第三章曲面立體§3-2曲面§3-5直線和曲面立體相交§3-4平面與曲面立體相交§3-1曲線§3-3曲面立體的投影§3-6平面立體和曲面立體相交§3-7兩曲面立體相交§3-1曲線一、曲線的形成曲線可以看成是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成的軌跡。二、曲線的分類1．平面曲線：曲線上所有的點(diǎn)都屬于同一平面的稱為平面曲線。如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等。2．空間曲線：曲線上任意連續(xù)四個(gè)點(diǎn)不屬于同一平面的稱為空間曲線。如圓柱正螺旋線等。三、曲線的投影

1、任意曲線的投影：曲線是由點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而形成，只要作出曲線上一系列點(diǎn)的投影，并將各點(diǎn)的同面投影依次光滑地連接起來，即得該曲線的投影。2、投影面垂直面上圓的投影o′oo1用換面法求正垂圓的H面投影ROoo′VH3、圓柱螺旋線的形成

形成：

一動(dòng)點(diǎn)沿著一直線等速移動(dòng)，而該直線同時(shí)繞與它平行的一軸線等角速旋轉(zhuǎn)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是一根圓柱螺旋線。直線旋轉(zhuǎn)時(shí)形成圓柱面，叫導(dǎo)圓柱，圓柱螺旋線是圓柱面上的一根曲線。當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)一周，回到原來位置時(shí)，動(dòng)點(diǎn)在該直線上移動(dòng)的距離（S）叫導(dǎo)程。直線旋轉(zhuǎn)的方向叫旋向,分左旋、右旋。S右螺旋線S左螺旋線導(dǎo)圓柱螺旋線78910111210234560′1′7′2′3′4′5′6′8′9′10′11′12′螺旋線的作圖

由導(dǎo)圓柱直徑D和導(dǎo)程S畫出導(dǎo)圓柱的H、V投影。將H投影的圓周分為若干等分（圖中為12等分）；根據(jù)旋向，注出各點(diǎn)的順序號，如0、1、2、3……12。將V面上的導(dǎo)程投影s相應(yīng)地分成同樣等分（圖中12等分），自下向上依次編號，如0、1、2、……12。自H投影的各等分點(diǎn)0、1、2……12向上引垂線，與過V面投影的各同名分點(diǎn)1、2……引出的水平線相交于0′、1′、2′……12′。將0′、1′、2′……12′各點(diǎn)光滑連接即得螺旋線的V面投影，它是一條正弦曲線。若畫出圓柱面，則位于圓柱面后半部的螺旋線不可見，畫成虛線。若不畫出圓柱面，則全部螺旋線（0′、１′～12′）均可見，畫成粗實(shí)線。螺旋線的H投影與導(dǎo)圓柱的H投影重合，為一圓周。S§3-2曲面一、曲面的形成

曲面可視為一條動(dòng)線在空間運(yùn)動(dòng)的軌跡。

母線——形成曲面的動(dòng)線，曲線或直線。導(dǎo)點(diǎn)、導(dǎo)線、導(dǎo)面——控制母線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的不動(dòng)點(diǎn)、線、面。導(dǎo)線可以是直線或曲線。導(dǎo)面可以是平面或曲面。素線——母線在曲面上任意的一個(gè)停留位置軸（導(dǎo)線）母線素線二、曲面的分類

母線作規(guī)則運(yùn)動(dòng)形成規(guī)則曲面，作不規(guī)則運(yùn)動(dòng)形成不規(guī)則曲面。回轉(zhuǎn)曲面非回轉(zhuǎn)曲面直線回轉(zhuǎn)面曲線回轉(zhuǎn)面——可展曲面（如圓柱面、圓錐面）不可展曲面（如單葉雙曲面）

