習題課2常用邏輯用語的應用(1分鐘).理解充分條件、必要條件與充要條件的意義，會判斷條件間的充要關系..理解全稱量詞與存在量詞的意義，能正確對含有一個量詞的命題進行否定..能根據充要關系或命題間的邏輯關系，求參數的取值范圍.(5分鐘)1.命題“VxK),f-xK)”的否定是().A3x<0,^-x<0B.Vx>0,班大<0C.3x>0,x2-.、之OD.M加，x2-x<0【解析】根據全稱量詞命題的否定的定義可知，命題“veo,爐-啟0”的否定是“土侖0,Px<0”.【答案】D.若是“Q243”的充分不必要條件，則實數〃的取值范圍是0.A.”<1B.?<1C.〃>1D.?>1【解析】因為是“Q2.-3”的充分不必要條件，所以{M-l<x<3}是。伙>2小3}的真子集，則2公3W1,解得它1.【答案】B.命題“存在一個三角形沒有外接圓”的否定是.【解析】該命題是存在量詞命題，改量詞，否結論，故該命題的否定是“任意一個三角形都有外接圓”.【答案】任意一個三角形都有外接圓.已知集合A={x|lvx<3},集合8=卜|2"7Vx(1)當m=-l時,求AU&(2)若'"￡8”是的必要不充分條件，求實數機的取值范圍.【解析】(1),??當m=-1時,B={x[-2<x<2],且A={x|l<a,<3},.??AU8={M-2<x<3}.(2)：是“工￡人”的必要不充分條件，2m<1,-解得"￡-2,,1-m>3,???實數m的取值范圍為制F-2}.(探究1用時8分鐘，探究2用時8分鐘，探究3用時9分鐘)探究1：充分條件、必要條件的探求及應用【例1】已知集合片{升2人10},非空集合S={x|l-wS\W+間.是否存在實數加，使得〃，是“x￡S”的充要條件?若存在，求出實數，〃的取值范圍；若不存在，說明理由.【解析】若‘々￡尸'是WS”的充要條件，則。=5,{1-m=-2,(m=3?十&”所以無解.1+m=10,(th=9,故不存在實數機，使得“x￡P”是“x￡S”的充要條件.【變式設問】本例條件不變，若"xeCrP”是~￡CrS”的必要不充分條件，求實數m的取值范圍.【提示】由例題知P={R-2》W10},因為“x￡CrP”是“x￡CrS”的必要不充分條件，所以CrS^CrH所以年S,即{a-|-2<x<10泛“|1-m<x<1+/?),所以11加工2或[1加<2所以哈外(l+m>10(1+m>10,故實數m的取值范圍是m>9.【方法小結】根據充分、必要條件求解參數取值范圍的方法及注意事項(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參數的不等式(組)求解.(2)求解參數的取值范圍時，一定要注意區間端點值的檢驗，尤其是利用兩個集合之間的關系求解參數的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍，處理不當容易出現漏解或增解的現象.【針對訓練1](1)命題“對一切1—3,『-<區0"為真命題的一個充分不必要條件是().Az/>9B.a<9C.67>10D.?<10⑵若“xv-2或心＞3”是的必要不充分條件，則實數。的最小值為.【解析】(1)命題“對一切1-3,F-aWO"="對一切0W3,/%”=9%,貝［色10是命題“對一切1g3,f-aWO”為真命題的一個充分不必要條件.故選C.(2)因為》＜-2或工＞3”是“心卬”的必要不充分條件，所以｛小＞〃)是｛小＜-2或Q3｝的真子集，所以生3,故。的最小值為3.【答案】⑴C；(2)3探究2：全稱量詞命題與存在量詞命題的綜合問題【例2】判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，寫出命題的否定，并判斷其真假：(l)p：Vx￡R,爐j+30；(2)p：所有的正方形都是矩形；(3)p：2.veR,『+2x+8s0：(4)p：至少有一個實數x,使j?+1=0；(5)/7：與同一平面所成的角相等的兩條直線平行.【方法指導】本題中既有全稱量詞命題乂有存在量詞命題，對它們否定時要先改變量詞，即全稱量詞改為存在量詞，存在量詞改為全稱量詞，再否定結論.【解析】⑴〃是全稱量詞命題，〃的否定：3xeR,也出〈0.因為對于任意的X，爐“4=(壯)2沙，所以〃的否定為假命題.(2)〃是全稱量詞命題，〃的否定：存在一個正方形，它不是矩形.因為正方形是特殊的矩形，所以〃的否定為假命題.(3)〃是存在量詞命題，〃的否定：V.veR,x2+2x+8＞0.因為對于任意的x,x2+2jt+8=(x+1)2+727＞0,所以〃的否定為真命題.(4)〃是存在量詞命題，〃的否定：VaGR,好+1#).因為當下-1時，3+1=0,所以〃的否定為假命題.(5)〃是全稱量詞命題，省略了全稱量詞“任意”，即“任意兩條與同一平面所成的角相等的直線平行”，〃的否定：存在兩條與同一平面所成的角相等的直線不平行.顯然〃的否定為真命題.【方法小結】1.