2023/2/61目前為止，我們已經：建立了系統的狀態空間模型提出了基于狀態空間模型的系統的運動分析探討了系統的性能：穩定性、能控性、能觀性“認識了世界”?如何來“改變世界”？！設計控制系統！系統的控制方式----反饋？：開環控制、閉環控制第6章狀態反饋和狀態觀測器第6章狀態反饋和狀態觀測器控制系統的動態性能，主要由其狀態矩陣的特征值（即閉環極點）決定。基于狀態空間表達式，可以通過形成適當的反饋控制，進而配置系統的極點，使得閉環系統具有期望的動態特性。經典控制：只能用系統輸出作為反饋控制器的輸入；現代控制：由于狀態空間模型刻畫了系統內部特征，故而還可用系統內部狀態作為反饋控制器的輸入。根據用于控制的系統信息：狀態反饋、輸出反饋2023/2/64第6章狀態反饋和狀態觀測器狀態反饋及極點配置系統的鎮定問題狀態觀測器帶有觀測器的狀態反饋系統2023/2/65第一節狀態反饋及極點配置狀態反饋與輸出反饋狀態反饋極點配置條件和算法狀態反饋閉環系統的能控性和能觀測性2023/2/66將系統每一個狀態變量乘以相應的反饋系數饋送到輸入端與參考輸人相加，其和作為受控系統的控制輸入。一、狀態反饋反饋的兩種基本形式：狀態反饋（1種）、輸出反饋（2種）原受控系統：線性反饋規律：2023/2/67狀態反饋閉環系統：反饋增益矩陣：狀態反饋閉環傳遞函數矩陣為：

一般D=0，可化簡為：狀態反饋閉環系統表示：狀態反饋系統的特征方程為：2023/2/68原受控系統：二、輸出到參考輸入的反饋（又稱為輸出反饋）將系統輸出量乘以相應的反饋系數饋送到參考輸人，其和作為受控系統的控制輸入。（同古典控制，不作過多說明）輸出反饋控制規律：輸出反饋系統狀態空間描述為：2023/2/69輸出反饋增益矩陣：閉環傳遞函數矩陣為：結論3：由于反饋引自系統輸出，所以輸出反饋不影響系統的可觀測性。結論1：當HC＝K時，輸出到參考輸入的反饋與狀態反饋等價。即對于任意的輸出反饋系統，總可以找到一個等價的狀態反饋，即K＝HC。故輸出反饋不改變系統的能控性。結論2：對于狀態反饋，從K＝HC中，給定K值，不一定能夠解出H。所以，輸出反饋是部分狀態反饋，輸出信息所包含的不一定是系統的全部狀態變量，適合工程應用，性能較狀態反饋差。

