SignalsandSystemsA.V.OPPENHEIM,etal.Ch6TimeandFrequencyCharacterizationofSignalsandSystems信號與系統的時域和頻域特性1本章主要內容1.傅立葉變換的模與相位。2.LTI系統的幅頻特性與相頻特性，系統的失真。3.理想濾波器的時域和頻域特性。4.一階與二階系統的分析方法，Bode圖。2

工程中設計系統時，往往會對系統的特性從時域角度或頻域角度提出某些要求。6.0引言Introduction

在時域，系統的特性由或描述；在以前的討論中，已經看到在頻域，系統的特性由或描述；3在LTI

系統分析中，由于時域中的微分（差分）方程和卷積運算在頻域都變成了代數運算，所以利用頻域分析往往特別方便。系統的時域特性與頻域特性是相互制約的。在進行系統的分析與設計時，要權衡考慮系統的時域與頻域特性。本章的基本內容旨在建立對系統的時域和頻域特性進行綜合分析的思想和方法。46.1傅里葉變換的模和相位表示

傅里葉變換一般情況下都表現為一個復函數。

這說明：一個信號所攜帶的全部信息分別包含在其頻譜的模和相位中。TheMagnitude-PhaseRepresentationoftheFourierTransform5A.TheMagnitudeandPhase模和相位Magnitude:

relativestrengthofthefrequencycomponents

模：頻域分量的相對強度Phase:

relativepositionofthe

frequencycomponents

相位：頻域分量的相對位置6B.EffectofMagnitude:

模對信號的影響<Exampleinthebook>Magnitude模Phase相位7<Page425,Fig6.1>

differentwaveform

不同波形C.EffectofPhase:

相位對信號的影響8Chapter6TimeandFrequencyCharacterization96.2LTI系統頻率響應的模和相位表示LTI系統對輸入信號所起的作用包括兩個方面:1.改變輸入信號各頻率分量的幅度；2.改變輸入信號各頻率分量的相對相位。TheMagnitude-PhaseRepresentationoftheFrequencyResponseofLTISystems10——Gain（增益）——PhaseShift（相移）11MagnitudeofFrequencyResponse:Gain增益/幅頻特性

調整輸入信號各頻率分量的相對強度(幅度)關系PhaseofFrequencyResponse:Phaseshift相移/相頻特性

調整輸入信號各頻率分量的相對位置(相位)關系FrequencyResponse:頻率特性/頻率響應

調整輸入信號各頻率分量的相對大小(幅度)及位置(相位)關系幅頻特性相頻特性頻率特性12LTIPeriodic:TPeriodic:T<Example>PeriodicSignalasinput各次諧波幅度調整各次諧波相位調整13頻率均衡器各次諧波幅度調整各次諧波相位調整被濾除的諧波14<Example:AperiodicSignalasinput>被濾除各頻率成份相位調整各頻率成份幅度調整15<3.5><4.5>L<Example>1/21/2濾除了二次以上諧波16一.

線性與非線性相位

信號在傳輸過程中，相位特性或幅度特性發生改變都會引起信號波形的改變，即發生失真。當相位特性僅僅是附加一個線性相移時，則只引起信號在時間上的平移。若連續時間LTI系統：則此時并未丟失信號所攜帶的任何信息，只是發生時間上的延遲，因而在工程應用中是允許的。17LinearPhase:linearfunctionof

線性相位：的線性函數6.2.1LinearandNonlinearPhaseB.EffectofLinearPhase:Delay

線性相位的影響：時間上的延遲18

如果系統的相位特性是非線性的，由于不同頻率分量受相位特性影響所產生的時移不同，疊加起來一定會變成一個與原來信號很不相同的信號波形。產生失真。19C.NonlinearPhase

非線性相位D.EffectofNonlinearPhase

非線性相位的影響Changing

therelativepositionofthefrequencycomponents

改變頻率分量的相對位置，波形會發生改變20<Examples>①②③④216.2.3.log-magnitudeandphaseplots對數模與Bode圖在工程應用中，往往采用對數模特性（或稱為Bode圖）來描述系統的頻率特性。在對數坐標下，采用對數模，可以給頻率特性的表示帶來一些方便。這是因為:22

1.可以將模特性的相乘關系變為相加關系；

2.可以利用對數坐標的非線性，展示更寬范圍的頻率特性，并使低頻端更詳細而高頻端相對粗略；

3.對連續時間系統，可以方便地建立模特性和相位特性的直線型漸近線。工程中廣泛應用的有兩種對數模：單位奈培（Np）單位分貝（dB）decibel23采用對數模（或Bode圖）表示頻率特性，對于幅頻特性有零點或在某些頻段上為零的系統，是不適用的。246.3

