2.1拉普拉斯變換的概念

由上章可知，需進行傅氏變換的函數應滿足傅氏積分存在定理的兩個條件，即(1)在任一有限區間上滿足狄利克雷條件；(2)在無限區間上絕對可積．而傅氏變換存在兩個缺點．缺點1：條件(2)過強．在實際應用中，許多函數不能滿足條件(2)．

[案例]單位階躍函數、正弦函數、余弦函數等，雖滿足狄利克雷條件，但非絕對可積．因此，對這些函數就不能進行古典意義下的傅氏變換．盡管在上一節里，通過引入δ函數，在廣義下對非絕對可積函數進行了傅氏變換，但δ函數使用很不方便.2.1.1拉普拉斯積分1.拉普拉斯積分

缺點2：進行傅氏變換的函數須在上有定義．

[案例]在物理、無線電技術、機械工程等實際應用中，許多以時間t為自變量的函數在t＜0時是無意義的或者是無需考慮的.因此，對這些函數也不能進行傅氏變換．

由此可見，傅氏變換的應用范圍受到了極大的限制，必須對傅里葉變換進行改造．

基本想法使得函數在t<

0的部分補零(或者充零)；使得函數在t>

0的部分盡快地衰減下來。(1)將函數乘以一個單位階躍函數

，(2)將函數再乘上一個衰減指數函數

，這樣，就有希望使得函數滿足

Fourier變換的條件，從而對它進行

Fourier

變換。如何對

Fourier

變換進行改造？

將上式中的記為

s，就得到了一種新的積分：實施結果拉普拉斯積分復頻函數復頻率

可以預見，上述積分是收斂的。例2.1求單位階躍函數的拉普拉斯積分解積分在b→+∞時，當且僅當Re(s)>0才有極限，因此例2.2

求的拉普拉斯積分根據定義解（其中α為任意復數）例2.3

求正弦函數

的復頻函數

解

定理2.1

若函數f(t)滿足:2.拉普拉斯積分存在定理1,在t0的任一有限區間上分段連續2,當t時,

f(t)的增長速度不超過某一指數函數,即存在常數M>0及c0,使得

|f(t)|Mect,0t<則f(t)的拉普拉斯積分在半平面Re(s)>c上一定存在,右端的積分在Re(s)c1>c上絕對收斂而且一致收斂,并且在Re(s)>c的半平面內,

F(s)為解析函數.2.拉普拉斯積分存在定理則象函數在半平面上一定存在且解析。(1)在任何有限區間上分段連續；(2)具有有限的增長性，即存在常數

c

及，使得，設函數當時，滿足：定理(其中，c

稱為函數的“增長”指數)。證明(略)

兩點說明(1)像函數的存在域一般是一個右半平面

,即只要復數s的實部足夠大就可以了。只有在非常必要時才特別注明。因此在進行Laplace變換時，常常略去存在域，即函數等價于函數(2)在

Laplace

變換中的函數一般均約定在t<0時為零，比如定義2.1

設函數當時有定義，且廣義積分數為s的函數在s的某一區域內收斂，則由此積分確定的參

(2-3)叫做函數的拉普拉斯變換，記作

函數

叫做變換的像原函數．2.1.2拉普拉斯變換函數F(s)也可叫做的像函數．例2.4求函數的拉普拉斯積分解

例2.5

求函數的拉普拉斯變換因為

解（其中k為任意復數）所以

采用同樣的方法我們可得由前面的例題，我們可得拉普拉斯變換公式：(G函數簡介)

例2.6

求狄立克雷函數

的拉氏變換。

在具體求解運算之前，先把拉普拉斯變換中積分下限的問題加以澄清。

若函數f(t)滿足拉普拉斯積分存在定理，在t=0處有界，此時積分中的下限取0+或0-不會影響其結果，但當f(t)在t=0處為δ函數，或包含了δ函數時，拉氏積分的下限就必須明確指出是0+還是0-，因為稱為0+系統，在電路上0+表示換路后的初始時刻；解稱為0-系統，在電路上0-表示換路后的初始時刻；可以證明，當f(t)在t=0附近有界時，則即當f(t)在t=0處包含一個δ函數時即

為此，將進行拉氏變換的函數f(t)，當t≥0時的定義擴大到當t>0及t=0的任意一個領域。這樣拉氏變換的定義應為為書寫方便，該定義仍寫為原來的形式。即同理

解

先對作拉氏變換的拉氏變換為用羅必達法則計算此極限，得所以

方法2：同理

例2.7

求函數的拉普拉斯變換解δ函數的篩選性質G-

函數

(

gamma函數)

簡介附：G-

函數定義為定義性質證明特別地，當m

為正整數時，有(返回)關于含沖激函數的

Laplace

變換問題附：

當函數在附近有界時，的取值將不會影響其

Laplace

變換的結果。對積分下限分別取和可得到下面兩種形式的

L