在不增加補償器的條件下，輸出反饋改變系統性能的效果不如狀態反饋好，不能任意配置系統的全部特征值；

輸出反饋在技術實現上很方便；而狀態反饋所用的系統狀態可能不能直接測量得到（需要狀態觀測器重構狀態）。優點缺點與狀態反饋相比較，輸出反饋：

（輸出反饋只是狀態反饋的一種特例，它能達到的系統性能，狀態反饋一定能達到；反之則不然。）2023/2/611原受控系統：三、輸出到狀態微分的反饋將系統的輸出量乘以相應的負反饋系數，饋送到狀態微分處。這種反饋在狀態觀測器中應用廣泛，結構和觀測器很相似。輸出反饋系統狀態空間描述為：2023/2/612極點配置：通過反饋增益矩陣K的設計，將加入狀態反饋后的閉環系統的極點配置在S平面期望的位置上。四、狀態反饋極點配置條件和算法1、極點配置算法(1)判斷系統能控性。如果狀態完全能控，按下列步驟繼續。1）直接法求反饋矩陣K（維數較小時，n≤3）定理：(極點配置定理)對線性定常系統進行狀態反饋，反饋后的系統其全部極點得到任意配置的充要條件是：狀態完全能控。注意：矩陣的特征值就是所期望的閉環極點。對不能控的狀態，狀態反饋不能改變其特征值。2023/2/613(2)求狀態反饋后閉環系統的特征多項式：(3)根據給定（或求得）的期望閉環極點，寫出期望特征多項式。(4)由確定反饋矩陣K：[解]：（1）先判斷該系統的能控性[例1]考慮線性定常系統其中：試設計狀態反饋矩陣K，使閉環系統極點為-2±j4和-10。2023/2/614該系統狀態完全能控，通過狀態反饋，可任意進行極點配置。（2）計算閉環系統的特征多項式設狀態反饋增益矩陣為：（3）計算期望的特征多項式2023/2/615由得（4）確定K陣求得：所以狀態反饋矩陣K為：[例2]對如下的線性定常系統，討論狀態反饋對系統極點的影響[解]：（1）先判斷該系統的能控性由對角線標準型判據可知，特征值為－1的狀態不能控。(2)假如加入狀態反饋陣K，得到反饋后的特征多項式為：2023/2/616從中可以看出，對于－1的極點，狀態反饋不起作用，狀態反饋只能通過k2去影響2這個極點。即狀態反饋對不能控部分狀態，不能任意配置其極點。求將相當繁瑣，所以引入能控標準型法。2）能控標準型法求反饋矩陣（維數較大時，n>3）1、首先將原系統化為能控標準型2、求出在能控標準型的狀態下的狀態反饋矩陣3、求出在原系統的狀態下的狀態反饋矩陣2023/2/617證明：原系統：能控標準型：其中：式（1）和式（2）比較，得：2023/2/618能控標準型：此時的系統不變量和原系統相同。能控標準型下，加入狀態反饋后，系統矩陣為：[能控標準型下，狀態反饋后閉環系統特征多項式及]2023/2/619能控標準型下，狀態反饋后閉環系統特征多項式為：根據期望閉環極點，寫出期望特征多項式：由，可以確定能控標準型下的反饋矩陣為：2023/2/620(1)判斷系統能控性。如果狀態完全能控，按下列步驟繼續。(2)確定將原系統化為能控標準型的變換陣若給定狀態方程已是能控標準型，那么，無需轉換能控標準型法，求反饋增益矩陣K的步驟：系統不變量：2023/2/621(3)根據給定或求得的期望閉環極點，寫出期望的特征多項式：(4)直接寫出在能控標準型下的反饋增益矩陣：(5)求未變換前原系統的狀態反饋增益矩陣：還可以由期望閉環傳遞函數得到：能控標準型法，非常適合于計算機matlab求解期望的閉環極點有時直接給定；有時給定某些性能指標：如超調量和調整時間等）2023/2/622[例]用能控標準型法，重新求解前面例1：（2）計算原系統的特征多項式：[解]：（1）可知，系統已經是能控標準型了，故系統能控，此時變換陣（3）計算期望的特征多項式（4）確定K陣所以狀態反饋矩陣K為：能控標準型下的狀態反饋矩陣為：2023/2/6233）愛克曼公式(Ackermann公式法)（維數較大時，n>3）為系統期望的特征多項式系數，由下式確定：其中是A滿足其自身的特征方程，為：推導過程：略此方法也非常適合于計算機matlab求解2023/2/624[例]用愛克曼公式，重新求解前面例1：[解]：（1）確定系統期望的特征多項式系數：所以：（2）確定2023/2/625（3）所以狀態反饋矩陣K為：2023/2/626[例]已知線性定常連續系統的狀態空間表達式為設計狀態反饋增益矩陣K，使閉環系統的極點為－1和－2，并畫出閉環系統的結構圖。解：先判斷系統的能控性。系統狀態完全能控，可以通過狀態反饋任意配置其極點。令2023/2/627則狀態反饋閉環系統的特征多項式為期望的特征多項式為由，求得

