山西省陽泉市長池鎮王村中學2021年高一數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.冪函數的圖象過點，那么的值為（

）A.

B.64

C.

D.參考答案：A略2.若不等式m≤當x∈（0，l）時恒成立，則實數m的最大值為（）A．9 B． C．5 D．參考答案：B【考點】3H：函數的最值及其幾何意義．【分析】設f（x）=，根據形式將其化為f（x）=+．利用基本不等式求最值，可得當且僅當x=時的最小值為2，得到f（x）的最小值為f（）=，再由題中不等式恒成立可知m≤（）min由此可得實數m的最大值．【解答】解：設f（x）==（0＜x＜1）而=（）=+∵x∈（0，l），得x＞0且1﹣x＞0∴≥2=2，當且僅當，即x=時的最小值為2∴f（x）=的最小值為f（）=而不等式m≤當x∈（0，l）時恒成立，即m≤（）min因此，可得實數m的最大值為故選：B3.某同學為了計算的值，設計了如圖所示的程序框圖，則①處的判斷框內應填入（

）．A.

B.

C.

D.參考答案：B詳解：模擬程序的運行，可得

滿足條件，執行循環體，滿足條件，執行循環體，

…

滿足條件，執行循環體，此時，應該不滿足條件，退出循環輸出．

則循環體的判斷框內應填入的條件是：？

故選：B．4.兩圓和的位置關系是（

）A．相離

B．相交

C.

內切

D．外切參考答案：B依題意，圓x2+(y－2)2=1的圓坐標為M(0,2)，半徑為1，圓x2+y2+4x+2y－11=0的標準方程為(x+2)2+(y+1)2=16，其圓心坐標為N(－2,－1)，半徑為4，∵兩圓心的距離|MN|=，且4－1=3＜＜4+1=5，∴兩圓相交，故選B.

5.設函數，為常數且，則的零點個數是（

）A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C6.函數的值域是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略7.如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點，=x+y，且=3，則（）A．x=，y= B．x=，y= C．x=，y= D．x=，y=參考答案：D【考點】平面向量的基本定理及其意義．【分析】由=3，利用向量三角形法則可得，化為，又=x+y，利用平面向量基本定理即可得出．【解答】解：∵=3，∴，化為，又=x+y，∴，y=．故選：D．8.根據如下樣本數據：x0123y37求得y關于x的線性回歸方程為，則x每減少1個單位，yA.增加0.7個單位

B.減少0.7個單位

C.增加2.2個單位

D.減少2.2個單位參考答案：D，則每減少1個單位，減少2.2個單位.9.設m，n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，給出下列四個命題：

①;

②

③;

④．

其中不正確命題的序號是(

)

A．①和②

B②和③

C．③和④

D．①和④參考答案：C10.設函數f（x）=，則f（f（3））=(

)A． B．3 C． D．參考答案：D【考點】函數的值．【專題】計算題．【分析】由條件求出f（3）=，結合函數解析式求出f（f（3））=f（）=+1，計算求得結果．【解答】解：函數f（x）=，則f（3）=，∴f（f（3））=f（）=+1=，故選D．【點評】本題主要考查利用分段函數求函數的值的方法，體現了分類討論的數學思想，求出f（3）=，是解題的關鍵，屬于基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知f（x）=x2﹣2x+3，在閉區間[0，m]上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是．參考答案：[1，2]【考點】利用導數求閉區間上函數的最值．【分析】先畫出二次函數圖象：觀察圖象，欲使得閉區間[0，m]上有最大值3，最小值2，區間[0，m]的右端點必須在一定的范圍之內（否則最大值會超過3或最小值達不到2），從而解決問題．【解答】解：通過畫二次函數圖象觀察圖象，欲使得閉區間[0，m]上有最大值3，最小值2，區間[0，m]的右端點必須在拋物線頂點的右側，且在2的左側（否則最大值會超過3）∴知m∈[1，2]．答案：[1，2]12.觀察下列不等式：，，，，，，由此猜想第個不等式為

▲

.參考答案：略13.已知關于的方程在區間上存在兩個根，則實數的取值范圍是_________．參考答案：14.（4分）如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E是AC的三等分點，且EC=2AE，若，，則=

（結果用，表示）參考答案：﹣考點： 向量加減混合運算及其幾何意義．專題： 平面向量及應用．分析： 根據平面向量的加法與減法運算的幾何意義，對向量進行線性表示即可．解答： 根據題意，得；=+=﹣+=﹣+=﹣．故答案為：﹣．點評： 本題考查了平面向量的加法與減法運算的幾何意義的應用問題，是基礎題目．15.已知是邊長為1的等邊三角形，為邊上一點，滿足＝

．參考答案：16.已知，則

．參考答案：17.不等式（x﹣1）（x+1）＜0的解集為．參考答案：（﹣1，1）【考點】一元二次不等式的解法．【分析】利用一元二次不等式（x﹣x1）（x﹣x2）＜0（x1＜x2）的解集是{x|x1＜x＜x2}即可求出【解答】解：不等式（x﹣1）（x+1）＜0，∴﹣1＜x＜1，∴原不等式的解集為（1，1）．故答案為：（﹣1，1）．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（14分）已知向量，且①用“五點法”作出函數y=f（x）在長度為一個周期的閉區間的圖象．②求函數f（x）的最小正周期和單調增區間；③求函數f（x）的最大值，并求出取得最大值時自變量x的取值集合④函數f（x）的圖象可以由函數y=sin2x（x∈R）的圖象經過怎樣的變換得到？⑤當x∈[0，π]，求函數的值域（1）列表