不可展曲面（如圓球面）曲面直線面可展曲面（如柱面、錐面）不可展曲面（如雙曲拋物面）曲線面—不可展曲面（如自由曲面）三、回轉(zhuǎn)曲面

1、直線回轉(zhuǎn)曲面

直母線AB繞平行的軸線OO旋轉(zhuǎn)形成圓柱面

直母線SA繞相交的軸線SO旋轉(zhuǎn)形成圓錐面直母線AB繞交叉的軸線OO旋轉(zhuǎn)形成單葉雙曲面OOOOAB

OASAB2、單葉雙曲回轉(zhuǎn)面的投影作圖

由于母線上每一點(diǎn)的回轉(zhuǎn)的軌跡是緯圓，母線的任一位置都稱為素線，所以回轉(zhuǎn)面是由一系列緯圓，或一系列素線（此例既有直素線，又有雙曲線素線）所組成。母線的上、下端點(diǎn)A、B形成的緯圓，分別稱作頂圓、底圓，母線至軸線距離最近的一點(diǎn)E所形成的緯圓，稱作頸圓。

a′b′ab

e

e′頸圓半徑a′b′ab

作圖步驟

1、先作過母線兩端點(diǎn)A、B的緯圓，以軸線的H投影o為圓心，分別以oa、ob為半徑作圓，即為單葉雙曲回轉(zhuǎn)面的頂圓、底圓的投影。

2、從兩緯圓（頂圓、底圓）的點(diǎn)A和B開始，各分為相同的等分，如十二等分。

3、作出單葉雙曲回轉(zhuǎn)面的V投影輪廓線。即引平滑曲線作為包絡(luò)線與各素線的V投影相切，這是雙曲線，在V投影中是可見與不可見的分界線。前半曲面可見，后半曲面不可見，素線的可見性與其所屬曲面的可見性相同。123456789101112121124567891013a′b′ab3、單葉雙曲回轉(zhuǎn)面的應(yīng)用某電廠冷凝塔四、非回轉(zhuǎn)直線曲面1、柱面柱面的形成：一直線沿著一曲導(dǎo)線移動(dòng)，并始終平行于一直導(dǎo)線而形成的曲面稱為柱面。曲導(dǎo)線可以是閉合的或不閉合的，ABH柱面的投影畫直導(dǎo)線AB和曲導(dǎo)線的H、V投影畫出柱面輪廓素線的V、H投影a′b′ab柱面的應(yīng)用柱面

2、錐面錐面的形成：一直母線沿一條曲導(dǎo)線連續(xù)運(yùn)動(dòng)，并始終通過一定點(diǎn)而形成的曲面稱為錐面。錐面的投影導(dǎo)線H母線導(dǎo)點(diǎn)錐面的應(yīng)用下斜斗褲叉三通錐狀面

3、柱狀面

柱狀面的形成：

一直母線沿兩條曲導(dǎo)線滑動(dòng)，并始終平行于一個(gè)導(dǎo)平面而形成的曲面。H柱狀面投影的投影①畫出曲導(dǎo)線L1和L2的H、V、W投影如l1、l1′、l1″和l2、l2′、l2″（亦可用兩面投影表示）。②畫導(dǎo)平面P的積聚投影PH。若P平行于一投影面時(shí)，則PH可以不畫。③畫出起、止素線和若干中間素線的三面投影。由于各素線是側(cè)平線，宜先畫出其H或V投影，再畫W投影。④畫出曲面各投影的輪廓線。如素線Ⅴ

Ⅵ是曲面的W投影的輪廓線，其W投影為5″6″。l2l1l1′l2′l1″l2″12341′(2′)3′(4′)(3″)1″(4″)2″5″6″5′6′56柱狀面的應(yīng)用柱狀面

拱門管道4、錐狀面

錐狀面的形成

一直母線沿一直導(dǎo)線和曲導(dǎo)線連續(xù)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)始終平行于一導(dǎo)平面，這樣形成的曲面稱為錐狀面。H

