研究誤差的意義誤差的基本概念精度有效數字與數據運算第1章緒論合肥工業大學

誤差理論與數據處理第一節研究誤差的意義科學始于測量,沒有測量，便沒有精密的科學。門捷列夫門捷列夫(1834-1907)第一節研究誤差的意義

當你能夠測量你所關注的事物，而且能夠用數量來描述他的時候，你就對其有所認識；當你不能測量他，也不能將其量化的時候，你對他的了解就是貧乏和不深入的。開爾文開爾文（1824-1907）第一節研究誤差的意義

信息技術包括測量技術、計算機技術和通信技術，測量技術是信息技術的關鍵和基礎。錢學森錢學森(1911-)第一節研究誤差的意義正確認識誤差的性質，分析誤差產生的原因正確處理測量和實驗數據，合理計算所得結果,正確評定測量結果正確組織實驗過程，合理設計、選用儀器或測量方法從根本上，消除或減小誤差通過計算得到更接近真值的數據根據目標確定最佳系統第一節研究誤差的意義第一節研究誤差的意義大軸直徑測量：測量不確定度＜0.005mm/m。第二節誤差的基本概念誤差的定義及表示法誤差的來源誤差分類一、誤差的定義及表示法誤差（Error）：誤差測得值真值＝－約定真值理論值真值真值（TrueValue）：觀測一個量時，該量本身所具有的真實大小。一、誤差的定義及表示法三角形內角之和恒為180o一個整圓周角為

360o理論值國際千克基準1Kg在檢定工作中，常把高一等級精度的標準所測得的量值，即實際值作為約定真值。約定真值測量某壓力二等標準活塞壓力計測得9000.2N/CM2高一等級的壓力計測得9000.５N/CM2約定真值一、誤差的定義及表示法約定真值獲得方式(1)由國家基準或當地最高計量標準復現而賦予該量的值。(2)采用權威組織推薦的該量的值。例如，由國際數據委員會(CODATA)推薦的真空光速、阿伏加德羅常量等特定量的最新值。(3)有時用某量的多次測量結果來確定該量的約定真值。(4)對于硬度等量，則用其約定參考標尺上的值作為約定真值。一、誤差的定義及表示法一、誤差的定義及表示法誤差絕對誤差相對誤差粗大誤差系統誤差隨機誤差表示形式性質特點一、誤差的定義及表示法絕對誤差（AbsoluteError）

常用約定真值代替

特點：1)絕對誤差是一個具有確定的大小、符號及單位的量。2)絕對誤差與誤差的絕對值不同。x＝x－x0絕對誤差測得值真值＝－一、誤差的定義及表示法修正值(Correction)

:為了消除系統誤差用代數法加到測量結果上的值。

修正值真值測得值－特點：1)與誤差大小近似相等，但方向相反。2)修正值本身還有誤差。誤差－真值修正值測得值+一、誤差的定義及表示法【例1-1】用某電壓表測量電壓，電壓表的示值為226V，查該表的檢定證書，得知該電壓表在220V附近的誤差為5V，被測電壓的修正值為－5V，則修正后的測量結果為226+(－5V)=221V。

測得值絕對誤差一、誤差的定義及表示法被測量的真值，常用約定真值代替，也可以近似用測量值x來代替相對誤差特點：1）相對誤差有大小和符號。2）無量綱，一般用百分數來表示。絕對誤差相對誤差（RelativeError）：

實際相對誤差示值相對誤差引用相對誤差一、誤差的定義及表示法絕對誤差和相對誤差用兩種方法測量L1＝100ＭＭ的尺寸，其測量誤差為，，哪種方法測量精度高？若用第三種方法測量L2＝80ＭＭ的尺寸，其測量誤差為，與上述兩種方法相比，精度如何？用絕對誤差評定用相對誤差評定第二種方法精度更高一、誤差的定義及表示法第一種方法的相對誤差為：第二種方法的相對誤差為：第三種方法的相對誤差為：結論：用絕對誤差不便于比較不同量值、不同單位、不同物理量等的測量精度，采用相對誤差評定較為準確。一、誤差的定義及表示法定義