（2）作圖

參考答案：考點： 五點法作函數y=Asin（ωx+φ）的圖象；函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．專題： 綜合題；三角函數的圖像與性質．分析： ①利用“五點法”得到五點，列出表格，可畫圖；②由周期公式可得周期，根據正弦函數的增區間可得結果；③根據正弦函數的最大值可求；④根據圖象的平移、伸縮變換規律可得結果；⑤先由x的范圍得x﹣的范圍，從而可得答案；解答： ①f（x）=2sin（x﹣），列表如下：函數f（x）在一個周期內的圖象如圖所示：②f（x）的最小正周期為2π，由，得，∴f（x）的單調增區間為[，]，k∈Z．③當x﹣=，即x=，k∈Z時，f（x）取得最大值為2，f（x）取得最大值時x的取值集合為：{x|x=，k∈Z}．④先把y=sin2x的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到y=sinx的圖象，然后把y=sinx的圖象向右平移個單位，得到y=sin（x﹣）的圖象，把y=sin（x﹣）圖象上所有點的縱坐標伸長為原來的2倍，橫坐標不變，得到f（x）=2sin（x﹣）的圖象；⑤當x∈[0，π]時，x﹣∈[﹣，]，此時函數的值域為：[﹣，2]．點評： 本題考查y=Asin（ωx+φ）的圖象作法、圖象變換及單調性最值，本題綜合性較強，但涉及知識較為基礎，應熟練掌握．19.（本小題滿分12分）已知定義域為的函數是奇函數．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）證明函數在上是減函數；參考答案：（Ⅰ）∵是奇函數，所以(經檢驗符合題設)……4分（Ⅱ）由（1）知．對，當時，總有．……6分∴，……10分即．

∴函數在上是減函數．……12分20.（14分）已知函數f（x）=x2+（a+1）x﹣b2﹣2b，且f（x﹣1）=f（2﹣x），又知f（x）≥x恒成立．求：（1）y=f（x）的解析式；（2）若函數g（x）=log2[f（x）﹣x﹣1]，求函數g（x）的單調區間．參考答案：考點： 對數函數的圖像與性質；函數解析式的求解及常用方法．專題： 函數的性質及應用．分析： （1）由f（x﹣1）=f（2﹣x），得出f（x）的對稱軸，求出a的值，再由f（x）≥x恒成立，△≤0，求出b的值即可；（2）求出g（x）的解析式，利用復合函數的單調性，判斷g（x）的單調性與單調區間．解答： （1）∵f（x﹣1）=f（2﹣x），∴f（x）的對稱軸為x=；

…（1分）又∵函數f（x）=x2+（a+1）x﹣b2﹣2b，∴﹣=，解得a=﹣2，∴f（x）=x2﹣x﹣b2﹣2b；

…（1分）又∵f（x）≥x恒成立，即x2﹣x﹣b2﹣2b≥x恒成立，也即x2﹣2x﹣b2﹣2b≥0恒成立；∴△=（﹣2）2﹣4（﹣b2﹣2b）≤0，…（1分）整理得b2+2b+1≤0，即（b+1）2≤0；∴b=﹣1，…（2分）∴f（x）=x2﹣x+1；

…（1分）（2）∵g（x）=log2[x2﹣x+1﹣x﹣1]=log2（x2﹣2x），…（1分）令u=x2﹣2x，則g（u）=log2u；由u=x2﹣2x＞0，得x＞2或x＜0，…（2分）當x∈（﹣∞，0）時，u=x2﹣2x是減函數，當x∈（2，+∞）時，u=x2﹣2x是增函數；

…（2分）又∵g（u）=log2u在其定義域上是增函數，…（1分）∴g（x）的增區間為（2，+∞），減區間為（﹣∞，0）．

…（2分）點評： 本題考查了函數的圖象與性質的應用問題，也考查了不等式恒成立的應用問題，是綜合性題目．21.某飛機制造公司一年中最多可生產某種型號的飛機80架。已知制造x架該種飛機的產值函數為（單位：萬元）成本函數（單位：萬元）已知利潤是產值與成本之差。（1）求利潤函數；（2）求該公司的利潤函數的最大值，并指出此時的x值。

參考答案：22.已知函數（ω＞0）的最小正周期為π．（Ⅰ）求ω的值和f（x）的單調遞增區間；（Ⅱ）若關于x的方程f（x）﹣m＝0在區間[0，]上有兩個實數解，求實數m的取值范圍．參考答案：（Ⅰ），函數的增區間為．（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）利用三角函數恒等變換化簡函數的解析式，再利用正弦函數的周期性、單調性，即可求得結論；（Ⅱ）由題意，函數圖象和直線在區間上有兩個不同的交點，利用正弦函數的定義域和值域，以及正弦函數的圖象特