有限元與數值方法第五講

有限元法的一般原理與基本格式

----有限元的基本概念授課教師：劉書田Tel：84706149；Email：stliu@教室：綜合教學樓351時間：2013年4月12日：8：00—10：201彈性力學問題的有限元法有限元法的基本思想桿系結構的直接剛度法靜定桁架的內力可以通過節點的平衡方程求得，由內力和桿件斷面積可求得桿件應力、應變，再求得節點位移PP靜不定桁架的內力無法簡單通過節點平衡方程求得，需要采用力法或位移法求得。采用位移法求解時，假定每個節點的位移為未知量，然而可以將桿件伸長、桿件應變、桿件應力，桿件內力用節點位移表示，根據節點的平衡要求可以得到節點位移滿足的平衡方程。2有限元法的基本思想桿系結構的直接剛度法靜不定桁架的內力無法簡單通過節點平衡方程求得，需要采用力法或位移法求得。采用位移法求解時，假定每個節點的位移為未知量，然而可以將桿件伸長、桿件應變、桿件應力直至桿件內力用節點位移表示，根據節點的平衡要求可以得到節點位移滿足的平衡方程。由節點的平衡方程就可求得節點位移；這一平衡方程的系數矩陣就是結構剛度矩陣；結構剛度矩陣是由每個桿件的單元剛度矩陣適當地組裝得到。F2x,,u2xF2y,,u2yF1x,,u1xF1y,,u1y12P3桿系有限元方法以桁架結構為例，介紹有限元的基本思想4桿單元的有限元分析一維線性桿單元基本假定：只能承受拉壓內力（各桿兩端的約束條件使得彎曲、扭轉、剪切不能傳遞）軸線為直線材料滿足胡克定律自由轉動12桁架結構5位移插值建立軸線方向的坐標系記任一點軸向位移為并將節點位移表示為建立桿件位移與節點位移的插值關系其中，形函數必須滿足112121節點位移協調關系滿足6可簡單地將形函數取為一次多項式的形式：考慮到邊界條件，可得到因此位移插值桿上無分布力時，一次多項式可精確描述桿件變形7位移及應變小位移假設下，應變為位移模式為位移模式包括剛體位移和常應變模式N形函數矩陣B應變矩陣8單元剛度陣利用胡克定律，得到桿件應力和內力分別為則節點力為其矩陣形式表示為

單元剛度矩陣S應力矩陣9XYxyXYxyi坐標變換矩陣設OXY為結構坐標，oxy為單元坐標。為任意單元

i

端的任一矢量。它在結構坐標系中的分量為X、Y；在單元坐標系中的分量為x、y。X、Y

在單元坐標x軸上投影的代數和給出x

。同理，X、Y

在單元坐標y軸上投影的代數和給出y

10即坐標變換矩陣令表示兩個端點的位移矢量在單元局部坐標系的分量，表示兩個端點的位移矢量在全局坐標系的分量，則11上式可寫成坐標變換矩陣[R]的具體內容為：用節點坐標描述方向余弦：坐標變換矩陣（Xi，Yi）和（Xj，Yj）分別為節點i

和節點j

在全局坐標系中的坐標值12平面內任意方向的桿單元記為而節點力列陣滿足(或)由單元局部坐標系下的關系可得到或寫成其中131.整體節點位移單元節點位移：總體控制方程：單元集成分析桁架結構擴充矩陣2.整體節點力14邊界條件全局平衡方程如不考慮約束條件，總剛度陣是奇異的零位移約束條件15邊界條件處理零位移約束條件代人平衡方程，得到約束反力外載荷未知位移16對于一般的指定位移約束，可將方程分塊為其中，是指定位移，是主動位移邊界條件即17在單元局部坐標系中的單元節點位移分量為根據位移插值關系單元應變和應力可給出單元軸向應變為由胡克定律可進一步給出單元軸向應力為18單元應變和應力而由可得到由總體坐標系位移分量表示的單元應變和單元應力19連續體問題的有限元方法的基本思想

20有限元法(FEM)是求解偏微分方程邊值問題近似解的數值方法邊值問題未知量是由控制方程（橢圓、雙曲、拋物型）描述的場變量（如位移、溫度、流體速度等）邊界條件是給定的場變量值或者其偏導數有限元法的基本概念21有限元法的基本概念有限元分析的基本思想是將求解域場分成小的子區域，通常稱為“單元”或“有限元”。對每一單元假定一個分片近似解，然后推導求解這個域總的滿足條件(如結構的平衡條件），從而得到問題的解。有限元法方程的系數矩陣通常是稀疏的，便于求解。有限元法不僅計算精度高，而且能適應各種復雜形狀，不同物理特性、多變的邊界條件和任何承載情況的工程結構分析問題。有限元法應用于場（力場、電場、磁場、溫度場、流體場等）分析、熱傳導、非線形材料的彈塑性蠕變分析等22(a)二維問題的幾何域(b)三角形單元(c)有限元網格的一部分單元有限元網格有限元法中的離散各種幾何形狀的有限元單元23三角形的頂點稱為節點（node）節點處的場變量（這里是溫度）將作為自變量被直接求解node熱傳導問題的三角形單元node有限元法中的場變量表示以平面熱傳導問題的三角形單元為例24除了節點外的其他各位置的點對應的場變量如何確定？

單元內部點的場變量值由單元節點的插值(interpolation)給出:T=?有限元法中的場變量表示

,,和是插值函數，稱為位移函數或形函數。插值函數所包括的多項式階數越高，越能精確表示位移分布。25常見平面單元形狀與節點數三節點三角形單元CST(常應變單元)六節點三角形單元二次插值八節點四邊形單元二次插值CST三角形單元網格劃分簡單，但對于彎曲過剛；線性應變三角形元描寫彎曲性能遠優于CST單元四邊形單元剖分有時比較困難，但性能較好四節點四邊形單元雙線性插值26四節點四面體單元線性插值（常應變）十節點四面體單元二次插值（線性應變）八節點四面體單元Lagrange單元非完全三次插值二十節點Serendipity單元四面體單元網格剖分簡單，但四節點四面體精度較差八面體單元精度較好，但網格剖分比較困難常見三維單元形狀與節點數27一維單元(x)(x)(x)不同形式的單元插值28二維單元不同形式的單元插值29三維單元不同形式的單元插值(x,y,z)(x,y,z)30有限元法總體思路有限元法通過加權余量法（或變分法、最小勢能原理、虛功原理等）將偏微分方程轉變為代數方程，便于計算機處理將求解域剖分為網格，對節點變量進行單元分片插值值單元矩陣形成規范化，形函數只與坐標有關，便于計算機計算單元剛度陣組裝為整體系數矩陣后，考慮邊界條件，求解矩陣方程即可得到節點未知量。31有限元法的理論基礎概述將微分方程轉化為等效積分弱形式變分原理加權余量法采用單元上的分片假設近似函數，將積分方程轉化為代數方程組32FiniteDifference(FD)Method:FD對微分算子進行近似在節點上建立方程FiniteElement(FE)Method:FE采用精確的算子，但利用基函數對場變量進行近似在問題域上建立方程（需要積分形式）