錐狀面的投影

①畫出直導(dǎo)線AB、曲導(dǎo)線L的V、H、W投影，導(dǎo)平面P∥V面，積聚投影PH不必畫出。

②畫若干素線的H、V、W投影。由于各素線平行于V，它們的H投影平行于OX軸，宜先畫H投影，再畫V投影。

③畫錐狀面的V投影輪廓線。aba″b″a′b′錐狀面的應(yīng)用——屋面P5雙曲拋物面

雙曲拋物面的形成

由一直母線沿兩條相叉的直導(dǎo)線滑動(dòng)，并始終平行于一個(gè)導(dǎo)平面而形成的曲面，稱為雙曲拋物面。HAB≡bC≡cD

ad

雙曲拋物面的投影

①畫出兩直導(dǎo)線AB和CD的H、V投影ab、a′b′、cd、c′d′。畫出導(dǎo)平面P的H投影PH。②畫若干素線的H、V投影。為此分直導(dǎo)線AB為若干等分，例如六等分，得各分點(diǎn)的H投影由于各素線平行于導(dǎo)平面P，它們的H投影必平行于PH。③畫出與各素線V投影相切的包絡(luò)線。這是一根拋物線。④判別曲面V投影的可見性，即判別各素線V投影的可見性。abcda′b′c′d′PH雙曲拋物面的應(yīng)用屋面岸坡過渡雙曲拋物面

6圓柱正螺旋面（簡稱：正螺旋面）S/2圓柱正螺旋面(錐狀）的形成

當(dāng)一直母線沿一條圓柱螺旋線及該螺旋線的軸線滑動(dòng)，并始終平行于與軸線垂直的導(dǎo)平面而形成的曲面。圓柱正螺旋面是錐狀面的一種特例。圓柱正螺旋面的投影

①畫出直導(dǎo)線和曲導(dǎo)線（螺旋線）的H、V投影。②畫出若干素線的H、V投影（圖中畫的12條）,素線的H投影是過螺旋線的各分點(diǎn)的H投影引向圓心的直線，素線的V投影是過螺旋線上各分點(diǎn)的V投影引到軸線的水平線。123456789101112S1′2′3′4′5′7′6′8′9′10′13′11′12′

圓柱正螺旋面(柱狀）的投影

大圓柱和小圓柱之間的螺旋面，螺旋線ⅠⅡⅢ……和Ⅰ1Ⅱ1Ⅲ1……之間的螺旋面是柱狀面的特例。作圖方法與前面的螺旋線一樣，只是作兩條螺旋線，兩條螺旋線之間部分即為螺旋面。S

圓柱正螺旋面(柱狀）的應(yīng)用

螺旋扶手（右旋）

作圖步驟：（左旋）1、畫扶手頂面（螺旋面）的V投影。畫出頂面內(nèi)、外螺旋線的V投影。2、畫扶手底面可見螺旋線的V投影。由扶手的H投影可知扶手前半的外側(cè)圓柱面可見，后半的內(nèi)側(cè)圓柱面可見；所以，由螺旋面頂面內(nèi)螺旋線一圈的先3/4段上各點(diǎn)和外螺旋線一圈的后3/4段上各點(diǎn)（由4′～13′點(diǎn)）均向下移動(dòng)一個(gè)扶手厚度的距離，得相應(yīng)各點(diǎn)，再分別用曲線依次光滑連接即得。3、加深可見圖線。10234567891011121314151617181920

