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文檔簡介
2023年高考數學模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內,不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內,第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.一艘海輪從A處出發,以每小時24海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行,30分鐘后到達B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,那么B,C兩點間的距離是()A.6海里 B.6海里 C.8海里 D.8海里2.函數f(x)=的圖象大致為()A. B.C. D.3.已知滿足,則()A. B. C. D.4.如圖,在等腰梯形中,,,,為的中點,將與分別沿、向上折起,使、重合為點,則三棱錐的外接球的體積是()A. B.C. D.5.已知變量的幾組取值如下表:12347若與線性相關,且,則實數()A. B. C. D.6.設α,β為兩個平面,則α∥β的充要條件是A.α內有無數條直線與β平行B.α內有兩條相交直線與β平行C.α,β平行于同一條直線D.α,β垂直于同一平面7.已知為虛數單位,實數滿足,則()A.1 B. C. D.8.已知雙曲線:的焦點為,,且上點滿足,,,則雙曲線的離心率為A. B. C. D.59.某地區教育主管部門為了對該地區模擬考試成進行分析,隨機抽取了200分到450分之間的2000名學生的成績,并根據這2000名學生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖,如圖所示,則成績在,內的學生人數為()A.800 B.1000 C.1200 D.160010.某人用隨機模擬的方法估計無理數的值,做法如下:首先在平面直角坐標系中,過點作軸的垂線與曲線相交于點,過作軸的垂線與軸相交于點(如圖),然后向矩形內投入粒豆子,并統計出這些豆子在曲線上方的有粒,則無理數的估計值是()A. B. C. D.11.在的展開式中,含的項的系數是()A.74 B.121 C. D.12.以下四個命題:①兩個隨機變量的線性相關性越強,相關系數的絕對值越接近1;②在回歸分析中,可用相關指數的值判斷擬合效果,越小,模型的擬合效果越好;③若數據的方差為1,則的方差為4;④已知一組具有線性相關關系的數據,其線性回歸方程,則“滿足線性回歸方程”是“,”的充要條件;其中真命題的個數為()A.4 B.3 C.2 D.1二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.一個村子里一共有個人,其中一個人是謠言制造者,他編造了一條謠言并告訴了另一個人,這個人又把謠言告訴了第三個人,如此等等.在每一次謠言傳播時,謠言的接受者都是在其余個村民中隨機挑選的,當謠言傳播次之后,還沒有回到最初的造謠者的概率是_______.14.在棱長為的正方體中,是面對角線上兩個不同的動點.以下四個命題:①存在兩點,使;②存在兩點,使與直線都成的角;③若,則四面體的體積一定是定值;④若,則四面體在該正方體六個面上的正投影的面積的和為定值.其中為真命題的是____.15.函數的值域為_________.16.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點、,其中為左焦點.點為兩曲線在第一象限的交點,、分別為曲線、的離心率,若是以為底邊的等腰三角形,則的取值范圍為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知變換將平面上的點,分別變換為點,.設變換對應的矩陣為.(1)求矩陣;(2)求矩陣的特征值.18.(12分)已知關于的不等式解集為().(1)求正數的值;(2)設,且,求證:.19.(12分)在以為頂點的五面體中,底面為菱形,,,,二面角為直二面角.(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)求二面角的余弦值.20.(12分)已知三點在拋物線上.(Ⅰ)當點的坐標為時,若直線過點,求此時直線與直線的斜率之積;(Ⅱ)當,且時,求面積的最小值.21.(12分)橢圓的右焦點,過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的弦長為.(1)求橢圓的方程;(2)過點且斜率不為0的直線與橢圓交于,兩點.為坐標原點,為橢圓的右頂點,求四邊形面積的最大值.22.(10分)已知函數.(1)設,若存在兩個極值點,,且,求證:;(2)設,在不單調,且恒成立,求的取值范圍.(為自然對數的底數).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