對全稱量詞命題與存在量詞命題進行否定的方法(1)改變量詞：確定命題所含量詞的類型，省去量詞的要結合命題的含義加上量詞，再對量詞進行改變.(2)否定結論：對原命題的結論進行否定.2.全稱最詞命題與存在最詞命題的真假判斷方法(1)要判斷一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合M中的每個元素x驗證p(x)成立；但要判斷全稱命題是假命題，只要能找出集合M中的一個x=xo,使得p(xo)不成立即可(這就是通常所說的“舉出一個反例”).(2)要判斷一個存在量詞命題是真命題，只要在限定集合M中，至少能找到一個x=xo,使p(x0)成立即可，否則，這一存在量詞命題就是假命題.【針對訓練2】⑴命題“VQ1,卷>0”的否定是0.X-1TOC\o"1-5"\h\zA.3x<l,20X-lX-1C.Vx>l,三0D.V.K1,—<0X-lx-l(2)給出以下命題：①VxER,丁>1；②命題“&WR,->0"的否定是比0”；③命題“有的三角形是直角三角形”是全稱量詞命題，并且是真命題.其中為假命題的是.(把所有符合要求的命題序號都填上)【解析】(I)命題的否定是土>1,—0,故選B.(2)令Z,則(-1)3",故①為假命題；命題的否定是F2爛0”，故②為假命題；”有的三角形是直角三角形”是存在量詞命題，故③為假命題.【答案】⑴B；(2)①②③探究3：由命題的真假確定參數的取值范圍［例3］已知p：存在x￡R,使得"*+1WO,q：任意％￡R,/+1+〃?>0.若〃和g均為假命題，求實數機的取值范圍.【方法指導】當〃是假命題時，不等式〃*+1>0恒成立，直接求解；先考慮q為真命題的情況，再取補集，得到機的取值范圍.進而取交集得解.【解析】當〃是假命題時，/7*+1>0恒成立，則有/佗0;當是真命題時，J=l-1\m>0,14w<0,所以機，.因此由〃，g均為假命題得I<1即0W"號，所以實數m的取值范圍為0</n<；.4【變式設問1】在本例條件下，若p,9均為真命題，求實數加的取值范圍.【解析】依題意當〃是真命題時，加<0；當4是真命題時，加m>1所以由4'可得加￡0.771V0,【變式設問2】在本例條件下，若p,q有且僅有一個為假命求實數〃，的取值范圍.m<-,【解析】當〃真4假時，一4所以mV0；m<0,當〃假q真時，所以〃吟所以實數m的取值范圍是機￡或/〃<0.4【方法小結】根據命題的真假求參數取值范圍的策略全稱最詞命題可轉化為恒成立問題，存在最詞命題可轉化為存在性問題.【針對訓練3】⑴若命題“v〃>0,使得I,2,〃不能構成三角形”是假命題，則實數〃的取值范圍是.(2)已知命題〃：函數產的最小值小于0；命題/當心>3時，關于％的函數產2爐+辦+4的圖象隨％的增大而上升.若p,q有且僅有一個為假命題，則實數。的取值范圍是.【解析】(1)根據題意，命題'勺〃>0,使得1,2,。能構成三角形”是真命題，(a+1>2,a<1+2,所以l<a<3.a>0?(2)因為函數尸的最小值為小1,所以命題〃為真命題等價于小1<0,即〃<1：命題q為真命題等價于-53,即生-12.若〃真q假，則。<-12；若〃假q真，則生1.故實數的取值范圍是aNl或av-12.【答案】(l)lv〃v3；(2)a>\或”12等價轉化思想的應用(6分鐘)【例4】己知集合A=*|2a-1<x<a+1},B={x|O<r<l}.(⑥在①冊/,②〃=(),③。=1這三個條件中選擇一個條件，求人UB：(2)若A為非空集合，“x￡A”是“x七Cr8”的充分不必要條件，求實數〃的取值范圍.【解析】(I)若選擇①：當《=-1時，A={x|-3<x<0},因為8={#)球1}，所以AU8={.H-34E1}.若選擇②：當。=0時，A={M-l<v〈l}，因為5={#)姿1},所以AUB;3?1位1}.若選擇③：當。=1時，A={.r|l7<2},因為8=國0001}，所以人口8=國0夕<2}.(2)因為B={.t|0<r<l),所以Cr8={Mv<0或Q1},因為集合A={x|2a-l<xva+l}不是空集，所以加-lVa+l,解得冰2又因為是“xwCrB”的充分不必要條件，所以集合A是集合CrB的真子集，即a+\<0或2a-\>\t解得a<-l或a>\.綜上所述，實數a的取值范圍為a<-\或1&<2.【方法小結】轉化是數學解題的靈魂，合理的轉化不僅使問題得到了解決，還可以使解決問題的難度大大降低，將充分不必要條件問題轉化為集合真子集問題是本題解題的關鍵.素養圖譜(5分鐘)1.命題”所有能被2整除的整數都是偶數”的否定是0.A.所有不能被2整除的整數都是偶數B.所有能被2整除的整數都不是偶數C.存在一個不能被2整除的整數是偶數D.存在一個能被2整除的整數不是偶數【解析】全稱量詞命題的否定為相應的存在量詞命題，即將所有變為存在，并且將結論進行否定.【答案】D.“0=1”是“⑷口”成立的0.A.充分必要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D