螺旋樓梯的投影(左旋）畫圖步驟：1、畫軸線及中心線；在H面上由直徑D1、D分別畫圓，即螺旋樓梯內(nèi)、外側(cè)圓柱面的H投影；按左旋方向和步級數(shù)16，從水平中心線的左側(cè)開始，將內(nèi)外圓周分成16等分，得到相應(yīng)踢面在H面上的積聚投影；內(nèi)外圓周間的12個(gè)扇形，即相應(yīng)踏面在H面上的實(shí)形投影。至此，完成螺旋樓梯的H投影。在V面軸線上定導(dǎo)程S，且將S作16等分，并將所得分點(diǎn)編號0~16。2、畫各踢面的V投影。每一踢面均是垂直于H面的矩形，矩形下邊線的序號與V面上中軸線上的等分序號相同，根據(jù)其H投影可畫出V投影。軸線左側(cè)的踢面可見,右側(cè)踢面不可見，畫成虛線。軸線右側(cè)的底面可見。這里，每一矩形踢面的上邊線位置即是同級踏面的V投影積聚位置，踏面積聚投影長度由相應(yīng)踏面的H投影確定。3、在V投影中畫可見的螺旋線。4、改正圖線，完成全圖。9101112131415161可見性參考§3-3曲面立體的投影圓柱的投影及表面取點(diǎn)圓錐的投影及表面取點(diǎn)圓球的投影及表面取點(diǎn)圓環(huán)的投影及表面取點(diǎn)曲面立體——表面包含有曲面的立體,如圓柱、圓錐、圓球、圓環(huán)等。曲面立體大多為回轉(zhuǎn)體,按其母線不同,可分為直紋曲面和非直紋曲面。1曲面立體的形成曲面立體由曲面或曲面和平面所圍成。有的曲面立體有輪廓線，即表面之間的交線，如圓柱的頂面與圓柱面的交線圓；有的曲面立體有尖點(diǎn)，如圓錐的錐頂；有的曲面立體全部由光滑的曲面所圍成，如球。2曲面立體的畫法在畫曲面的投影時(shí)，除了畫出輪廓線（表面之間的交線）和尖點(diǎn)外，還要畫出曲面投影的轉(zhuǎn)向輪廓線。轉(zhuǎn)向輪廓線是切于曲面的諸投影線與投影面的交點(diǎn)的集合，也就是由這些投影線所組成的平面或柱面與曲面的相切的直線或曲線的投影，在投影圖中，也常常是曲面的可見投影和不可見投影的分界線。因此，曲面在正面投影、水平投影、側(cè)面投影中的轉(zhuǎn)向輪廓線，是曲面上不同位置的曲線或直線的投影。由此可見：繪制曲面立體的投影，可歸結(jié)為繪制它的所有曲面表面或曲面和平面表面的投影，也就是繪制曲面立體的輪廓線、尖點(diǎn)的投影以及轉(zhuǎn)向輪廓線。3曲面立體表面上取點(diǎn)曲面立體表面上的點(diǎn)和線的作圖，與平面上的點(diǎn)和線相類似。當(dāng)某一曲面的投影有積聚性時(shí)，則這個(gè)曲面上的點(diǎn)和線的投影，都積聚在它的有積聚性的同面投影上。在曲面上取點(diǎn)時(shí)，常常通過該點(diǎn)在曲面上作一條線，然后在這條線的投影上，作出該點(diǎn)的同面投影；若曲面上存在直線或平行于投影面的圓時(shí)，則用通過該點(diǎn)的直線或平行于投影面的圓，作圖就較方便。一、圓柱體的投影及表面取點(diǎn)

1、圓柱體的形成軸母線素線緯圓圓柱面

圓柱體可看作一矩形平面繞其一邊旋轉(zhuǎn)而形成，這一邊是旋轉(zhuǎn)軸，其中垂直于軸的兩條邊旋轉(zhuǎn)為圓柱體的上、下圓面,平行于軸的一邊旋轉(zhuǎn)為圓柱面，即圓柱體的表面是由圓柱面和上、下圓面圍成。上、下圓面間的距離為圓柱體的高。2、圓柱投影圖的畫法3、圓柱投影輪廓素線的分析例題分析圓柱輪廓素線的投影V4.可見性判別5、圓柱表面取點(diǎn)ABCd(d)"cba(d)'a"b"(c")a'Dc'b'分特殊點(diǎn)和一般點(diǎn)，作圖方法利用積聚性C圓柱表面上取點(diǎn)、取線b′c′a′ac()bb〞c〞a〞BA(a")a(c)ba'b'b"c"1212341'2'3'(4')34ABc'C二、圓錐的投影1、圓錐的形成2、圓錐投影圖的畫法3、圓錐投影輪廓線的分析4、圓錐投影可見性的判別5、圓錐表面上取點(diǎn)1、圓錐的形成

