2022-2023學年上海市閔行區高一上學期期末數學試題一、填空題1．若集合，則___________．【答案】【分析】根據交集的定義即可求解.【詳解】因為集合，由交集的定義可得：，故答案為：.2．觀察函數的圖像，寫出它的值域為___________．【答案】【分析】根據函數圖像和函數的值域的定義即可求解.【詳解】根據函數圖像，函數的的最大值和最小值分別為2和0，而且函數值取值不間斷，所以它的值域為.故答案為：.3．已知a是正實數，若，則a的取值范圍是___________．【答案】【分析】根據指數函數的單調性求解.【詳解】若，則指數函數在定義域上單調遞增，則不滿足題意；若，則，不滿足題意；若，則指數函數在定義域上單調遞減，則滿足題意，所以.故答案為:.4．歷史上著名的狄利克雷函數，那么___________．【答案】1【分析】根據分段函數的解析式代入即可得出答案.【詳解】因為，所以，.故答案為：1.5．若“”是“”的充分條件，則實數m的取值范圍是___________．【答案】【分析】由充分條件的定義可得實數的取值范圍【詳解】由“”是“”的充分條件，知，故實數的取值范圍為．故答案為：6．已知一元二次方程的兩個實根分別為，且，則實數n的值為___________．【答案】【分析】利用一元二次方程根與系數的關系列出關于實數n的方程，解之即可得出答案.【詳解】一元二次方程的兩個實根分別為，所以，所以，解得.故答案為：.7．已知冪函數在區間上是嚴格減函數，且圖象關于y軸對稱，則滿足條件的冪函數的表達式可以是___________（只需寫出一個正確的答案）【答案】【分析】根據冪函數的性質即可求解.【詳解】根據冪函數的性質，要使冪函數在上是嚴格減函數，則，又因為圖象關于y軸對稱，所以為偶函數，綜上可知：為負偶數，所以滿足條件的冪函數的表達式可以是，故答案為：.8．已知，且，則實數m的值為___________．【答案】45【分析】根據已知結合換底公式可得，，代入整理可得，即可得出結果.【詳解】由可知，，顯然.則，，所以，，則由可得，，所以.故答案為：45.9．已知，且，若不等式對任意恒成立，則實數k的最大值是___________．【答案】2【分析】根據絕對值三角不等式即可求解.【詳解】，當且僅當時取等號，因此若不等式對任意恒成立，則，故最大值為2．故答案為：210．已知函數的表達式為，用二分法計算此函數在區間上零點的近似值，第一次計算、的值，第二次計算的值，第三次計算的值，則___________．【答案】##【分析】由已知可得，求出，，，可知零點在內，即可得出結果.【詳解】因為，，根據二分法可得，，且，所以零點所在的區間為.所以.故答案為：.11．已知函數的值域為，則實數的取值范圍是___________．【答案】【分析】分別討論當時，的值域和當時，的值域，根據分段函數的值域取二者的并集，結合集合的并集運算即可求解.【詳解】當時，在上單調遞增，所以時，；當時，，①若，則在上單調遞增，在上單調遞減，則時，，即時，，又時，，此時，函數的值域為，不滿足題意，舍去；②當時，函數此時值域為，不滿足題意，舍去；③當時，在上單調遞減，則時，，即時，，因為函數的值域為，又時，；則時，且，不等式解得：，不等式等價于時，，設（），因為在上單調遞增，在上是增函數，所以在上單調遞增，又，所以時，等價于，即，則不等式解得：，所以時，的解集為，綜上：實數的取值范圍是，故答案為：.12．已知函數和的表達式分別為．設．現有如下四個命題：①對任意實數，且，都有；②存在實數，且，使得；③存在實數，且，使得；④對任意實數a，存在，且，使得．其中的真命題有___________．（寫出所有真命題的序號）【答案】②③【分析】根據的定義，可分別構造函數和，求導，利用單調性即可結合選項求解.【詳解】對于①，若，則在定義域內單調遞增，由于為二次函數，所以不可能在定義域上單調遞增，故錯誤，對于②，記，則，當時，此時，此時有兩個不相等的實數根，不妨設為且，此時當，，故在單調遞減，故存在時，滿足，故②正確，當，此時，此時，故此時在定義域內單調遞增，故至多一個根，因此不存在，使得，故④錯誤，對于③，記，則，當時，此時，此時有兩個不相等的實數根，不妨仍設為且，此時當，，故在單調遞減，在單調遞增，故一定存在，使得，，故③正確，故答案為：②③二、單選題13．如果，那么下列不等式中成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作差即可判斷A、B項；根據不等式的性質可判斷C、D項.【詳解】對于A項，，因為，所以，，所以，所以，故A項錯誤；對于B，，因為，所以，所以，所以，故B項錯誤；對于C項，因為，根據不等式的性質可得，故C項正確；對于D項，因為，所以，根據不等式的性質可得，即，故D項錯誤.故選：C.14．已知集合，，則“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】A【分析】由求得或，然后即可得出答案.【詳解】由可得，解得或.所以“”是“”的充分非必要條件.故選：A.15．設函數的定義域為，值域為，下列結論正確的是（

