山西省陽泉市立壁中學2022年高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.命題“?x∈R，使得x2＜1”的否定是(

) A．?x∈R，都有x2＜1 B．?x∈R，都有x≤﹣1或x≥1 C．?x∈R，使得x2≥1 D．?x∈R，使得x2＞1參考答案：B考點：命題的否定．分析：根據命題“?x∈R，使得x2＜1”是特稱命題，其否定為全稱命題，即：?x∈R，都有x2≥1．??x∈R，都有x≤﹣1或x≥1．從而得到答案．解答： 解：∵命題“?x∈R，使得x2＜1”是特稱命題∴否定命題為：?x∈R，都有x2≥1∴?x∈R，都有x≤﹣1或x≥1．故選B．點評：本題主要考查全稱命題與特稱命題的轉化．2.已知兩個非零單位向量的夾角為，則下列結論不正確的是(

)（A）在方向上的投影為

（B）（C） （D）參考答案：D因為為單位向量，所以，故選D．3.定義：，已知數列滿足：，若對任意正整數，都有成立，則的值為()

A．

B．

C．

D．參考答案：C4.已知函數是以2為周期的偶函數，且當時，，則的值為A．

B．

C．

D．參考答案：答案:D5.函數，若對任意都有成立，則的最小值為

（

）

A．4

B．2

C．1

D．參考答案：B略6.函數為定義在上的減函數，函數的圖像關于點（1,0）對稱，滿足不等式，，為坐標原點，則當時，的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D7.已知是自然對數的底數，函數的零點為，函數的零點為，則下列不等式成立的是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C略8.已知函數，則函數的零點個數為（） （A）1 （B）2

（C）3 （D）4參考答案：C9.在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC將矩形ABCD折疊，連結頂點B、D形成三棱錐B－ACD，其正視圖和俯視圖如圖所示，則其側視圖的面積為(

)A. B.C. D.參考答案：C略10.已知

，則(

)A.

B.{0}

C.{－1,0}

D.參考答案：C因為，，所以，.選C.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數，則______參考答案：212.為了考察某校各班參加數學競賽的人數，在全校隨機抽取個班級，把每個班級參加該小組的人數作為樣本數據．已知樣本平均數為，樣本方差為，且樣本數據互相不相同，則樣本數據中的最小值為

．參考答案：413.各項都為正數的數列，其前項的和為，且，若，參考答案：略14.在正三棱錐S-ABC中，側面SAB、側面SAC、側面SBC兩兩垂直，且側棱，則正三棱錐外接球的表面積為____________.參考答案：略15.（幾何證明選講選做題）在平行四邊形中，點在線段上，且

，連接，與相交于點，若△的面積為cm，則

△的面積為

cm.參考答案：16.在△ABC中，已知AC=4，C=，B∈（，），點D在邊BC上，且AD=BD=3，則?=

．參考答案：6【分析】根據條件畫出圖形，容易判斷出∠BDA為銳角，而在△ACD中，根據正弦定理可求出sin∠ADC的值，進而得出cos∠BDA的值，而，，這樣帶入進行數量積的運算即可求出該數量積的值．【解答】解：如圖，AD=BD；∴∠DAB=∠B；∵；∴；在△ACD中，AC=4，AD=3，C=，由正弦定理得：；即；∴；∴；∴===6．故答案為：6．

17.已知集合，，則．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某廠家擬在2011年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量（即該廠的年產量）萬件與年促銷費用萬元滿足（為常數），如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量是1萬件.已知2011年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍（產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費用）．（1）將2011年該產品的利潤萬元表示為年促銷費用萬元的函數；（2）該廠家2011年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？參考答案：解：（1）由題意可知，當時，，∴即，∴，每件產品的銷售價格為元.∴2009年的利潤

（8分）（2）∵時，.∴，當且僅當，即時，.（15分）答：該廠家2011年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大，最大為21萬元.（16分）19.(本題滿分12分)在銳角三角形ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且.(Ⅰ)求角的大小；

(Ⅱ)若的最大值．參考答案：(Ⅰ)由a－2csinA＝0及正弦定理，得sinA－2sinCsinA＝0(sinA≠0)，（1分）∴sinC＝，（4分）∵△ABC是銳角三角形，∴C＝

（6分）(Ⅱ)∵c＝2，C＝，由余弦定理，a2＋b2－2abcos＝4，即a2＋b2－ab＝4

（8分）∴(a＋b)2＝4＋3ab≤4＋3·，即(a＋b)2≤16，（10分）∴a＋b≤4，當且僅當a＝b＝2取“＝”（11分）故a＋b的最大值是4.（12分）20.本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講已知關于的不等式．（Ⅰ）當時，求此不等式的解集；ks5u（Ⅱ）若此不等式的解集為，求實數的取值范圍．參考答案：略21.（本小題共14分）如圖，在三棱柱中，底面，，，．分別為和的中點，為側棱上的動點．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若為線段的中點，求證：平面；（Ⅲ）試判斷直線與平面是否能夠垂直.若能垂直，求的值；若不能垂直，請說明理由．

參考答案：（Ⅰ）由已知，為中點，且，所以．又因為，且底面，所以底面．因為底面，所以，又，所以平面．又因為平面，所以平面平面．

……5分

（Ⅱ）取中點，連結，，，.由于，分別為，的中點，所以,且.則四邊形為平行四邊形，所以.又平面，平面，所以平面.由于，分別為，的中點，所以.又，分別為，的中點，所以.則.又平面，平面，所以平面.由于,所以平面平面.由于平面，所以平面.

……………10分（III）假設與平面垂直，

由平面，則．設，．當時，，所以∽，所以．由已知，所以，得．由于，因此直線與平面不能垂直．

…