圓錐由圓錐面、底面所圍成。圓錐面可看作直線繞與它相交的軸線旋轉(zhuǎn)而成。母線素線緯圓2、圓錐投影圖的畫法3、圓錐投影輪廓素線的分析V4、圓錐可見性的判別B(b')Aa'5、圓錐表面上取點(diǎn)yy1′11〞1)緯圓法2)素線法(2′)2〞Ⅰ一般點(diǎn)特殊點(diǎn)2三圓球的投影1、圓球的形成2、圓球投影圖的畫法3、圓球投影輪廓素線的分析4、圓球投影可見性的判別5、圓球表面上取點(diǎn)1、圓球的形成

球面可看作半圓繞其直徑旋轉(zhuǎn)而成。該直徑叫旋轉(zhuǎn)軸。軸線母線2、圓球投影圖的畫法3、圓球投影輪廓素線的分析VWH4、圓球可見性的判別V

投影前半球可見,后半球不可見H

投影上半球可見,下半球不可見W

投影左半球可見,右半球不可見只能用平行于投影面的輔助圓法RRⅠ

當(dāng)輔助圓的投影平行于某一投影面時(shí),它在該投影面上的投影為相同大小的圓,其余兩投影為直線段,長度為該圓的直徑。5、圓球表面上取點(diǎn)11〞2′1′2〞3′（3）（4〞）（4′）4ⅠⅢ23〞四、圓環(huán)

圓環(huán)——以圓為母線,繞與其共面的圓外直線旋轉(zhuǎn)而成。1、圓環(huán)的形成母線素線緯圓軸線2.圓環(huán)的投影3.圓環(huán)的投影特點(diǎn)及可見性4.圓環(huán)的表面取點(diǎn)1"1'2'22"1(3")33'()11"(1")(1")11四、圓環(huán)體的投影

圓環(huán)體是以圓面為母線，繞與它共面的圓外直線旋轉(zhuǎn)而成。該直線為旋轉(zhuǎn)軸。在實(shí)際運(yùn)用中，經(jīng)常是圓環(huán)體的一個(gè)局部母線素線緯圓1、圓環(huán)的形成2圓環(huán)投影圖的畫法3圓環(huán)的投影輪廓線分析5圓環(huán)的表面取點(diǎn)1′（4′）1″12′22″3′（3″）3（4）（4）（4）4″（4″）（4″）緯圓法回轉(zhuǎn)體基本體小結(jié)所有回轉(zhuǎn)面上的點(diǎn)，其運(yùn)動(dòng)軌跡都是圓，稱為緯圓，但不同回轉(zhuǎn)體的緯圓特點(diǎn)有所不同。圓柱圓錐圓球圓環(huán)§3-4平面和曲面立體相交（截交線）

平面截割曲面立體，所得的截交線一般為閉合的平面曲線。求平面與曲面立體截交線的實(shí)質(zhì)是如何確定屬于曲面的截交線的點(diǎn)的問題。因此應(yīng)熟練掌握曲面體表面取點(diǎn)，取點(diǎn)應(yīng)先取特殊點(diǎn)（如最高、最低、最前、最后、最上、最下、以及可見與不可見的分界點(diǎn)）后取一般點(diǎn)。其基本方法是采用輔助平面法:

（1）對于直線曲面，輔助平面應(yīng)通過直素線。此法稱為素線法。

（2）對于回轉(zhuǎn)體，則采用垂直于回轉(zhuǎn)軸的輔助平面，此法稱為緯圓法。

注意：選擇輔助面時(shí)，應(yīng)使輔助平面與曲面立體表面的交線是簡單易畫的圓和直線。P截交線的性質(zhì)——閉合的平面曲線或平面多邊形。它是立體表面和截平面的共有線。求截交線方法——輔助平面法，即素線法和緯圓法。

