄上頁下頁返回結束例1.的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解為例2.

求解初值問題解:

特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為機動目錄上頁下頁返回結束例3.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解為例5.解:

特征方程:特征根:原方程通解:(不難看出,原方程有特解推廣目錄上頁下頁返回結束例4.解:特征方程:即其根為方程通解:機動目錄上頁下頁返回結束例5.解:

特征方程:特征根為則方程通解:機動目錄上頁下頁返回結束內容小結特征根:(1)當時,通解為(2)當時,通解為(3)當時,通解為可推廣到高階常系數線性齊次方程求通解.練習:求方程的通解.答案:通解為通解為通解為思考題為特解的4階常系數線性齊次微分方程,并求其通解.解:

根據給定的特解知特征方程有根:因此特征方程為即故所求方程為其通解為機動目錄上頁下頁返回結束三、n階常系數齊次線性方程解法特征方程為特征方程的根微分方程通解中的對應項(ii)一對單復根r1,2＝(iv)一對k重復根r1,2＝(iii)k重實根r(i)單實根r給出一項：Cerx給出兩項：給出k項：給出2k項：四、常系數線性非齊次微分方程根據解的結構定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數.①—待定系數法機動目錄上頁下頁返回結束特款：λ=0時，f(x)=Pm(x)

多項式型:而多項式與指數函數乘積的導數仍是同一類型的函數，可以推測:

把y*、y*′、y*〞代入方程①看能否選取適當的Q(x)，使它滿足方程①。是方程①的特解1.

為實數,設特解為其中為待定多項式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為為m

次多項式.Q(x)為

m次待定系數多項式機動目錄上頁下頁返回結束(2)若是特征方程的單根

,為m

次多項式,故特解形式為(3)若是特征方程的重根,是m

次多項式,故特解形式為小結對方程①,此結論可推廣到高階常系數線性微分方程.即即當是特征方程的k重根時,可設特解機動目錄上頁下頁返回結束例1.的一個特解.解:

本題而特征方程為不是特征方程的根.設所求特解為代入方程:比較系數,得于是所求特解為機動目錄上頁下頁返回結束例2.

的通解.

解:本題特征方程為其根為對應齊次方程的通解為設非齊次方程特解為比較系數,得因此特解為代入方程得所求通解為機動目錄上頁下頁返回結束例3.

求解定解問題解:本題特征方程為其根為設非齊次方程特解為代入方程得故故對應齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得機動目錄上頁下頁返回結束于是所求解為解得機動目錄上頁下頁返回結束例4

寫出下列方程的通解形式解(3)特征方程r2–r=0,r=0,1(1)特征方程r2–1=0,r=1(2)特征方程r2–2r+1=0,r=1,1（二重根）2.第二步求出如下兩個方程的特解分析思路:第一步將f(x)轉化為第三步利用疊加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特點機動目錄上頁下頁返回結束利用歐拉公式m=max{l，n}其中k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1。注意上述結論可推廣到n階常系數非齊次線性微分方程.其中k是特征方程中含根λ+iω（或λ－iω）的重復次數。小結:對非齊次方程則可設特解:其中為特征方程的

k

重根(k=0,1),上述結論也可推廣到高階方程的情形.機動目錄上頁下頁返回結束例5.

的一個特解

.解:本題特征方程故設特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數,得于是求得一個特解機動目錄上頁下頁返回結束例6.

的通解.

解:特征方程為其根為對應齊次方程的通解為比較系數,得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根,因此設非齊次方程特解為機動目錄上頁下頁返回結束例7.解:(1)特征方程有二重根所以設非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設非齊次方程特解為設下列高階常系數線性非齊次方程的特解形式:機動目錄上頁下頁返回結束解：對應于f1(x)=1，可令y1*=A，易求得

對應于f2(x)=－cos2x，易知

所以例8.

求y〞+4y=2sin2x的滿足初始條件y|x=0=0，

y′|x=0=1的特解。

由初始條件可得

所求特解為y|x=0=0，y′|x=0=1內容小結為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則設特解為為特征方程的k(＝0,1)重根,則設特解為3.上述結論也可推廣到高階方程的情形.機動目錄上頁下頁返回結束五、歐拉方程則機動目錄上頁下頁返回結束則由上述計算可知:用歸納法可證于是歐拉方程轉化為常系數線性方程:機動目錄上頁下頁返回結束例1.解:則原方程化為亦即其根則①對應的齊次方程的通解為特征方程①機動目錄上頁下頁返回結束①的通解為換回原變量,得原方程通解為設特解:代入①確