狀態反饋閉環系統的結構圖如下：2023/2/628期望極點選取的原則：1）n維控制系統有n個期望極點；2）期望極點是物理上可實現的，為實數或共軛復數對；3）期望極點的位置的選取，需考慮它們對系統品質的影響（離虛軸的位置），及與零點分布狀況的關系。4）離虛軸距離較近的主導極點收斂慢，對系統性能影響最大，遠極點收斂快，對系統只有極小的影響。2、閉環系統期望極點的選取2023/2/629五、狀態反饋閉環系統的能控性和能觀測性定理：如果SISO線性定常系統是能控的，則狀態反饋所構成的閉環系統也是能控的。證明:2023/2/630結論：對SISO系統，引入狀態反饋后，不改變系統原有的閉環零點。所以經過極點的任意配置，可能會出現零極點相約，由于可控性不變，故可能破壞可觀測性。能控標準型，受控系統傳遞函數：狀態反饋后，閉環系統傳遞函數：2023/2/631[本節小結]：1、狀態反饋系統的結構:狀態反饋閉環系統：狀態反饋閉環傳遞函數矩陣為：狀態反饋系統的特征方程為：2、輸出反饋:閉環系統動態方程：閉環傳遞函數矩陣為：系統的特征方程為：2023/2/6323、輸出到狀態微分的反饋：閉環系統動態方程：閉環傳遞函數矩陣為：系統的特征方程為：4、狀態反饋極點配置條件和算法：極點任意配置條件：系統狀態完全能控。極點配置算法：反饋陣k的求法2023/2/633(4)由確定反饋矩陣K：(2)求狀態反饋后閉環系統的特征多項式：(3)根據給定（或求得）的期望閉環極點，寫期望特征多項式。1）直接法求反饋矩陣K（維數較小時，n≤3時）(1)判斷系統能控性。如果狀態完全能控，按下列步驟繼續。2023/2/634(4)寫出能控標準型下的反饋增益矩陣：(5)求未變換前原系統的狀態反饋增益矩陣：2）能控標準型法求反饋矩陣（維數較大時，n>3時）(1)判斷系統能控性。如果狀態完全能控，按下列步驟繼續。(3)寫出期望的特征多項式：(2)確定將原系統化為能控標準型的變換陣2023/2/6355、狀態反饋閉環系統的能控性和能觀測性可以保持原系統的能控性，但可能破壞原系統的能觀測性。3）愛克曼公式(Ackermann公式法)（維數較大時，n>3）其中是A滿足其自身的特征方程，為：為系統期望的特征多項式系數，由下式確定：2）和3）方法非常適合于計算機matlab求解2023/2/636第二節系統的鎮定問題系統鎮定的概念狀態反饋與系統的鎮定2023/2/637一、系統鎮定的概念鎮定：一個控制系統，如果通過反饋使系統實現漸近穩定，即閉環系統極點具有負實部，則稱該系統是能鎮定的。可以采用狀態反饋實現鎮定，則稱系統是狀態反饋能鎮定的。定理：如果線性定常系統不是狀態完全能控的，則它狀態反饋能鎮定的充要條件是：不能控子系統是漸近穩定的。定理證明：二、狀態反饋與系統的鎮定原系統：2023/2/638將原系統按照能控性分解，得到系統對系統引入狀態反饋后，系統矩陣變為閉環系統特征多項式為：能控部分，總可以通過狀態反饋使之鎮定要求漸近穩定2023/2/639結論1：如果線性定常系統是狀態完全能控的，則不管其特征值是否都具有負實部，一定是狀態反饋能鎮定的。（一定存在狀態反饋陣K，使閉環系統的極點得到任意配置）

