２００４年１２月第七章二次量子化方法2/5/20231引言●全同多粒子體系難以用通常的波函數處理→因而發展了二次量子化方法?

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引入粒子占有數表象—用各單粒子態填充的粒子數描述狀態；交換對稱性自動滿足

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基本算符：粒子的產生算符和消滅算符

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任意態矢和力學量均可用它們表示

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有系統的法則計算力學量的矩陣元2/5/20232§7.1

中心場近似CentralFieldApproximation??●??????????2/5/20233一、多粒子體系的哈密頓量●考察序數為

Z的原子中

Z

個電子構成的體系在非相對論近似下，哈密頓量為2/5/20234一、多粒子體系的哈密頓量●對哈密頓量的分析輕原子，前者重要，后者可視作微擾重原子反之；一般原子，二者都較重要→為單粒子算符之和，可分離變量求解2/5/20235二、中心場近似●用單粒子位代替庫侖排斥力因電子間庫侖斥力具有很大的球對稱成分→可取一球對稱的單粒子位函數之和代替→中心場近似2/5/20236二、中心場近似●中心場近似的實質將Z個具有相互作用的電子看作相互無作用地在一個共同的中心場中運動——零級近似零級近似哈密頓量分離變量求解2/5/20237二、中心場近似●原子核物理中的獨立粒子模型2/5/20238§7.2

N個全同粒子體系的波函數——零級近似波函數2/5/20239一、Slater行列式●全同粒子具有不可分辨性→全同多粒子體系的波函數必須滿足交換對稱性?

費米子—交換反對稱→泡利不相容原理?

玻色子—交換對稱●中心場近似下N個費米子體系的狀態波函數Slater行列式；寫成求和形式N個對象的排列算符；N=3的例子2/5/202310二、全同玻色子體系的波函數●N個玻色子占有N個狀態一般表達式N=3的例子●N個玻色子占有m個狀態一般表達式N=3的例子2/5/202311三、一般結論●對稱性確保滿足全同性——不可分辨性費米子體系波函數的反對稱性確保滿足泡利不相容原理●在中心場近似下，只需知道1、哪幾個單粒子態被占有2、每個單粒子態上有幾個粒子即可知道全同粒子體系的狀態2/5/202312§7.3

粒子數表象RepresentationofParticleNumber

2/5/202313一、粒子數表象的由來引入粒子的產生和消滅算符●上述結論啟發人們采用粒子數表象以簡化多粒子體系力學量矩陣元的計算這種方法就叫做二次量子化方法2/5/202314二、粒子的真空態；產生消滅算符●產生算符的定義●真空態定義；歸一化條件單個粒子的狀態N個粒子的狀態2/5/202315二、粒子的真空態；產生消滅算符●消滅算符的定義作用于真空態的效果產生和消滅算符互為厄米共軛；非厄米2/5/202316§7.4

粒子數表象中費米子體系的波函數及力學量的表示2/5/202317一、波函數的表示；產生消滅算符的對易關系●產生算符表示狀態應與Slater行列式等價→產生算符的對易關系→消滅算符的對易關系2/5/202318一、波函數的表示；產生消滅算符的對易關系●態矢量的正交歸一化→產生算符與消滅算符之間的對易關系態矢量內積；三個可能值N=1的情況N=2的情況2/5/202319一、波函數的表示；產生消滅算符的對易關系●N個費米子處于N個單粒子態的態矢量表示態矢量表示厄米共軛反對易關系利用對易關系計算2/5/202320一、波函數的表示；產生消滅算符的對易關系2/5/202321一、波函數的表示；產生消滅算符的對易關系的意義——粒子數算符總粒子數算符2/5/202322二、力學量的表示●單粒子算符例：單粒子動能算符N個粒子體系的動能算符在粒子數表象中的表達式其中矩陣元的含義2/5/202323二、力學量的表示●雙粒子算符例：兩個粒子相互作用位能算符N個粒子體系總的相互作用位能算符在粒子數表象中的表達式其中矩陣元的含義2/5/202324二、力學量的表示●力學量表達式的由來要求與波動力學矩陣元表達式相等而總結得到▲單粒子算符在多粒子態矢量間的矩陣元有一個態不相同的情況▲雙粒子算符在多粒子態矢量間的矩陣元有一個態不相同的情況2/5/202325二、力學量的表示●力學量表達式的由來在粒子數表象下用上述力學量計算的結果與此完全一致2/5/202326§7.5

維克定理WickTheorem2/5/202327一、正規積與收縮●正規積定義一個以上產生消滅算符乘積的正規積為全部產生算符排在全部消滅算符的左邊例子；正負號問題正規積作用于真空態2/5/202328一、正規積與收縮●收縮的定義兩算符乘積的收縮＝乘積－正規積總共只有四種收縮→收縮是個數2/5/202329二、Wick定理●n個產生算符與m個消滅算符的交叉乘積在真空態上的平均值當n+m=奇數，為零當n+m=偶數，為一切可能的收縮乘積之和例：2/5/202330三、Wick定理的應用●利用Wick定理，可以方便地計算矩陣元▲計算單粒子算符和雙粒子算符矩陣元列表→2/5/202331三、Wick定理的應用▲計算單粒子算符的矩陣元（續）2/5/202332三、Wick定理的應用▲計算雙粒子算符的矩陣元代入雙粒子