先根據給的條件求出三角形ABC的三個內角,再結合AB可求,應用正弦定理即可求解.【詳解】由題意可知:∠BAC=70°﹣40°=30°.∠ACD=110°,∴∠ACB=110°﹣65°=45°,∴∠ABC=180°﹣30°﹣45°=105°.又AB=24×0.5=12.在△ABC中,由正弦定理得,即,∴.故選:A.【點睛】本題考查正弦定理的實際應用,關鍵是將給的角度、線段長度轉化為三角形的邊角關系,利用正余弦定理求解.屬于中檔題.2、D【解析】
根據函數為非偶函數可排除兩個選項,再根據特殊值可區分剩余兩個選項.【詳解】因為f(-x)=≠f(x)知f(x)的圖象不關于y軸對稱,排除選項B,C.又f(2)==-<0.排除A,故選D.【點睛】本題主要考查了函數圖象的對稱性及特值法區分函數圖象,屬于中檔題.3、A【解析】
利用兩角和與差的余弦公式展開計算可得結果.【詳解】,.故選:A.【點睛】本題考查三角求值,涉及兩角和與差的余弦公式的應用,考查計算能力,屬于基礎題.4、A【解析】
由題意等腰梯形中的三個三角形都是等邊三角形,折疊成的三棱錐是正四面體,易求得其外接球半徑,得球體積.【詳解】由題意等腰梯形中,又,∴,是靠邊三角形,從而可得,∴折疊后三棱錐是棱長為1的正四面體,設是的中心,則平面,,,外接球球心必在高上,設外接球半徑為,即,∴,解得,球體積為.故選:A.【點睛】本題考查求球的體積,解題關鍵是由已知條件確定折疊成的三棱錐是正四面體.5、B【解析】
求出,把坐標代入方程可求得.【詳解】據題意,得,所以,所以.故選:B.【點睛】本題考查線性回歸直線方程,由性質線性回歸直線一定過中心點可計算參數值.6、B【解析】
本題考查了空間兩個平面的判定與性質及充要條件,滲透直觀想象、邏輯推理素養,利用面面平行的判定定理與性質定理即可作出判斷.【詳解】由面面平行的判定定理知:內兩條相交直線都與平行是的充分條件,由面面平行性質定理知,若,則內任意一條直線都與平行,所以內兩條相交直線都與平行是的必要條件,故選B.【點睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理,最容易犯的錯誤為定理記不住,憑主觀臆斷,如:“若,則”此類的錯誤.7、D【解析】,則故選D.8、D【解析】
根據雙曲線定義可以直接求出,利用勾股定理可以求出,最后求出離心率.【詳解】依題意得,,,因此該雙曲線的離心率.【點睛】本題考查了雙曲線定義及雙曲線的離心率,考查了運算能力.9、B【解析】
由圖可列方程算得a,然后求出成績在內的頻率,最后根據頻數=總數×頻率可以求得成績在內的學生人數.【詳解】由頻率和為1,得,解得,所以成績在內的頻率,所以成績在內的學生人數.故選:B【點睛】本題主要考查頻率直方圖的應用,屬基礎題.10、D【解析】
利用定積分計算出矩形中位于曲線上方區域的面積,進而利用幾何概型的概率公式得出關于的等式,解出的表達式即可.【詳解】在函數的解析式中,令,可得,則點,直線的方程為,矩形中位于曲線上方區域的面積為,矩形的面積為,由幾何概型的概率公式得,所以,.故選:D.【點睛】本題考查利用隨機模擬的思想估算的值,考查了幾何概型概率公式的應用,同時也考查了利用定積分計算平面區域的面積,考查計算能力,屬于中等題.11、D【解析】
根據,利用通項公式得到含的項為:,進而得到其系數,【詳解】因為在,所以含的項為:,所以含的項的系數是的系數是,,故選:D【點睛】本題主要考查二項展開式及通項公式和項的系數,還考查了運算求解的能力,屬于基礎題,12、C【解析】
①根據線性相關性與r的關系進行判斷,
②根據相關指數的值的性質進行判斷,
③根據方差關系進行判斷,
④根據點滿足回歸直線方程,但點不一定就是這一組數據的中心點,而回歸直線必過樣本中心點,可進行判斷.【詳解】①若兩個隨機變量的線性相關性越強,則相關系數r的絕對值越接近于1,故①正確;
②用相關指數的值判斷模型的擬合效果,越大,模型的擬合效果越好,故②錯誤;
③若統計數據的方差為1,則的方差為,故③正確;
④因為點滿足回歸直線方程,但點不一定就是這一組數據的中心點,即,不一定成立,而回歸直線必過樣本中心點,所以當,時,點必滿足線性回歸方程;因此“滿足線性回歸方程”是“,”必要不充分條件.故④錯誤;
所以正確的命題有①③.