）A．當時，b的值不唯一 B．當時，a的值不唯一C．的最大值為3 D．的最小值為3【答案】D【分析】代入，得出函數解析式，求出值域，結合已知即可得出b的值唯一，則A項錯誤；代入，得出函數解析式，求出值域，結合已知即可得出a的值唯一，則B項錯誤；分、、三種情況，求出函數的解析式，得到函數的值域，分別求出的范圍，即可判斷C、D項.【詳解】對于A項，當時，顯然，則.函數在上的值域為，在上的值域為，又函數在上的值域為，所以，，故A項錯誤；對于B項，當時，函數，則此時函數的值域為，由已知可得，所以，故B錯誤；對于C、D項，①當時，函數，此時函數的值域為，由已知可得，解得，所以；②當時，函數，則此時函數的值域為，由已知可得，解得，所以；③當時，.此時函數在上的值域為，在上的值域為.由已知可得，或.當時，即，此時有；當時，即，則，此時有.綜上所述，.故C項錯誤，D項正確.故選：D.16．存在函數，滿足對任意都有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據函數的定義即可求解.【詳解】根據函數的定義，對任意的，按照某種對應法則，存在唯一的與之對應.對于選項A：若取，則有，取，則有，不滿足函數定義，選項A錯誤；對于選項B：若取，則有，取，則有，不滿足函數定義，選項B錯誤；對于選項C：令，，所以，即，令，則有，即，所以存在這樣的函數，C選項正確；對于D選項：若取，則有，取，則有，不滿足函數定義，選項D錯誤；故選：C.三、解答題17．設集合．(1)若，試用區間表示集合A、B，并求；(2)若，求實數a的取值范圍．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）解不等式求得集合，進而求得.（2）根據列不等式，【詳解】（1）當時，由得，所以.由得，所以，所以.（2）由得，所以，由于，所以，所以的取值范圍是.18．已知指數函數在區間上的最大值與最小值之和等于12．(1)求的表達式：(2)若函數是奇函數，當時，．試求函數的表達式，并求此函數的零點．【答案】(1)(2)；函數3個零點為【分析】（1）根據函數表達式代入求值即可得解；（2）根據函數的奇偶性即可求解表達式，根據指數對數互化即可求出零點.【詳解】（1）設，或，所以，即有，所以，所以或（舍），所以;（2）當時，，當時，，所以，又是奇函數，所以所以，所以，再根據是奇函數，所以，所以，令，得，此函數的零點為.19．某網紅食品店近日研發出一款糕點，為給糕點合理定價，食品店進行了市場調研．調研發現，銷售量（單位：斤）與定價x（單位：元/斤）滿足如下函數關系：(1)為使銷售量不小于150斤，求定價x的取值范圍；(2)試寫出總銷售額）y（單位：元）關于定價x的函數表達式；并求總銷售額的最大值，及此時定價x的值．【答案】(1)(2)定價為25元/斤時總銷售額最大為10750元.【分析】（1）由題意銷售量不小于150斤，即解不等式即得定價x的取值范圍；（2）由總銷售額=定價銷售量可得函數關系式，化簡利用二次函數求最值即可得到總銷售額的最大值及此時定價x的值.【詳解】（1）因為量不小于150斤，所以，即，解得，又因為，則，故定價x的取值范圍.（2）總銷售額=定價銷售量當時取得最大值，此時即定價為25元/斤時總銷售額最大為10750元.20．已知函數的表達式為，將函數的圖像向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到函數的圖像，(1)判斷函數的奇偶性，并說明理由；(2)求函數的表達式，并求的值；(3)若不等式恒成立，求ab的最大值；并指出當ab取得最大值時，a、b的值分別是多少？【答案】(1)奇函數(2)(3)ab的最大值為，此時.【分析】（1）由奇偶函數的定義結合對數函數的運算性質即可得出答案.（2）由函數的平移變換求出的表達式，再有對數的運算性質即可求出的值；（3）由（2）知，，所以關于對稱，由于恒成立，所以，再根據均值不等式即可得出答案.【詳解】（1）因為函數的定義域為，則，得：，所以函數的定義域為，關于原點對稱，，所以函數為奇函數.（2）函數的圖像向右平移1個單位，可得：，再向上平移2個單位，則，，因此求的值為.（3）由（2）知，，所以關于對稱，由于恒成立，故，，的定義域為，所以由“復合函數”的單調性知，在上單調遞增，所以即，因為，當且僅當“”時取等，所以，當且僅當“”時取等，將代入，解得：所以ab的最大值為，此時.21．已知函數的定義域為，為大于的常數，對任意，都滿足，則稱函數在上具有“性質”．(1)試判斷函數和函數是否具有“性質”（無需證明）；(2)若函數具有“性質”，且，求證：對任意，都有；(3)若函數的定義域為，且具有“性質”，試判斷下列命題的真假，并說明理由，①若在區間上是嚴格增函數，則此函數在上也是嚴格增函數；②若在區間上是嚴格減函數，則此函數在上也是嚴格減函數．【答案】(1)函數不具有“性質”，函數具有“性質”(2)證明見解析(3)命題①為假命題，命題②為真命題，理由見解析【分析】（1）利用作差法結合“性質”的定義判斷可得出結論；（2）利用“性質”的定義結合不等式可推導出，，利用不等式的基本性質可證得結論成立；（3）取可判斷命題①為假命題，對命題②，對任意的、且，取，根據“性質”的定義結合基本不等式的性質、單調性的定義證得，即可證得結論成立.【詳解】（1）解：函數不具有“性質”，函數具有“性質”，理由如下：設，，對任意的，，所以，，所以，函數不具有“性質”，對任意的，，所以，，所以，函數具有“性質”.（2）證明：因為函數具有“性質”，對任意的，，所以，，又因為，所以，，所以，，由不等式的可加性可得，故對任意的，.（3）解：命題①是假命題，命題②是真命題，理由如下：對于命題①，取函數，由（1）可知，函數具有“性質”，函數在區間上是嚴格增函數，但該函數在上不單調；對于命題②，對任意的，對任意的，，所以，，對任意的、