山西省長治市常平中學校2023年高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某校從高一年級學生中隨機抽取部分學生，將他們的模塊測試成績分成6組：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知高一年級共有學生600名，據此估計，該模塊測試成績不少于60分的學生人數為

（

）A．588

B．480

C．450

D．120參考答案：B2.定義在R上的可導函數，在閉區間上有最大值15，最小值-1，則實數的取值范圍是

（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D3.曲線與直線及所圍成的封閉圖形的面積為A.

B.

C.

D.參考答案：D略4.下列函數中既不是奇函數也不是偶函數的是 （

）A．

B．

C． D．參考答案：D5.已知，且，則的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A試題分析：,所以，，故選A.考點：1.誘導公式；2.同角三角函數基本關系.6.向量，，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C．1 D．參考答案：A【考點】平面向量數量積的運算．【分析】根據投影公式，代值計算即可【解答】解：由定義，向量在向量方向上的投影為=，故選：A．【點評】本題主要考查向量投影的定義及求解的方法，公式與定義兩者要靈活運用．解答關鍵在于要求熟練應用公式．7.若將函數的圖象向右平移個單位，所得圖象關于y軸對稱，則的最小正值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C因為，所以將向右平移個單位得到，其圖像關于y軸對稱，所以的最小正值是．考點：三角函數圖像的特點．8.把方程化為以t為參數的參數方程是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略9.一算法的程序框圖如圖1，若輸出的，則輸入的的值可能為A．

B．

C．

D．參考答案：C10.棱長為3的正四面體內切球的表面積為

（

）

A．27

B．3

C．12

D．48參考答案：答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設f﹣1（x）為f（x）=﹣cosx+，x∈（0，π]的反函數，則y=f（x）+f﹣1（x）的最大值為．參考答案：【考點】反函數．【分析】根據f（x）是（0，π]上的單調增函數，且f（x）與f﹣1（x）單調性相同，得出y=f（x）+f﹣1（x）的定義域是（a，]，計算y=f（x）+f﹣1（x）的最大值為f（）+f﹣1（）．【解答】解：∵f（x）=﹣cosx+在x∈（0，π]上單調遞增，且f﹣1（x）為f（x）=﹣cosx+在x∈（0，π]的反函數，又f（x）與f﹣1（x）的單調性相同，∴當x=π時，f（x）的最大值是f（π）=﹣cosπ+=；且當x=時，f（x）=﹣cos+=，∴y=f（x）+f﹣1（x）的定義域是（a，]，且x=時，f﹣1（）=π；∴y=f（x）+f﹣1（x）的最大值為f（）+f﹣1（）=+π=．故答案為：．12.已知拋物線，焦點為F，過F點的直線l交拋物線于A，B兩點，則的最小值為

．參考答案：F（，0），設A（x1，y1），B（x2，y2）．當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=k（x﹣），（k≠0）．聯立，化為k2x2﹣（k2+2）x+k2=0．x1x2=．∴|AF|+2|BF|=x1++2（x2+）=x1+2x2+≥2+=，當且僅當x1=2x2=時取等號．當直線AB的斜率不存在時，|AF|+2|BF|=3p=3．綜上可得：|AF|+2|BF|的最小值為：．故答案為：．

13.設△的三邊所對的角分別為，已知，則

;的最大值為

．參考答案：;；14.某中學采用系統抽樣的方法從該校高一年級全體名學生中抽取名學生進行體能測試．現將名學生從到進行編號，求得間隔數．若從中隨機抽取個數的結果是抽到了，則在編號為的這個學生中抽取的一名學生其編號應該是

．參考答案：

15.已知函數，則=________;函數圖象在點處的切線方程為_______參考答案：，

略16.已知數列{an}滿足，，則數列{an}的通項公式為________．參考答案：【分析】待定系數得到，得到【詳解】因為滿足，所以，即，得到，所以，而，故是以為首項，為公比的等比數列，所以，故.故答案為：.【點睛】本題考查由遞推關系求數列通項，待定系數法構造新數列求通項，屬于中檔題.17.已知點為所在平面上的一點，且，其中為實數，若點落在的內部，則的取值范圍是_____________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分13分）函數的性質通常指函數的定義域、值域、奇偶性、單調性、周期性等，請選擇適當的探究順序，研究函數的性質，并在此基礎上，作出其在的圖象．參考答案：①∵∴的定義域為…………2分②∵

∴f(x)為偶函數；

…………4分③∵f(x+)=f(x),

∴f(x)是周期為的周期函數；…………6分④∵∴當時；當時（或當時f(x)=∴當時，單調遞減；當時，單調遞增，

又∵是周期為的偶函數

∴的單調性為：在上單調遞增，在上單調遞減；………………8分⑤∵當時；當時∴的值域為：；

……………………10分

⑥由以上性質可得：在上的圖象如上圖所示：

……………13分略19.在平面直角坐標系xOy中，直線的參數方程為（t為參數），以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為.（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；（2）若直線l與曲線C相交于A，B兩點，設點，已知，求實數a的值.參考答案：（1）直線:，曲線:（2）【分析】（1）在直線的參數方程中消去參數t得直線的一般方程，在曲線的極坐標方程為中先兩邊同乘，得曲線的直角坐標方程；（2）將直線的參數方程直接代入曲線的直角坐標方程中，得到韋達定理，由，，列方程求出答案.【詳解】解：（1）因為直線的參數方程為消去t化簡得直線的普通方程：由得，因為，所以，所以曲線的直角坐標方程為（2）將代入得即，則，，∴，∴∴∵，∴，滿足∴【點睛】本題考查了直線的參數方程，曲線極坐標方程與直角坐標方程得轉化，直線與圓的位置關系，屬于中檔題.20.（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講如圖所示，PA為圓O的切線，A為切點，PBC是過點O的割線，PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分線與BC和圓O分別交于點D和E.（1）求證：；

（2）求AD·AE的值．參考答案：（1）見解析；（2）90.試題解析：（1）∵PA為圓O的切線，∴∠PAB＝∠ACP，又∠P＝∠P，∴△PAB∽△PCA，∴

5分（2）∵PA為圓O的切線，PBC是過點O的割線，∴PA2＝PB·PC，又PA＝10，PB＝5，∴PC＝20，BC＝15，由（1）知，＝，∠CAB＝90°，∴AC2＋AB2＝BC2＝225，∴AC＝6，AB＝3連接CE，則∠ABC＝∠E，又∠CAE＝∠EAB，∴△ACE∽△ADB，

∴所以AD·AE＝AB·AC＝3×6＝90

10分21.（12分）甲乙兩名射手互不影響地進行射擊訓練，根據以往的數據統計，他們設計成績的分布列如下：射手甲

射手乙環數8910環數8910概率概率

（I）若甲射手共有5發子彈，一旦命中10環就停止射擊，求他剩余3顆子彈的概率；

（Ⅱ）若甲乙兩射手各射擊兩次，求四次射擊中恰有三次命中10環的概率；

（Ⅲ）若兩個射手各射擊1次，記所得的環數之和為，求的分布列和期望。參考答案：解析：（I）記事件A；射手甲剩下3顆子彈，