2021-2022學年山東省東營市勝利第一中學高二上學期期末數學試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先解出集合N，再對四個選項一一驗證.【詳解】因為，.所以.對于A：不成立；對于B：.成立；對于C：不成立；對于D：，故D不成立.故選：B2．已知是純虛數，其中是虛數單位，則實數（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據復數的乘除法運算及純虛數的定義即可得出答案.【詳解】解：若為純虛數，則，解得.故選：C.3．經過點，傾斜角為的直線方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據直線傾斜角和斜率關系可求得斜率，再利用直線的點斜式方程即可求得結果.【詳解】由傾斜角為可得，直線斜率為由直線的點斜式方程得直線方程為；即.故選：C.4．若拋物線上的點到焦點的距離為則（

）A． B．2 C．6 D．【答案】D【分析】用焦半徑公式解方程算出即可獲解.【詳解】因為拋物線上的點到焦點的距離為4，所以，即，，所以故選：D.5．正四面體的棱長為1，點是該正四面體內切球球面上的動點，當取得最小值時，點到的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據正四面體的體積可求出內切球的半徑，取的中點為，，可得當的長度最小時，取得最小值，求出球心到點的距離，可得點到的距離為.【詳解】因為四面體是棱長為1的正四面體，所以其體積為.設正四面體內切球的半徑為，則，得.如圖，取的中點為，則.顯然，當的長度最小時，取得最小值.設正四面體內切球的球心為，可求得.因為球心到點的距離，所以球上的點到點的最小距離為，即當取得最小值時，點到的距離為.故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題考查幾何體的內切球問題，解題的關鍵是先根據正四面體的體積可求出內切球的半徑，得出點到的距離為球心到點的距離減去半徑.6．已知數列是等比數列，數列是等差數列，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結合等差中項和等比中項分別求出和，代值運算化簡即可.【詳解】由是等比數列可得，是等差數列可得，所以，故選：A7．已知△ABC滿足2＝·＋·＋·，則△ABC是（）A．等邊三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】C【分析】由數量積的運算律化簡后得出正確選項【詳解】由題意得，故∴，△ABC是直角三角形故選：C8．設函數是奇函數（）的導函數，，當時，，則使得成立的的取值范圍是A． B．C． D．【答案】A【詳解】構造新函數,，當時.所以在上單減，又，即.所以可得,此時，又為奇函數，所以在上的解集為：.故選A.點睛：本題主要考查利用導數研究函數的單調性，需要構造函數，例如，想到構造.一般：（1）條件含有，就構造,（2）若，就構造，（3），就構造，（4）就構造，等便于給出導數時聯想構造函數.二、多選題9．，關于的不等式恒成立的一個必要不充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由已知條件得出，求出實數的取值范圍，即可得出合適的選項.【詳解】，關于的不等式恒成立，則，解得.故選：BD.10．已知函數，則（

）A．函數圖象的一條對稱軸方程為B．函數的最小正周期為C．是函數的一個零點D．函數在上單調遞增【答案】BC【分析】由正弦型函數的對稱性結論判斷A，由正弦型函數的周期性的結論判斷B，由函數的零點的定義判斷C，由正弦函數的單調性判斷D.【詳解】當時，，所以直線不是函數圖象的對稱軸，A錯，由正弦型函數的周期公式可得函數的周期，B對，當時，，所以是函數的一個零點，C對，由可得，因為函數在單調遞增，在單調遞減，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，D錯，故選：BC.11．已知點，分別為圓：與圓：上的兩個動點，點為直線：上一點，則（

）A．的最大值為B．的最小值為C．的最小值為D．的最小值為【答案】AC【分析】根據題意，作出圖形，當三點共線時最小，即；由知當取到最大即時最大，結合兩點坐標求距離公式計算即可.【詳解】由，得，所以圓心，半徑為；由，得，所以圓心，半徑為；設點關于直線對稱的對稱點為，有，解得，即，連接，交直線于點，即當三點共線時，最小，且，連接，此時最小，當取到最大時，取到最大值，如圖，由圖可知，，所以的最大值為，故A正確，B錯誤；，故C正確，D錯誤.故選：AC12．對于正整數n，是小于或等于n的正整數中與n互質的數的數目．函數以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數，又稱為函數，例如，（10與1，3，7，9均互質）則（