（１）測量范圍上限或全量程引用誤差

儀器某刻度點的示值誤差

引用誤差是一種相對誤差，而且該相對誤差是引用了特定值，即測量范圍上限（或全量程）得到的，故又稱為引用相對誤差、滿度誤差。

引用誤差（MeasuringInstrumentFiducialError）一、誤差的定義及表示法我國電工儀表的準確度等級(AccuracyClass)就按引用誤差分級的，如1.5級的電表，表明≤±1.5％。我國電工儀表共分七級：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0。

若某儀表的等級是S級，它的滿刻度值為xm，則測量的引用誤差為≤±S％按公式１絕對誤差為

△x≤±xm×S％（２）

相對誤差為

S選定后，X愈接近Xm，相對誤差的上限值愈小，測量愈準確。一般應使被測量的值盡可能在儀表滿刻度值的三分之二以上。一、誤差的定義及表示法

【例1-2

】檢定一只2.5級、量程為100V的電壓表，發現在50V處誤差最大，其值為2V，而其他刻度處的誤差均小于2V，問這只電壓表是否合格？該電壓表的引用誤差為由于所以該電壓表合格。【解】【例1-3

】某1.0級電流表，滿度值（標稱范圍上限）為100，求測量值分別為100，80和20時的絕對誤差和相對誤差。（）依題意，由公式（２）可知，最大絕對誤差為

相對誤差分別為

在同一標稱范圍內，測量值越小，其相對誤差越大。

【解】二、誤差的來源AddYourText測量誤差裝置誤差人員誤差環境誤差方法誤差二、誤差的來源測量裝置誤差標準量具誤差儀器誤差附件誤差工作原理＼設計＼裝配＼檢定誤差讀數＼量化誤差老化磨損誤差標準量具誤差:標準砝碼儀器誤差：天平的示值變動誤差天平本身的加工誤差二、誤差的來源二、誤差的來源各種環境因素與規定的標準狀態不一致而引起的測量裝置和被測量本身的變化所造成的誤差。測量環境誤差溫度濕度氣壓光照電磁振動二、誤差的來源測量方法誤差指使用的測量方法不完善，或采用近似的計算公式等原因所引起的誤差，又稱為理論誤差。［例］用均值電壓表測量交流電壓時，其讀數是按照正弦波的有效值進行刻度，由于計算公式中出現無理數和，故取近似公式，由此產生的誤差即為理論誤差。二、誤差的來源測量人員誤差測量人員的工作責任心、技術熟練程度、生理感官與心理因素、測量習慣等的不同而引起的誤差。為了減小測量人員誤差，要求測量人員：認真了解測量儀器的特性和測量原理熟練掌握測量規程精心進行測量操作正確處理測量結果0910三、誤差分類三、誤差分類系統誤差（SystematicError）在相同條件下，多次測量同一量值，該誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，按某一確定規律變化的誤差。在實際估計測量器具示值的系統誤差時，常常用適當次數的重復測量的算術平均值減去約定真值來表示，又稱為測量器具的偏移或偏畸（Bias）。由于系統誤差具有一定的規律性，因此可以根據其產生原因，采取一定的技術措施，設法消除或減小它。三、誤差分類系統誤差舉例：1用天平計量物體質量時，砝碼的質量偏差2圓度測量時，工件與旋轉軸安裝偏心引起的測量誤差3刻線尺的累積誤差三、誤差分類誤差絕對值和符號已經明確的系統誤差。

已定系統誤差：舉例：量塊

誤差絕對值和符號未能確定的系統誤差，但通常估計出誤差范圍。

未定系統誤差：三、誤差分類誤差絕對值和符號固定不變的系統誤差。

不變系統誤差：舉例：砝碼、熱膨脹誤差

誤差絕對值和符號變化的系統誤差。按其變化規律，可分為線性系統誤差、周期性系統誤差和復雜規律系統誤差。

變化系統誤差：三、誤差分類在相同測量條件下，多次測量同一量值時，絕對值和符號以不可預定方式變化的誤差但存在統計規律性。又稱為偶然誤差。隨機誤差產生原因實驗條件的偶然性微小變化，如溫度波動、噪聲干擾、電磁場微變、電源電壓的隨機起伏、地面振動等。