求截交線的實(shí)質(zhì)就是如何求屬于截交線上的點(diǎn)的問題，因此應(yīng)熟練掌握曲面體表面取點(diǎn)，取點(diǎn)應(yīng)先取特殊點(diǎn)（如最高、最低、最前、最后、最上、最下、以及可見與不可見的分界點(diǎn)）后取一般點(diǎn)。3-4平面和曲面立體相交一、平面與圓柱相交矩形橢圓圓目的——求截交線【例】

求圓柱截交線7611'1"5"4"8'8"83254ⅥⅦⅢⅡⅣⅤⅠⅧ6'7'6"7"4'5'2'3'2"3"解題步驟1分析截交線的水平投影為橢圓，側(cè)面投影為圓；2求出截交線上的特殊點(diǎn)Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅷ；3求出若干個(gè)一般點(diǎn)Ⅱ、Ⅲ、Ⅵ、Ⅶ；4光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。變化情況45o例題1求圓柱截交線5"4"8"ⅣⅤⅠⅧ8'85411'1"45°4'5'

求圓柱截交線(特殊情況)ⅣⅤⅠⅧ5"4"8"1"1'8'854145°4'5'【例】求平面P與斜圓柱的的截交線。PV素線法【例】求圓柱截交線解題步驟1分析截交線的水平投影為橢圓的一部分，側(cè)面投影為圓的一部分；2求出截交線上的特殊點(diǎn)Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ；3求出若干個(gè)一般點(diǎn)Ⅱ、Ⅲ；4光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。【例】求圓柱截交線解題步驟1分析截交線的水平投影為圓的一部分，側(cè)面投影為矩形；2求出截交線上的特殊點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3順次地連接各點(diǎn)，作出截交線并判別可見性；4整理輪廓線。【例】求圓柱截交線解題步驟1分析截交線的水平投影為圓，側(cè)面投影為矩形；2求出截交線上的特殊點(diǎn)Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅷ；3求出若干個(gè)一般點(diǎn)Ⅱ、Ⅲ、Ⅵ、Ⅶ；4光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。【例】求圓柱截交線解題步驟1分析截交線的水平投影為已知，側(cè)面投影為橢圓和直線的組合；2求出截交線上的特殊點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3求一般點(diǎn)Ⅴ；4順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。45°1'332211444"4"2"2"1"1"555'4'2'3'5"5"3"3"【例】求圓柱截交線解題步驟1分析截交線的水平投影為已知，側(cè)面投影為矩形、橢圓和直線的組合；2求出截交線上的特殊點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3求一般點(diǎn)Ⅴ；4順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。3'31'122'4'455'3"2"5"1"4"1"4"2"3"5"【例】想象出物體及其側(cè)面投影的形狀二、平面與圓錐相交圓三角形橢圓雙曲線拋物線圓錐截交線求共有點(diǎn)的方法求圓錐截交線共有點(diǎn)常用的方法為：1素線法在圓錐表面取若干條素線，并求出這些素線與截平面的交點(diǎn)；

2緯圓法在圓錐表面上取若干個(gè)緯圓，并求出這些緯圓與截平面的交點(diǎn).三、圓錐截交線例題例求圓錐截交線解題步驟1分析截交線的水平投影和側(cè)面投影均為橢圓；2求出截交線上的特殊點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3求出一般點(diǎn)Ⅴ；4光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。例求圓錐截交線解題步驟1分析截交線的水平投影和側(cè)面投影已知，正面投影為雙曲線并反映實(shí)形；2求出截交線上的特殊點(diǎn)A、C；3求出一般點(diǎn)B；4光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。例求圓錐截交線解題步驟1分析截交線的H投影為橢圓和直線的組合，W投影為橢圓和梯形的組合；2求出截交線上的特殊點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ

；3求出一般點(diǎn):4光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。【例】求圓錐的截交線。例求圓錐截交線5′4′6〞2′3′1′6′4567′8′788〞7〞5〞4〞3〞2〞1〞3212′3′1′1〞1323〞2〞例分析并想象出圓錐穿孔后的投影三、平面與圓球相交