）A． B．數列單調遞增C．若p為質數，則數列為等比數列 D．數列的前4項和等于【答案】AC【分析】根據題意可知，12與1，5，7，11互質，29與都互質，所以A正確；由，可知B錯誤；若p為質數，則小于等于的正整數中與互質的數的數目為個，故，所以，即數列為等比數列，故C正確；根據選項C可知，數列的前4項和為，故D錯誤.【詳解】根據題意可知，12與1，5，7，11互質，29與共28個數都互質，即，所以A正確；由題目中，以及可知數列不是單調遞增的，B錯誤；若p為質數，則小于等于的正整數中與互質的數為，即每p個數當中就有一個與不互質，所以互質的數的數目為個，故，所以為常數，即數列為等比數列，故C正確；根據選項C即可知，數列的前4項和為，故D錯誤.故選：AC【點睛】關鍵點點睛：本題主要是理解函數的定義，難點是選項C的證明，主要是確定與互質的數的個數；若p為質數，在小于等于的正整數中每p個數當中就有一個與不互質，則不互質的數目個數為個，所以互質的數的數目為個，即可證明數列為等比數列，并可計算數列前n項和.三、填空題13．若函數是奇函數，則的值為__________．【答案】【分析】由奇函數的性質有恒成立，列方程求參數值即可.【詳解】由，又為奇函數，，即，所以，顯然，故.故答案為：14．已知某正方體外接球的表面積為，則該正方體的棱長為______．【答案】1【分析】根據球的表面積公式，求得球的半徑，結合正方體的對角線長等于外接球的直徑，列出方程，即可求解.【詳解】設正方體的棱長為，外接球的半徑為，根據正方體的對角線長等于外接球的直徑，可得，由，可得，即，解得．故答案為：1．15．已知實數x，y滿足，若，則z的最小值是_____【答案】8【分析】先由基本不等式放縮，然后再用基本不等式得最小值．【詳解】因為，所以，，當且僅當，即時取等號，所以，當且僅當，即時等號成立，此時．故答案為：8．四、雙空題16．已知函數，則的零點為___________，若，且，則的取值范圍是__________．【答案】

