第五章控制系統的穩定性分析穩定性的基本概念系統穩定的充要條件Routh穩定判據Nyquist穩定判據Bode穩定判據系統的相對穩定性穩定性的基本概念

穩定是控制系統正常工作的首要條件。控制系統在實際運行過程中，總會受到外界或內部一些因素的擾動，例如負載波動、系統參數的變化等。因此,如何分析系統的穩定性并提出保證系統穩定的措施是控制理論的基本任務之一。[

定義

]

如果系統受到有界擾動，不論擾動引起的初始偏差有多大，當擾動取消后，系統都能恢復到初始平衡狀態，則這種系統稱為大范圍穩定的系統；如果只有當擾動引起的初始偏差小于某一范圍時，系統才能在取消擾動后恢復到初始平衡狀態，否則就不能恢復到初始平衡狀態，則這樣的系統稱為小范圍穩定的系統；大范圍穩定小范圍穩定不穩定穩定性的基本概念[理解][注意]對于線性系統而言：1、若穩定,它必然在大范圍內和小范圍內都穩定。只有非線性系統才可能存在小范圍穩定而大范圍不穩定情況。

2、在有界輸入作用下,其輸出響應也是有界的。3、穩定性是系統的一種固有特性，它只取決于系統本身的結構和參數，而與初始狀態和外作用無關。臨界穩定：若系統在擾動消失后，輸出與原始的平衡狀態間存在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，則系統處于臨界穩定狀態。系統穩定的充要條件線性系統穩定性定義：線性控制系統處于某一平衡狀態下受到擾動作用而偏離了原來的平衡狀態，在干擾消失后系統又能夠回到原來的平衡狀態或者回到原平衡點附近，則稱該系統是穩定的，否則，該系統就是不穩定的。不穩定穩定R(S)C(S)系統G(S)設系統的傳遞函數為輸入:系統穩定的充要條件則系統輸出為則前一章分析可得總結:如果系統的閉環極點均位于左半s平面，則瞬態響應的暫態分量將隨時間而衰減，系統是穩定的。只要有一個極點位于右半s平面，則對應的響應將是發散的，系統就不能正常穩定工作。系統穩定的充要條件：系統特征方程的根（即傳遞函數的極點）全部具有負實部。或者說，特征方程的根全部位于左半s平面。特征根的三種情況及所對應時域解：[深入理解]系統穩定的充要條件s平面上實極點及穩定性j0j0j0tc(t)0tc(t)0tc(t)0j0j0j0ty(t)0ty(t)0ty(t)0系統穩定的充要條件s平面上復極點及穩定性j0ty(t)0j0ty(t)0S平面虛軸上重極點及穩定性系統穩定的充要條件系統穩定的充要條件1940年11月7日，一陣風引起了橋的晃動，而且晃動越來越大，直到整座橋斷裂…….

j0共振現象的解釋ty(t)0跨越華盛頓州塔科馬峽谷的首座大橋，開通于1940年7月1日。只要有風，這座大橋就會晃動。Routh穩定判據根據穩定的充要條件,求得特征方程的根就可判定系統的穩定性.但對于高階系統求解方程的根比較困難。希望能夠不求解系統特征方程，僅根據特征方程的系數得到對系統穩定性的正確判斷。Routh穩定判據就是根據閉環傳遞函數特征方程式的各項系數,按一定的規則排列成Routh表，根據表中第一列系數正負符號的變化情況來判別系統的穩定性。系統穩定（特征方程的根都位于復平面的左半平面）的必要條件為：特征方程的系數不等于零且具有相同的符號。

閉環特征方程Routh穩定判據設系統的特征方程為根據特征方程的各項系數排列成Routh判據表(n=5為例)：Routh穩定判據：Routh表第一列元素符號一致且不等于0。第一列元素符號變化的次數就是正實部根的數目。Routh穩定判據例：已知系統的特征方程，試判斷該系統穩定性。解：

D(s)=s4+2s3+3s2+4s+5=0Routh表如下：135s1

s0

s4

s3

s2

b1

b2

c1

d1

24

b1=2*3-1*42=11

b2=2*5-1*02=55c1=1*4-2*51=-6-6d1=-6*5-1*0-6=55特征方程有兩個正實部根，系統不穩定。例:系統如圖所示,試確定系統穩定時放大倍數K的取值范圍。閉環傳遞函數特征方程:D(s)=s3+14s2+40s+40K=0解：

