集合的基本運算

第一課時交集、并集學習目標.通過實例理解兩個集合交集與并集的含義,會求兩個集合的交集與并集，以提升數學抽象素養和數學運算的核心素養..會使用維恩圖表示集合的交、并運算，體會圖形對理解抽象概念的作用，以滲透數形結合思想..通過集合運算的學習，感受集合作為一種語言,在表示數學內容時的簡潔和準確,進一步提高類比能力..交集⑴定義:一般地,給定兩個集合A,B,由既屬于A又屬于B的所有元素（即A和B的公共元素）組成的集合,稱為A與B的交集,記作AAB,讀作“A交B”.◎⑵圖形語言表示為:思考1:若兩個集合沒有公共元素,則兩集合的交集是什么？答案:若兩個集合沒有公共元素,則兩集合的交集是空集.思考2:若兩個集合A,B的交集是空集,則兩集合有什么特征？答案:若兩個集合A,B的交集是空集,則兩集合至少有一個是空集或者兩集合雖不是空集，但是兩集合沒有公共元素..并集A.{1,2,3}B.{1,2,4)C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}解析:AGB={1,2},(AGB)UC={1,2,3,4}.故選D.5.設集合A={x|-3<x<n,xGZ},B={x|x=2k-1,k?Z},則AGB的元素有個.解析:因為集合A={x|-3<x<n,XGZ},B={x|x=2k-l,k￡Z},所以集合A中的元素為-2,-1,0,1,2,3,而集合B中的元素為奇數,所以AGB={-1,1,3},AAB的元素個數為3.答案：3⑴定義:一般地,給定兩個集合A,B,由這兩個集合的所有元素組成的集合,稱為A與B的并集,記作AUB,讀作“A并B”.⑵圖形語言表示為：思考3:集合AUB的元素個數是否等于集合A與集合B的元素個數之和？答案:不一定相等.AUB的元素個數小于或等于集合A與集合B的元素個數之和.思考4:根據兩集合的并集的定義可知,集合AUB中的元素與集合A,B的元素有什么關系？答案:根據兩集合的并集的定義,集合AUB中的元素與集合A,B的元素有以下三種關系：①x￡A且xqB;②x￡B且泊A;③x￡A且x￡B.交集、并集的運算性質您探究點一交集運算交集的運算性質并集的運算性質AAB=BAAAUB=BUAAAA=AAUA=AAG0-0AU0=AAGB=AAB=AAUB=AUB=B[例1]⑴設集合M二{T,0,1},N={xR=x},則MAN等于()A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1}D.{0}⑵若集合A={x|-2WxW3},B={x|x<-l或x>4}，則集合AAB等于()A.{x|xW3或x>4}B.{x|T〈xW3}C.{x|3^x<4}D.{x|-2^x<-l}⑶已知A:{(x,y)14x+y=6},B={(x,y)13x+2y=7},則AAB=.解析：(1)N={xlx'x}二{0,1},所以MAN={0,1}.故選B.⑵將集合A,B表示在數軸上，由圖可得AGB={x|-2Wx<-1}.故選D.(3)AAB={(x,y)|4x+y=6}A{(x,y)|3x+2y=7}={(x,y)I梁:七_6)}={(1，2)}.答案：⑴B(2)D(3){(1,2)}求集合AAB的步驟與方法(1)步驟①首先要搞清集合A,B的代表元素是什么.②把所求交集的集合用集合符號表示出來，寫成“AGB”的形式.③把化簡后的集合A,B的所有公共元素都寫出來即可(若無公共元素,則所求交集為0).⑵方法①定義法.若集合是用列舉法表示的,可以直接利用交集的定義求解；②數形結合法.若集合是用描述法表示的由實數組成的數集,則可以借助數軸分析法求解,但要注意,利用數軸表示不等式時,含有端點的值用實心點表示,不含有端點的值用空心點表示.針對訓練：⑴設集合人二年|-1?}加&|0。忘4},則八013等于()A.{x|0WxW2}B.{x|lWxW2}C.{x|0WxW4}D.{x|lWxW4}(2)已知集合A={x|x=3n+2,n￡N},B={6,8,10,12,14),則集合AAB中元素的個數為()A.5B.4C.3D.2解析：(1)因為A={x|TWxW2},B={x|0WxW4},在數軸上標出集合A,B,如圖,故AAB={x|0〈xW2}.故選A.(2)因為8=3X2+2,14=3X4+2,所以8￡A,14￡A，所以AAB二所14).故選D.[備用例1](1)若A={x￡N|lWxW10},B=G￡1^^2+乂-6=0},則圖中陰影部分表示的集合為()A.{2}B.{3}C.{-3,2}D.{-2,3}⑵設集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}，若AGB={1},則集合B等于A.{-3,1}B.{0,1}C.{1,5}D.{1,3}解析：(1)A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},由題意可知，陰影部分為AAB,AAB={2}.故選A.⑵因為AC1B=⑴，所以1￡B,所以1是方程x2-4x+m=0的根，所以l-4+m=0,所以m=3.所以B={x|x2-4x+3=0}={x|(x-1)(x-3)=0}={1,3}.故選D.