【分析】根據分段函數以及零點的定義，令即可解得函數的零點；由可知在1的左右兩側，分別代入計算得出的關系式，將消元之后構造函數即可求得其取值范圍.【詳解】令，即，解得不合題意，舍去；或，解得，符合題意；所以，函數的零點為.由，且可知，當時，,不合題意；當時，，不合題意；所以，分別屬于兩個區間，不妨取，則，即；所以，則，令，所以令，得，當時，，即函數在上為單調遞減；當時，，即函數在上為單調遞增；所以函數在時取最小值，即，即所以的取值范圍是.故答案為：；【點睛】方法點睛：本題在求解的取值范圍時首先應確定兩個變量的取值范圍，根據等量關系將雙變量問題消元，轉換成單變量問題后構造函數，利用自變量取值范圍即可求得結果.五、解答題17．已知圓與軸相切，圓心在射線，且被直線截得的弦長為.(1)求圓的方程；(2)若點在圓上，求點到直線的距離的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可設圓的方程為，利用幾何法建立弦長的關系，求出即可；（2）直線與圓相離，則到直線的距離的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，即可求解【詳解】（1）因為圓心在射線，則可設圓的圓心為，其中，因為圓與軸相切，所以圓的半徑為，圓的方程為，設圓心到直線的距離為，則，由弦長的幾何關系得，解得，所以圓的方程為；（2）因為圓心到的距離為，所以直線與圓相離，點到直線的距離的最小值為18．在①面積，②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，求.如圖，在平面四邊形中，，，______，，求.【答案】見解析【解析】選擇①：利用三角形面積公式和余弦定理可以求接求出的長；選擇②：在，中，分別運用正弦定理，可以求接求出的長；【詳解】解：選擇①：所以；由余弦定理可得所以選擇②設，則，，在中，即所以在中，，即所以.所以，解得，又，所以，所以.【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理、三角形面積公式，考查了數學運算能力.19．設是等比數列的前項和，，且、、成等差數列.(1)求的通項公式；(2)求使成立的的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出等比數列的公比，然后利用等比數列的通項公式可求得；（2）利用等比數列的求和公式以及已知條件可得出關于的不等式，解之即可得解.【詳解】（1）解：設等比數列的公比為，則，由，故.（2）解：，則，整理得，當為偶數時，，不合乎題意；當為奇數時，則，可得，可得.因此，的最大值為.20．如圖，三棱錐的三條側棱兩兩垂直，，，分別是棱的中點.(1)證明：平面平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）根據已知條件，先證明平面，根據面面垂直的判定定理可得結論成立；（2）由題意建立空間直角坐標系，根據條件分別求得平面和平面的法向量，計算兩個法向量的夾角的余弦值可得二面角的余弦值．【詳解】（1）證明：由三棱錐的三條側棱兩兩垂直，可得，平面，平面且，所以平面，又平面，則,因為，是棱的中點，所以，平面，平面且，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）由三棱錐的三條側棱兩兩垂直，故以為坐標原點，所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，故，設平面的法向量為，則，即，令，得，由（1）知平面的一個法向量為，所以，由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.21．設函數f（x）＝lnx＋，k∈R．（1）若曲線y＝f（x）在點(e，f（e）)處的切線與直線x－2＝0垂直，求f（x）的單調性和極小值(其中e為自然對數的底數)；（2）若對任意的x1>x2>0，f(x1)－f(x2)<x1－x2恒成立，求k的取值范圍．【答案】（1）在(0，e)上單調遞減，在(e，＋∞)上單調遞增，極小值為2；（2）．【分析】（1）求導后，根據導數的幾何意義以及兩直線垂直關系可得k＝e，再根據導數得到函數的單調性和極值；（2）轉化為h（x）＝f（x）－x＝lnx＋－x(x>0)在(0，＋∞)上單調遞減，接著轉化為≤0在(0，＋∞)上恒成立，即，k≥－x2＋x＝恒成立，利用二次函數求出最大值可得答案.【詳解】（1）由題意，得，∵曲線y＝f（x）在點(e，f（e）)處的切線與直線x－2＝0垂直，∴，即，解得k＝e，∴，由<0，得0<x<e；由>0，得x>e，∴f（x）在(0，e)上單調遞減，在(e，＋∞)上單調遞增．當x＝e時，f（x）取得極小值，且f（e）＝lne＋＝2．∴f（x）的極小值為2．（2）由題意知，對任意的x1>x2>0，f(x1)－x1<f(x2)－x2恒成立，設h（x）＝f（x）－x＝lnx＋－x(x>0)，則h（x）在(0，＋∞)上單調遞減，∴≤0在(0，＋∞)上恒成立，即當x>0時，k≥－x2＋x＝恒成立，∴k≥．故k的取值范圍是．【點睛】本題考查了導數的幾何意義，考查了減函數的定義，考查了利用導數研究函數的單調性和極值，考查了利用導數處理不等式恒成立，屬于中檔題.22．已知拋物線，點為其焦點，為上的動點，為在動直線上的投影.當為等邊三角形時，其面積為.(1)求拋物線的方程；(2)過軸上一動點作互相垂直的兩條直線，與拋物線分別相交于點A，B和C，D，點H，K分別為，的中點，求面積的最小值.【答案】(1)；(2)16.【分析】（1）根據給定條件求出，設出點P的坐標，結合拋物線定義列式計算作答.（2）設出直線AB、CD的方程，求出點H坐標，進而求出，由面積建立函數關系，借助均值不等式求解作