不管截平面位置如何，截交線總是圓；但其投影可能是直線、圓或橢圓。圓圓球截交線求共有點(diǎn)的方法

利用平行于投影面的輔助圓法進(jìn)行作圖較為簡便,在圓球表面上取若干個(gè)平行于投影面的輔助圓，并求出這些圓與截平面的交點(diǎn)。用光滑曲線依次連接這些交點(diǎn)即得截交線。

三、圓球截交線例題7

8例求圓球截交線解題步驟1分析截交線的水平投影和側(cè)面投影均為橢圓；2求出截交線上的特殊點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ；3求出若干個(gè)一般點(diǎn)N、R；4光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。(1)1'1"2'2(2")3'(4')344"3"5‘(6')6"5"7'(8')7"8"65【例】補(bǔ)全半球截割后的投影。【例】補(bǔ)全圓球穿孔后的投影。例求圓球截交線解題步驟1分析截交線的水平投影和側(cè)面投影均為圓弧和直線的組合；2求出截交線上的特殊點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ；3求出各段圓弧；4判別可見性，整理輪廓線。例分析并想象出圓球穿孔后的投影例分析并想象出物體的投影例求出物體切割后的投影例分析并想象出物體切割后的投影目的——求貫穿點(diǎn)，它是直線和曲面體的共有點(diǎn)。一.特殊情況KLll"lk'k判斷可見性l'k"

由于對于垂直放置的圓柱有積聚性，所以可以直接求出貫穿點(diǎn)。7-5直線和曲面體相交

【例】求直線與圓錐的貫穿點(diǎn)【例】求直線與圓球的貫穿點(diǎn)。mR二.一般情況輔助平面法：包含直線作輔助面與圓柱素線平行。NMn'm'na'b'abAB12ⅠⅡHs′a′b′absm′mn′nABMNKLⅠⅡ分析：包含AB直線作特殊平面只能得到一個(gè)曲線截交線，作圖復(fù)雜而且不準(zhǔn)確。當(dāng)截面通過頂點(diǎn)時(shí)，截交線為一個(gè)三角形。因此，包含頂點(diǎn)及直線AB作一個(gè)平面，求出截交線，作出貫穿點(diǎn)。例求直線與圓錐的貫穿點(diǎn)例題

求一般位置直線與圓球的貫穿點(diǎn)。

采用換面法，將直線變成投影面平行線，包含該直線做輔助平面為新投影面的平行平面，則在新投影面上的截交線為緯圓，求得該緯圓與直線的交點(diǎn)，即為貫穿點(diǎn)。再將貫穿點(diǎn)返回到各投影面上。XX1作業(yè)評講作業(yè)評講a′b′ab分析：由圓柱的截交線性質(zhì)知道，平行于軸線的截面截交線為平行四邊形。則包含AB作一平行于軸線的平面，即過線上一點(diǎn)作一條軸線的平行線，求出該平面與圓柱的截交線，作出貫穿點(diǎn)。m′n′nm作圖步驟﹕例題

求一般位置直線與圓球的貫穿點(diǎn)。

分析

:

若包含一般線作投影面垂直面為輔助面,則該輔助面與圓球的截交線圓的另兩個(gè)投影為橢圓,作圖較麻煩,且準(zhǔn)確性差。于是用一次換面法作出截交線圓的實(shí)形和直線的實(shí)長投影。它們的交點(diǎn)即為貫穿點(diǎn)的新投影，然后將貫穿點(diǎn)的新投影返回到原投影面上。XX1相貫線性質(zhì)——相貫線是平面體和曲面立體表面的共有線。相貫線形狀——由若干段平面曲線或平面曲線和直線所組成的空間閉合線。

3求相貫線的方法

:

就是直線與曲面體表面的交點(diǎn)(轉(zhuǎn)折點(diǎn))

和求平面與曲面立體的截交線。判別相貫線可見性的原則:

只有位于兩形體都可見的表面上的交線是可見的。

§3-6平面體和曲面體相交（相貫）【例】

求四棱柱與圓錐的相貫線投影。解題步驟1分析相貫線的側(cè)面投影已知，可利用利用表面取點(diǎn)法求共有點(diǎn)；2求出相貫線上的特殊點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ；3求出一般點(diǎn)Ⅲ；4光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出相貫線，并且判別可見性；5整理輪廓線。5"5"例求圓柱截交線`45°1'3311444"4"2"2"1"1"555'4'2'3'223"3"作業(yè)評講例平面立體與曲面立體相貫，完成相貫后的投影66"6′解題步驟1分析相貫線的水平投影已知，可利用表面取點(diǎn)法求共有點(diǎn)；2求出相貫線上的特殊點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；3求出若干個(gè)一般點(diǎn)Ⅳ、Ⅴ；4光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出相貫線，并且判別可見性；5整理輪廓線。完成半球被截后的投影平面立體與曲面立體相貫，可以看成曲面立體與多個(gè)截交平面截交的結(jié)果。分析時(shí)應(yīng)逐一平面進(jìn)行分析。b′ca″b″c′c″a′ab1″2″1′2′12作業(yè)評講1.相貫線的性質(zhì)——相貫線是兩曲面立體表面的共有線。2.相貫線的形狀——相貫線一般是封閉的空間曲線,特殊情況下為平面曲線或直線。3.求相貫線的方法——表面取點(diǎn)法和輔助平面法。§3-7兩曲面體相交（相貫）P【輔助平面法】RQ

常用的輔助平面為投影面的平行面或垂直面,要使輔助平面與兩立體表面交線的投影為直線或圓。輔助平面的選擇4.曲面立體相貫的三種基本形式2)外表面與內(nèi)表面相交；1)兩外表面相交；3)兩內(nèi)表面相交。曲面立體相貫線的性質(zhì)圖例5.求相貫線的一般步驟分析首先分析兩曲面立體的幾何形狀、相對大小和相對位置，進(jìn)一步分析相貫線是空間曲線，還是處于特殊情況（平面曲線或直線）。分析兩曲面立體對投影面的相對位置，兩曲面立體的投影是否有積聚性，哪個(gè)投影有積聚性。分析相貫線哪個(gè)投影是已知的，哪個(gè)投影是要求作的。求出相貫線上的特殊點(diǎn)。根據(jù)需要求出若干個(gè)一般點(diǎn)。光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出相貫線，并且判別可見性。最后，補(bǔ)全可見與不可見部分的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓素線，并擦除被切割掉的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓素線。特殊點(diǎn)

特殊點(diǎn)有極限位置點(diǎn)、輪廓轉(zhuǎn)向點(diǎn)、曲線特征點(diǎn)和結(jié)合點(diǎn)四種。這里轉(zhuǎn)向輪廓線上的轉(zhuǎn)向點(diǎn)并不都是區(qū)別相貫線可見與不可見部分的分界點(diǎn)，只有距離觀察者近的一個(gè)曲面立體轉(zhuǎn)向線上的點(diǎn)才是區(qū)別可見性的分界點(diǎn)。例求兩圓柱的相貫線

yyyyded'e'a'c'b'a"b"c"d"e"bac解題步驟1分析相貫線的水平投影和側(cè)面投影已知，可利用表面取點(diǎn)法求共有點(diǎn)；2求出相貫線上的特殊點(diǎn)A、B、C；3求出若干個(gè)一般點(diǎn)D、E；4光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出相貫線，并且判別可見性；5整理輪廓線。例完成帶圓柱孔的圓柱的投影。yyyyded'e'a'c'b'a"b"c"d"e"bac解題步驟1分析相貫線的水平投影和側(cè)面投影已知，可利用表面取點(diǎn)法求共有點(diǎn)；2求出相貫線上的特殊點(diǎn)A、B、C；3求出若干個(gè)一般點(diǎn)D、E；4光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出相貫線，并且判別可見性；5整理輪廓線。例求圓柱與圓錐的相貫線

PW1PV14"yy4'PV2PW23"PV3PW35"453'35'yy11'1"2'2"2求圓柱與圓錐的相貫線相貫線的特