Routh穩定判據Routh表:140

s3

s2

1440K

s1

b1

b1=14*40-1*40K14s0

c1

40K

系統穩定的條件:>0560-40K>040K>014>K>0試判斷有幾個特征方程根位于S=-1之左？令s=z-1Routh穩定判據1、首列中有1個元素為零，但所在行中存在非零元素。如特征方程：前面分析的為首列中沒有元素是零的情況。Routh判據表在分析中存在兩種特殊情形。這時可以用無窮小正數代替0，繼續運算。Routh表:4-12/10610

本例Routh表首列符號變化兩次，表示系統中有2個帶正實部的根,系統不穩定。若用替代后符號沒有變化表示系統中有純虛根存在。如特征方程：D(s)=s3+2s2+s+2=0Routh表:用無窮小正數代替02首列用替代后符號沒有變化表明系統中有一對純虛根。

s1=-2s2.3=±j2、首列中有零元素且所在行其他元素均為零。說明特征根中可能存在共軛虛根或共軛復根或符號相異的實根。如特征方程：這時可以由上一行元素為系數構成輔助多項式：Routh表:42Routh表首列符號變化兩次，表示系統中有2個帶正實部的根,由輔助多項式可解得存在1對共軛虛根，系統不穩定。Routh穩定判據63多項式對s求導：所得系數取代全零行。如特征方程：Routh表:上一行元素為系數構成輔助多項式：多項式對s求導：所得系數取代全零行。463/222/32Routh表首列符號沒有變化,表示系統中不存在帶正實部的根,但由輔助多項式可解得存在2對共軛虛根,系統不穩定。

Nyquist穩定判據系統穩定的充要條件是所有穩定性判據的基礎。Routh穩定判據是時域中的有效判據。與此類似，Nyquist及Bode穩定判據是常用的頻域穩定性判據。頻域穩定判據的特點是根據“開環”系統頻率特性曲線，判定閉環系統的穩定性。Nyquist穩定判據之基礎：圍線映射當復變量s沿S平面上的閉合曲線或閉合軌跡運動時，函數F(s)會將它映射為像平面上的閉合曲線。ss平面FF(s)平面例F(s)=2s+1[S]jω01σj-j-1jvu0j2-j2-13順時針方向定義為閉合曲線的正方向閉合曲線正方向右側區域為包圍區域.即:順時針,向右看。Nyquist穩定判據F(s)=s/(s+2)

F(s)=s/(s+1/2)X

X

Nyquist穩定判據CFjvu∠F(s)σCsXXXXjωsZiPkZrPrPsPq顯然如果閉合曲線Cs在s平面上包圍了F(s)的Z個零點和P個極點(但不經過任何一個零點和極點)，Cs上任一點以順時針方向轉動一圈時，復變函數F(s)的矢量相位增量為:那么對應的映射曲線CF在F(s)平面上以順時針包圍原點N=Z-P圈。Cauchy幅角定理：若N=Z-P>0表示CF順時針包圍原點N圈；若N=Z-P=0表示CF順時針旋轉但不包圍原點；若N=Z-P<0表示CF

逆時針包圍原點N圈；Nyquist穩定判據系統的開環傳遞函數為：閉環傳遞函數為：設：則：閉環特征多項式零、極點與開環極點、閉環極點間的關系零點極點GB(s)零點極點F(s)零點極點Gk(s)系統穩定的充要條件:特征方程的根全部具有負實部（閉環極點均在s平面的左半平面）。系統穩定的充要條件:特征多項式零點全部具有負實部（零點均在s平面的左半平面）。即如果F(s)的右半s平面零點個數為零，則閉環系統是穩定的。Nyquist穩定判據Nyquist路徑及其映射

為將柯西幅角映射定理與控制系統穩定性分析聯系起來，現選擇一條由整個虛軸和半徑為∞的右半圓組成的封閉曲線(Nyquist路徑),并且按順時針方向移動一圈。由前分析可知其在F(s)平面上的映射軌跡也是是一條封閉曲線。X