至探究點二并集運算[例2](1)設集合A={1,2,3),B=⑵3,4,5},求AUB;(2)設集合A:{x|-3<xW5},B={x|2<xW6}，求AUB.W：(1)AUB={1,2,3}U{2,3,4,5}={1,2,3,4,5).⑵畫出數軸如圖所示.所以AUB={x|-3〈x《5}U{x|2〈xU6}二{x|-3<xW6}.并集運算應注意的問題⑴對于描述法給出的集合,應先看集合的代表元素是什么，弄清是數集,還是點集,然后將集合化簡,再按定義求解.⑵求兩個集合的并集時要注意利用集合元素的互異性這一屬性,重復的元素只能算一個.⑶對于元素個數無限的集合進行并集運算時,可借助數軸,利用數軸分析法求解，但要注意端點的值能否取到.針對訓練：（1）已知集合M={T,O,1},P={O,1,2,3},則圖中陰影部分所表示的集合是（）A.{0,1}B.{0}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}⑵若集合A={x|x>-l},B={x|-2<x<2},則AUB二.解析：⑴由維恩圖，可知陰影部分所表示的集合是MUP.因為M=1},P={0,1,2,3},故MUP=1,2,3}.故選D.（2）畫出數軸如圖所示,故AUB={x|x>-2}.答案：（1）D（2）{x|x>-2}您好一集合交集、并集的應用［例3］已知集合A={x12<x<4},B={x|a<x<3a（a>0）}.⑴若AUB二B,求a的取值范圍；⑵若AGB二0,求a的取值范圍.解：（1）因為AUB=B,所以ACB,根據題意作出如圖所示的數軸，觀察數軸可知，1公所以欠aW2.（2"門8=0有兩類情況:8在A的左邊和B在A的右邊,如圖.觀察數軸可知,a24或3aW2,又a>0,所以（KaW?或a24.3針對訓練：已知A={xa〈xWa+8},B={x|x<-l或x>5}.若AUB=R,求a的取值范圍.解：由題意得a〈a+8,又B={x|x<-l或x>5},在數軸上標出集合A,B,如圖.所以{:腎5,所以-3Wa〈T.［備用例2］已知集合人=卜|0忘*忘4},集合B={x|m+lWxWl-m}.⑴若AUB二A,求實數m的取值范圍；（2）若AGB=A,求實數m的取值范圍.解：（1）因為AUB=A,所以BUA.因為A二為|0WxW4},所以B=0或BW。.當B=0時,有解得m>0;當BWo時,用數軸表示集合A和B,如圖所示，（m+1<1-m,因為BcA,所以0<m+l,解得TWmWO.（1-m<4,綜上可得,實數m的取值范圍是［-1,+8）.⑵因為AGB=A,所以AGB.如圖，所以解得mWT.故實數m的取值范圍是（,-3］.核心素養一一數形結合法求解集合運算個數問題［典例］某班有學生55人,其中音樂愛好者34人,體育愛好者43人,還有4人既不愛好體育也不愛好音樂，則班級中既愛好體育又愛好音樂的有人.解析：設只愛好音樂的人數為X人,兩者都愛好的人數為y人,只愛好體育的人數為z人，作維恩圖如圖，則x+y+z=55-4=51,x+y=34,y+z=43,故y=(34+43)-51=26.答案：26有限集中元素的個數的求法我們把含有有限個元素的集合叫做有限集,用card來表示有限集的元素個數,即card(A)表示有限集A的元素個數,則有：card(AUB)=card(A)+card(B)-card(AAB);card(AUBUC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AAB)-card(AAC)-card(BAC)+card(APlBAC).［素養演練］某班有36名同學參加數學、物理、化學競賽小組，每名同學至多參加兩個小組，已知參加數學、物理、化學小組的人數分別為26,15,13,同時參加數學和物理小組的有6人,同時參加物理和化學小組的有4人,則同時參加數學和化學小組的有人.解析：由條件知,每名同學至多參加兩個小組,故不可能出現一名同學同時參加數學、物理、化學三個小組，設參加數學、物理、化學小組的人數組成的集合分別為A,B,C,則card(AABAC)=0,且card(AAB)=6,card(BBC)=4,由card(AUBUC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AAB)-card(AAC)-card(BAC)+card(AABCC),易知36=26+15+13-6-4-card(AAC),故card(APC)=8,即同時參加數學和化學小組的有8人.答案：8.下列說法中正確的有（B）⑴交集的元素個數一定比參與運算的任何一個集合的元素個數少；⑵若AUB=A,則B中的每一個元素都在集合A中；（3）AnB=CAB,貝A=C;（4）兩集合均不為空集,則兩集合的并集不可能為空集.A.1個B.2個C.3個D.4個解析：由AAA二A可知，（1）錯誤;若AUB二A,可得集合B是集合A的子集，（2）正確；當交集都是空集時，集合A與C不一定相等，（3）錯誤;兩集合均不為空集,則兩集合的并集不可能為空集，（4）正確.因此正確的個數為2.故選B..已知集合A;{x|-3<x-l<4},B={x|l-x>0}，貝ljAAB等于（C）A.{x|x<5}B.{x|Kx<5}C.{