不穩定但狀態完全能控的系統，可以通過狀態反饋使它鎮定結論2：可控系統是一定可鎮定的，可鎮定系統不一定是可控的2023/2/640[例]系統的狀態方程為（2）由動態方程知系統是不能控的，但不能控部分的特征值是-5，位于左半S平面，可知此部分是漸近穩定的。因此該系統是狀態反饋能鎮定的。[解]：（1）系統的特征值為1，2和－5。有兩個特征值在右半S平面，因此系統不是漸近穩定的。（1）該系統是否是漸近穩定的？（2）該系統是否是狀態反饋能鎮定的？（3）設計狀態反饋，使期望的閉環極點為2023/2/641（3）不能控部分的極點為－5，與其中一個期望極點相同。此時，只能對能控部分進行極點配置。設，對能控部分進行極點配置。期望的特征多項式為：2023/2/642由得：解得：所以反饋陣為：2023/2/643[例]系統的狀態方程和輸出方程如下[解]：（1）系統特征方程為：（1）討論系統的穩定性。（2）加狀態反饋可否使系統漸近穩定？特征值為，系統不是漸近穩定的。（2）系統能控，加入狀態反饋可以任意配置極點。設反饋陣為，加狀態反饋后的系統矩陣為2023/2/644系統的特征多項式為：通過k1和k2的調整可使系統的特征值都位于左半S平面，使系統漸近穩定。45第三節全維狀態觀測器設計漸近狀態觀測器問題具有實際應用價值的是下圖所示狀態觀測器。它和開環狀態觀測器的差別在于增加了反饋校正通道。被控系統的輸出與觀測器的輸出進行比較，其差值作為校正信號。

46令其解為可知，當選取，使得所有特征值具有負實部則有：若觀測器和系統的初始狀態相同，觀測器的狀態與系統實際狀態完全相同；若觀測器初始狀態與系統初始狀態不相等，觀測器狀態以指數收斂到系統的實際狀態，即。因此，這種觀測器稱為漸近狀態觀測器。476.3.1全維狀態觀測器設計定理：線性（連續或者離散）定常系統存在狀態觀測器，并且能夠任意配置極點的充分必要條件是系統完全能觀測。此定理也適用于MIMO系統。設計狀態觀測器的一般步驟為:③根據狀態觀測器的期望極點，求④由確定②求①判別系統能觀性；486.3.1全維狀態觀測器設計

例：設計狀態觀測器，使其特征值為解：判斷系統的能觀性所以，系統可觀，狀態觀測器極點可以任意配置。能觀性判別矩陣滿秩49設則系統特征方程如下：狀態觀測器的期望特征方程為50令則解得即51小結狀態反饋就是將系統的每一狀態變量乘以相應的反饋系數，反饋到輸入端,與參考輸入相加，其和作為被控系統的控制信號。輸出反饋是將系統的輸出量乘以相應的系數反饋到輸入端,與參考輸入相加，其和作為被控系統的控制信號。線性（連續或者離散）定常系統存在狀態觀測器，并且能夠任意配置極點的充分必要條件是系統完全能觀測。多變量線性系統在任何形如的狀態反饋下，狀態反饋閉環系統完全能控的充要條件是被控對象完全能控。極點配置定理線性（連續或離散）多變量系統能任意配置極點的充分必要條件是,該系統狀態完全能控。2023/2/652第四節帶有觀測器的狀態反饋系統帶有觀測器的狀態反饋系統的構成帶有觀測器的狀態反饋系統的輸入輸出特性2023/2/653狀態觀測器的建立，為不能直接量測的狀態反饋提供了條件構成：帶有狀態觀測器的狀態反饋系統由觀測器和狀態反饋兩個子系統構成。用觀測器的估計狀態實現反饋。

是x重構狀態，階數小于等于x階數。系統階數為與x階數和一、帶有觀測器的狀態反饋系統的構成全維狀態觀測器加入狀態反饋2023/2/654帶有全維狀態觀測器的狀態反饋系統等價結構圖：2023/2/655加入反饋控制規律：狀態反饋部分的狀態方程：觀測器部分的狀態方程：原系統狀態空間描述為：帶有觀測器的狀