顯然根據F(s)軌跡包圍原點的圈數(N=Z-P),由柯西幅角定理可推知F(s)在右半s

平面的零極點數差。又由前分析可知基于F(s)的系統穩定的充要條件是特征多項式F(s)在右半s平面的零點數為0(N=-P)。基于F(s)的Nyquist穩定判據Nyquist路徑沿ω從-∞→+∞移動時，在F(s)平面上的映射就是曲線F(jω)=1+Gk(jω)。半徑為∞的右半圓，映射到F(s)平面上為F(∞)=1+Gk

(∞),由于Gk(s)的分子m階次小于或等于分母階次n,顯然F(∞)為1或常數，既映射到F平面為一個點。解析:顯然進一步可推知，系統穩定的充要條件：F(s)軌跡逆時針包圍原點P圈。

P=?F(s)在右半s平面的極點數,也是Gk(s)在右半s平面的極點數。系統穩定的充要條件：F(s)軌跡逆時針包圍原點的圈數等于開環傳遞函數Gk(s)在右半s平面的極點數P。

應用開環頻率特性研究閉環系統的穩定性。Nyquist穩定判據由可知：F(s)軌跡對原點的包圍,相當于Gk(s)

對(-1,j0)的包圍;因此F(s)軌跡曲線對原點的包圍圈數N與Gk(s)

對(-1,j0)點的包圍圈數是等價的。Nyquist穩定判據-1:當系統的開環傳遞函數Gk(s)在s平面的原點及虛軸上無極點時，當ω從-∞→+∞變化時的Nyquist曲線Gk(jω)逆時針包圍(-1，j0)點的次數N等于Gk(s)在右半s平面的極點數P，即N=P時,閉環系統穩定,否則(N≠P)閉環系統不穩定。

P=0?如何表述:不包圍0→+∞變化?如何表述:P/2Nyquist穩定判據例:已知單位反饋系統，開環極點均在s平面的左半平面，開環頻率特性極坐標圖如圖所示，試判斷閉環系統的穩定性。解:從圖中可知ω由-∞→+∞變化時，G(jω)H(jω)曲線不包圍(-1，j0)點，即N=0，又由題可知開環極點均在s平面的左半平面，即P=0，Z=P-N=0，所以，閉環系統是穩定的。例開環傳遞函數為：，試用Nyquist判據判斷閉環系統的穩定性。Nyquist穩定判據Nyquist穩定判據例:單位反饋系統，其開環傳遞函數為

,試判斷閉環系統的穩定性。解:系統開環頻率特性為作出ω=0→+∞變化時Gk(jω)曲線如實線所示，鏡像對稱得ω：-∞→0變化時,Gk(jω)如虛線所示。顯然系統開環是不穩定的，有一個位于s平面的右極點，即P=1。從G(jω)H(jω)曲線看出，當K>1時，Nyquist曲線逆時針包圍(-1，j0)點一圈，即N=-1，Z=N+P=0則閉環系統是穩定的。當K<1時，Nyquist曲線不包圍(-1，j0)點，N=0，Z=N+P=1則閉環系統不穩定，閉環系統有一個右極點。Nyquist穩定判據例:單位反饋系統的開環傳遞函數T1、

T2、

T3

均為正,系統開環穩定。試求K值為多大時,閉環系統是穩定的。解:系統開環頻率特性為顯然閉環系統穩定條件：Nyquist穩定判據前面討論的Nyquist穩定判據和例子為了滿足柯西幅角定理條件，都是假設虛軸上沒有開環極點，即開環系統都是0型的。但是對于Ⅰ、Ⅱ型的開環系統,由于在虛軸上(原點)有極點，因此不能使用柯西幅角定理來判定閉環系統的穩定性。為了解決這一問題,需要重構Nyquist路徑。設系統開環傳遞函數為，式中υ—開環傳遞函數位于原點的極點個數（積分環節的個數）。X