故選:C.【點睛】本題考查兩個隨機變量的相關性,擬合性檢驗,兩個線性相關的變量間的方差的關系,以及兩個變量的線性回歸方程,注意理解每一個量的定義,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用相互獨立事件概率的乘法公式即可求解.【詳解】第1次傳播,謠言一定不會回到最初的人;從第2次傳播開始,每1次謠言傳播,第一個制造謠言的人被選中的概率都是,沒有被選中的概率是.次傳播是相互獨立的,故為故答案為:【點睛】本題考查了相互獨立事件概率的乘法公式,考查了考生的分析能力,屬于基礎題.14、①③④【解析】
對于①中,當點與點重合,與點重合時,可判斷①正確;當點點與點重合,與直線所成的角最小為,可判定②不正確;根據平面將四面體可分成兩個底面均為平面,高之和為的棱錐,可判定③正確;四面體在上下兩個底面和在四個側面上的投影,均為定值,可判定④正確.【詳解】對于①中,當點與點重合,與點重合時,,所以①正確;對于②中,當點點與點重合,與直線所成的角最小,此時兩異面直線的夾角為,所以②不正確;對于③中,設平面兩條對角線交點為,可得平面,平面將四面體可分成兩個底面均為平面,高之和為的棱錐,所以四面體的體積一定是定值,所以③正確;對于④中,四面體在上下兩個底面上的投影是對角線互相垂直且對角線長度均為1的四邊形,其面積為定義,四面體在四個側面上的投影,均為上底為,下底和高均為1的梯形,其面積為定值,故四面體在該正方體六個面上的正投影的面積的和為定值,所以④正確.故答案為:①③④.【點睛】本題主要考查了以空間幾何體的結構特征為載體的謎題的真假判定及應用,其中解答中涉及到棱柱的集合特征,異面直線的關系和椎體的體積,以及投影的綜合應用,著重考查了推理與論證能力,屬于中檔試題.15、【解析】
利用換元法,得到,利用導數求得函數的單調性和最值,即可得到函數的值域,得到答案.【詳解】由題意,可得,令,,即,則,當時,,當時,,即在為增函數,在為減函數,又,,,故函數的值域為:.【點睛】本題主要考查了三角函數的最值,以及利用導數研究函數的單調性與最值,其中解答中合理利用換元法得到函數,再利用導數求解函數的單調性與最值是解答的關鍵,著重考查了推理與預算能力,屬于基礎題.16、【解析】
設,由橢圓和雙曲線的定義得到,根據是以為底邊的等腰三角形,得到,從而有,根據,得到,再利用導數法求的范圍.【詳解】設,由橢圓的定義得,由雙曲線的定義得,所以,因為是以為底邊的等腰三角形,所以,即,因為,所以,因為,所以,所以,即,而,因為,所以在上遞增,所以.故答案為:【點睛】本題主要考查橢圓,雙曲線的定義和幾何性質,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)1或6【解析】
(1)設,根據變換可得關于的方程,解方程即可得到答案;(2)求出特征多項式,再解方程,即可得答案;【詳解】(1)設,則,,即,解得,則.(2)設矩陣的特征多項式為,可得,令,可得或.【點睛】本題考查矩陣的求解、矩陣的特征值,考查函數與方程思想、轉化與化歸思想,考查運算求解能力.18、(1)1;(2)證明見解析.【解析】
(1)將不等式化為,求解得出,根據解集確定正數的值;(2)利用基本不等式以及不等式的性質,得出,,,三式相加,即可得證.【詳解】(1)解:不等式,即不等式∴,而,于是依題意得(2)證明:由(1)知,原不等式可化為∵,∴,同理,三式相加得,當且僅當時取等號綜上.【點睛】本題主要考查了求絕對值不等式中參數的范圍以及基本不等式的應用,屬于中檔題.19、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)連接交于點,取中點,連結,證明平面得到答案.(Ⅱ)分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系,平面的法向量為,平面的法向量為,計算夾角得到答案.【詳解】(Ⅰ)連接交于點,取中點,連結因為為菱形,所以.因為,所以.因為二面角為直二面角,所以平面平面,且平面平面,所以平面所以因為所以是平行四邊形,所以.所以,所以,所以平面,又平面,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知兩兩垂直,分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系.設設平面的法向量為,由,取.平面的法向量為.所以二面角余弦值為.【點睛】本題考查了線線垂直,二面角,意在考查學生的計算能力和空間想象能力.20、(Ⅰ);(Ⅱ)16.【解析】
(Ⅰ)設出直線的方程并代入拋物線方程,利用韋達定理以及斜率公式,變形可得;(Ⅱ)利用,,的斜率,求得的坐標,,再用基本不等式求得的最小值,從而可得三角形的面
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