措施用概率統計的方法處理含有隨機誤差的數據，減小隨機誤差對測量結果的影響。（RandomError）三、誤差分類粗大誤差（GrossError）指明顯超出統計規律預期值的誤差。簡稱粗差。定義產生原因某些偶爾的異常因素或疏忽所致。

測量方法不當或錯誤，操作疏忽和失誤

測量條件的突然變化該誤差很大，會明顯歪曲測量結果。故應按照一定的準則進行判別，將含有粗大誤差的測量數據（稱為壞值或異常值）予以剔除。措施三、誤差分類三類誤差的關系標準差期望值

均值

某次測得值

奇異值

三類誤差的定義是科學嚴謹的，不能混淆。但在一定條件下可以相互轉化。按照一定基本尺寸制造的量塊。第三節精度它反映測量結果中系統誤差的影響。準確度（Correctness）它反映測量結果中隨機誤差的影響程度。精密度（Precision）精確度（Accuracy）

它反映測量結果中系統誤差和隨機誤差綜合的影響程度，簡稱精度。第三節精度準確度、精密度和精確度三者的關系準確度高精密度低準確度低精密度高準確度高精密度高精確度高第三節精度在相同條件下，在短時間內對同一個量進行多次測量所得測量結果之間的一致程度，一般用測量結果的分散性來定量表示。

重復性（Repeatability）在變化條件下，對同一個量進行多次測量所得測量結果之間的一致程度，一般用測量結果的分散性來定量表示。復現性也稱為再現性。

復現性（Reproducibility）常用精度名詞術語第三節精度測量儀器保持其計量特性隨時間恒定的能力。它可以用幾種方式來定量表示，如用計量特性變化某個規定的量所經過的時間；或用計量特性經規定的時間所發生的變化等。

穩定性（Stability）測量儀器的示值與對應輸入量的真值（或約定真值）之差。其實質就是反映了測量儀器準確度的大小。

示值誤差（ErrorofIndication）第三節精度測量儀器示值的系統誤差。通常用適當次數重復測量的示值誤差的平均來估計。

偏移（Bias）對于給定的測量儀器，規范、規程等所允許的誤差極限值。有時也稱為允許誤差限。

最大允許誤差（MaximumPermissibleError）表征合理地賦予被測量之值的分散性，與測量結果相聯系的參數。不確定度（uncertainty）第四節有效數字與數據運算含有誤差的任何數，如果其絕對誤差界是最末尾數的半個單位，那么從這個近似數左方起的第一個非零的數字起到最末一位數字止的所有數字，不管是零或非零的數字，都叫有效數字。

測量結果保留位數的原則1：最末一位數字是不可靠的，倒數第二位數字是可靠的。測量結果保留位數的原則2：在進行重要的測量時，測量結果和測量誤差可比上述原則再多取一維數字作為參考。一、有效數字第四節有效數字與數據運算二、數字舍入規則若舍去部分的數值，大于保留部分末位的半個單位，則末位數加1。若舍去部分的數值，小于保留部分末位的半個單位，則末位數減1。若舍去部分的數值，等于保留部分末位的半個單位，則

末位湊成偶數，即當末位為偶數時則末位不變，當末位是奇數時則末位加1。第四節有效數字與數據運算三、數字運算規則為保證最后結果有盡可能高的精度，運算數字在有效數字后可多保留一位數字作為參考數字。加減運算時，各運算數據以小數位數最少的數據位數為準，其余各數據可多取一位小數，但最后結果應與小數位數最少的數據小數位相同。乘除運算時，各運算數據以有效位數最少的數據位數為準，其余各數據可多取一位有效數，但最后結果應與有效位數最少的數據位數相同。平