可見Gk(s)在原點有v重極點,為滿足柯西幅角定理，使Nyquist路徑不經過原點而仍然能包圍整個右半s平面，重構Nyquist路徑如下：在原來路徑基礎上在原點處變更為以原點為圓心，半徑為無窮小做右半圓,如右圖示,顯然此路徑在Gk(s)平面上的映射為即原點處無限小半圓路徑映射到Gk(s)平面為半徑無限大圓弧，該圓弧角度從開始,順時針方向轉過到終止。這段半徑為無限大的圓弧稱輔助圓。Nyquist穩定判據-2：Nyquist穩定判據當開環傳遞函數有υ個極點位于s平面坐標原點時，Nyquist軌跡補上輔助園后，開環頻率特性曲線Gk(jω)（ω從-∞→+∞）逆時針包圍（-1，j0）點的次數N等于開環在右半s平面的極點數P時，閉環系統穩定,否則閉環系統不穩定。例：系統開環傳遞函數為試判斷閉環系統的穩定性。解：系統的開環頻率特性為作出ω=0+→+∞變化時的Gk(jω)曲線，然后根據鏡像對稱得ω=-∞→0-變化時的Gk(jω)曲線,從ω=0-到ω=0+以無限大為半徑順時針轉過π,得輔助圓,如右圖所示。由圖可知：當ω由-∞→+∞變化時，當時，Gk(jω)

(ω從-∞→+∞)軌跡順時針包圍（-1，j0）點兩圈，即N=2，而開環系統穩定，即P=0，所以閉環系統右極點個數

Z=P+N=2，閉環系統不穩定，有兩個閉環右極點。Nyquist穩定判據例：設Ⅰ型系統的開環頻率特性如圖所示。開環系統在s右半平面沒有極點,試用Nyquist穩定判據判別閉環系統穩定性。解：由圖可知：映射曲線順時針包圍(-1,j0)一圈，逆時針包圍(-1,j0)一圈，所以N=1-1=0，又P=0，則Z=N+P=0，所以

閉環系統是穩定的。例：設II型系統的開環頻率特性如圖所示。開環系統在s右半平面沒有極點,試用Nyquist穩定判據判別閉環系統穩定性。解：由圖可知：映射曲線順時針包圍(-1,j0)二圈，所以N=2,又P=0,則Z=N+P=2，所以

閉環系統是不穩定的。系統開環傳遞函數：試確定以下兩種情況下，閉環系統的穩定性：(1)增益K較小；(2)增益K較大。小K值時是穩定的

大K值時是不穩定的P=0N=0Z=0P=0N=2Z=2Nyquist穩定判據Nyquist穩定判據穿越判別法穿越:指開環系統Nyquist軌跡穿過(-1,j0)

點左邊實軸。正穿越N+:Nyquist軌跡由上而下穿過-1~-∞段實軸(ω增大時,相角增大)。正穿越相當于Nyquist曲線正向(逆時針)包圍(-1,j0)點一圈。負穿越N-:

Nyquist軌跡由下而上穿過-1~-∞段實軸(ω增大時,相角減小)。負穿越相當于Nyquist曲線反向(順時針)包圍(-1,j0)點一圈。Nyquist穩定判據：當ω由0→+∞變化時,系統開環頻率特性軌跡在負實軸(-1，-∞)區段的正負穿越次數之差N+-N-等于開環系統在右半s平面的極點數P的一半即P/2時,閉環系統穩定。

正穿越負穿越Nyquist穩定判據半次穿越半次穿越：Gk(jω)軌跡起始或終止于(-1,j0)點以左的負實軸。-1/2次穿越+1/2次穿越Nyquist穩定判據例：已知系統的開環傳遞函數，應用Nyquist穩定判據判別閉環系統的穩定性。Nyquist軌跡順時針包圍(-1,j0)點半次，而P＝1系統閉環不穩定。Bode穩定判據(Nyquist對數穩定判據)Nyquist圖與Bode圖的對應關系1、原點為圓心的單位圓