理想頻率選擇性濾波器1.頻率成形濾波器，用于改變頻譜形狀的LTI系統2.頻率選擇性濾波器，無失真通過某些頻率，顯著衰減掉或者消除掉另外一些頻率的LTI系統TheIdealFrequency-SelectiveFilters一.濾波通過系統改變信號中各頻率分量的相對大小和相位，甚至完全去除某些頻率分量的過程稱為濾波。濾波器可分為兩大類：25二.理想頻率選擇性濾波器的頻率特性

理想頻率選擇性濾波器的頻率特性在某一個（或幾個）頻段內，頻率響應為常數，而在其它頻段內頻率響應等于零。理想濾波器可分為低通、高通、帶通、帶阻。

濾波器允許信號完全通過的頻段稱為濾波器的通帶（passband），完全不允許信號通過的頻段稱為阻帶（stopband）。26FrequencySelectiveFilters1Lowpassfilter2highpassfilter3bandpassfilterContinuous-TimeFilters27Discrete-timeFilters低低高高1Lowpassfilter2Highpassfilter3Bandpassfilter28IdealFrequencySelectiveFilter1LowpassfilterpassbandstopbandstopbandDiscrete-time低低低高高Continuous-Timesharpcutoffwithlinearphase292HighpassfilterDiscrete-timeContinuous-Time低低高高303BandpassfilterDiscrete-timeContinuous-Time低高高31連續時間理想頻率選擇性濾波器的頻率特性低通高通帶通帶阻32

各種濾波器的特性都可以從理想低通特性而來。三.理想濾波器的時域特性以理想低通濾波器為例連續時間理想低通濾波器133由傅里葉變換可得:34如果理想低通濾波器具有線性相位特性則35理想低通濾波器的單位階躍響應令36由于37

1.理想濾波器是非因果系統。因而是物理不可實現的；

2.盡管從頻域濾波的角度看，理想濾波器的頻率特性是最佳的。但它們的時域特性并不是最佳的。都有起伏、旁瓣、主瓣，這表明理想濾波器的時域特性與頻域特性并不兼容。

3.在工程應用中，當要設計一個濾波器時，必須對時域特性和頻域特性作出恰當的折中。386.4

非理想濾波器TheNon-idealFilters

對理想特性逼近得越精確，實現時付出的代價越大，系統的復雜程度也越高。非理想濾波器的頻率特性以容限方式給出。

由于理想濾波器是物理不可實現的，工程應用中就必須尋找一個物理可實現的頻率特性去逼近理想特性，這種物理可實現的系統就稱為非理想濾波器。39非理想濾波器特性1.通帶絕對平坦，通帶內衰減為零。理想濾波器特性2.阻帶絕對平坦，阻帶內衰減為。通帶內允許有起伏，有一定衰減范圍3.無過渡帶。阻帶內允許有起伏，有一定衰減范圍有一定的過渡帶寬度406.5一階與二階連續時間系統對由LCCDE描述的連續時間LTI系統，其頻率響應為：First-OrderandSecond-OrderContinuous-TimeSystems其中：、均為實常數。41此時，可通過對、因式分解，將其表示成若干個一階或二階有理函數的連乘；或者通過部分分式展開，表示成若干個一階或二階有理函數相加。這表明：由LCCDE描述的LTI系統可以看成由若干個一階或二階系統通過級聯或并聯構成。因此，一階和二階系統是構成任何系統的基本單元。掌握一階和二階系統的分析方法就尤為重要。42一.一階系統:1.時域特性:模型：43可以看出：越小，上升得越快，系統失真越小。44

在對數坐標系下，是一條直線，斜率為每10倍頻程-20dB。

可見，一階系統的Bode圖有兩條直線型漸近線。此外，

稱為折斷頻率。2.一階系統的Bode圖：45當時，準確的對數模為46相頻特性：將其折線化可得相位特性的直線型漸近線：4748二.二階系統：如：對RLC串聯諧振電路，可列出電路方程模型：49由二階系統的方程可得系統的頻率響應：50當時，1.時域特性：由系統處于臨界阻尼狀態。51

時，、為實數根，系統為過阻尼狀態；時，系統處于無阻尼狀態。

當時，、為共軛復根，系統處于欠阻尼狀態；52時，二階系統的時域特性最佳53當時，2.頻率特性：當

54

在對數坐標中可用兩條直線表示。一條是低頻段的0dB線，一條是高頻段的斜率為－40dB/dec的直線。時，準確的對數模為：55