0分貝線;2、單位圓以外

L(ω)>0的部分；3、單位圓內部

L(ω)<0的部分；4、負實軸-180°線。5、Nyquist軌跡輔助圓相連起始點=0

到-v90°線(v為開環積分環節數)負穿越正穿越負穿越(L(ω)>0)正穿越6、在L(ω)>0的范圍內正穿越對應于對數相頻特曲線當

ω增大時從下向上穿越－180°線(相位增大)；負穿越對應于對數相頻特曲線當

ω增大時從上向下穿越－180°線(相位減小)；Bode穩定判據(Nyquist對數穩定判據)當ω由0→+∞變化時，在開環對數幅頻特性曲線L(ω)≥0的頻段內，若系統開環相頻特性曲線φ(ω)對-180°線的正負穿越次數之差為P/2（P為系統開環在右半s平面的極點數），則閉環系統穩定。否則，閉環不穩定。Bode穩定判據例：已知某系統的開環傳遞函數Bode圖，試判斷閉環系統的穩定性。解：由題意可知開環特征方程有兩個右根，即P=2,再由bode圖可知：正負穿越數之差為-1，所以閉環系統不穩定。Bode穩定判據(Nyquist對數穩定判據)例：已知某系統的開環傳遞函數Bode圖，試判斷閉環系統的穩定性。解：由題意可知開環特征方程有0個右根，即P=0,再由bode圖可知：正負穿越數之差為0，所以閉環系統穩定。Bode穩定判據(Nyquist對數穩定判據)例：已知某系統的開環傳遞函數試根據Bode圖判斷閉環系統的穩定性。解：由開環傳遞函數可知開環特征方程無右根，P=0，再由Bode圖可知L()>0范圍內()和-線不相交即正負穿越數之和為0，所以閉環系統穩定。Bode穩定判據(Nyquist對數穩定判據)例：已知某系統的開環傳遞函數試根據Bode圖判斷閉環系統的穩定性。解：開環傳遞函數的Nyquist圖及Bode圖如圖所示，輔助圓如圖中虛線所示。由開環傳遞函數可知開環在右半s平面無極點，即P=0，又由圖可知開環相頻特性曲線正負穿越數N+-N-=-1，所以閉環系統不穩定(實際閉環系統右極點個數Z=P-N=2)。且從圖中可以看出，不論K如何變化。開環頻率特性上的穿越次數卻不變化，系統總是不穩定的，表明系統為結構不穩定系統。Bode穩定判據(Nyquist對數穩定判據)最小相位系統的Bode穩定判據：開環頻率特性Gk(S)在S右半平面無零點和極點的系統稱為最小相位系統。最小相位系統閉環穩定的充要條件可簡化為：Bode圖(開環頻率特性曲線)不包圍(-1,j0)點(因為若N=0,且P=0,所以Z=0)。增益交界頻率c(開環剪切頻率、幅值穿越頻率):Gk(j)軌跡與單位圓交點處的頻率。相位交界頻率g(相位穿越頻率):

Gk(j)軌跡與負實軸交點處的頻率。Nyquist圖幅值和相位關系為：當時，當時，當時，當時，Bode圖幅值和相位關系為：控制系統的相對穩定性控制系統的相對穩定性從Nyquist穩定判據可知，若系統開環傳遞函數沒有右半平面極點且閉環系統是穩定的，則開環系統的Nyquist軌跡離(-1,j0)點越遠,則閉環系統的穩定程度越高。反之，Nyquist軌跡離(-1,j0)點越近,則其閉環系統的穩定程度越低。通過Nyquist軌跡對點(-1,j0)的靠近程度來度量其定量表示為相位裕度γ和幅值(增益)裕度Kg,這就是通常所說的相對穩定性。當頻率特性曲線穿過(-1,j0)點時，系統處于臨界穩定狀態。這時:ωc=ωg,

幅值穩定裕度相位穩定裕度[幅值穩定裕度物理意義]:穩定系統在相位穿越頻率處將幅值增加Kg倍（Nyquist圖）或增加Kg

分貝（Bode圖系統就處于臨界狀態。若增加的倍數大于Kg

倍或增加Kg

分貝，則系統變為不穩定。比如，若增加開環放大系數K，則對數幅頻特性曲線將上升，而相角特性曲線不變，即開環放大系數太大，容易引起系統的不穩定。[相位穩定裕度的物理意義]：穩定系統在幅值穿越頻率ωc

處將相角減小γ度，則系統變為臨界穩定；再減小就會變為不穩定。控制系統的相對穩定性控制系統的相對穩定性[例]設控制系統如圖所示,當k=10和k=100時，試求系統的相位裕度和幅值裕度。-解：當k=10時，開環系統波德圖如圖所