教學提示：本章主要介紹立體表面截交線和相貫線的形成、基本性質及作圖方法。學習要求：通過本章的學習，掌握立體表面交線的形成、性質；學會截交線、相貫線的投影分析，掌握截交線、相貫線的基本作圖方法。第7章截交線與相貫線本章主要內容7.1概述7.2平面立體的截交線7.3曲面立體的截交線7.4兩平面立體相交7.5平面立體和曲面立體相交7.6兩曲面立體相交7.1概述一、建筑物表面的交線悉尼歌劇院二、立體表面的截交線截交線：平面與立體的交線。平面立體的截交線曲面立體的截交線二、立體表面的相貫線兩平面體相交平面體與曲面體相交兩曲面體相交相貫線：立體與立體的交線。截平面截斷面截交線截平面截斷面截交線截交點截交線7.2平面立體的截交線一、基本概念截平面：假想用來截割立體的平面。截交點：截平面與立體棱線的交點。截交線段：截平面與立體棱面的交線。截斷面：截交線段圍成的斷面。截交線：截平面與立體表面的交線。二、平面體截交線的特點和性質（1）任何基本體的截交線都是一個封閉的平面圖形（平面折線、平面曲線或兩者的結合）。此平面圖形的各頂點是平面體棱線與截平面的交點，各條邊線是平面體棱面與截平面的交線。（2）截交線是截平面與基本體表面的共有線。三、求作平面體的截交線的方法（1）交點法先求出平面體的各棱線與截平面的交點，然后把位于同一棱面上的兩交點連成線。（2）交線法真接作出平面體的各棱面與截平面的交線。在投影圖中，截交線的可見性取決于平面體各棱面的可見性，位于可見棱面上的交線才可見，應畫成實線，否則，交線不可見，應畫成虛線。但苦立體被截斷后，截交線成為投影輪廓線時，則該段截交線是可見的。7.2.1棱錐上的截交線【例7.1】如圖所示，求正垂面P與三棱錐S-ABC的截交線。分析：截平面P與三棱錐的三條棱線SA、SB、SC均相交，可利用交點法求作截交點作圖步驟：

①由于截平面P的V面投影有積聚性，故截交線的V面投影為已知，即1’、2’、3’。

②從1’和3’點向下作投影連系線，得1和3點。由于II點在平行于W’面的棱線SB上,需用分比法或經由W投影才能求出2點。③從1’、2‘、3’各點向右作投影連系線，分別與s’’a’’、s’’b’’、s’’c’’相交于1’’、2’’、3’’，所得△1’’2’’3’’為截交線的W’面投影。

sca123ps312baabc321bcsca123ps312baabc321bc④截交線的可見性判別如下：在H投影中，三個側棱面均是可見的，故△123可見，應畫實線；在W面投影中，右側棱面SBC不可見，故2’‘3’‘不可見，應畫虛線，整理如圖所示。【例7.2】已知正四棱錐及其上缺口的V面投影，求H和W投影。分析：從給出的V投影可知，四棱錐的缺口是由正垂面和水平面截割四棱錐而形成的。只要分別求出正垂面和水平面與四棱錐的截交線，以及兩平面的交線即可。dhemnbcadhemncbadb(c)n(m)h(e)aQPvv作圖步驟：①在V面投影上確定出控制截交線的點的投影，a’、b’、c’、d’’、e’、h’、m’、n’。②A、B、C、D、E、H為特殊點，可直接作出其另外兩面投影，如圖所示。③M、N為棱面上的點，可利用

BN、CM平行于地面棱線的性質，求出另兩面投影。④依次連接截交線上各點的同名投影，并判斷其可見性，整理如圖所示。dhemnbcadhemncbadb(c)n(m)h(e)a7.2.2棱柱上的截交線【例7.3】求作截切后六棱柱的投影。

分析：如圖所示，立體的六條棱線和六個棱面均垂直H面，截平面垂直V面，則截交線的V投影已知。截平面與立體的五條棱線相交，形成五個截交點，與頂面相交，形成兩個截交點。1(2)7(3)6(4)523456711234567bb作圖步驟：①如圖所示，截交點的V投影1’、2’、3’、4’、5’、6’、7’，可作為已知條件，截交點的H投影1、2、3、4、5、6、7，進而求得截交點的W投影；②依次連接成截交線，并判斷可見性；最后完成立體輪廓線的投影，如圖所示。1(2)7(3)6(4)5234567112345672345671【例7.4】求作截切后四棱柱的投影。分析：如圖所示，四棱柱被三個截平面截割，分別是兩個水平面和一個正垂面。截交線是由折線組成的封閉圖形。作圖步驟：①在V面投影上確定控制截交線形狀的八個點，分別為1′、2′、3′、4′、5′、6′、7′、8′。②棱柱的H面投影積聚為一個四邊形，截交線的H面投影也在這個四邊形上，因此，1、2、3、4、5、6、7、8可視為已知。③如圖所示，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ點為特殊點，因此可以直接求出其面投影。根據截交線上八個點的H、V面投影可直接求出其W面投影。④依次連接截交線上各點的同名投影，并判斷其可見性，補全棱柱的投影,整理如圖所示。④依次連接截交線上各點的同名投影，并判斷其可見性，補全棱柱的投影,整理如圖所示。1(2)123(4)345(6)7(8)5(7)6(8)123456787.3曲面立體的截交線7.3.1圓柱的截交線7.3.2圓錐的截交線7.3.3圓球的截交線7.3.1圓柱的截交線平面與圓柱相交所得截交線形狀圓橢圓矩形【例7.5】求作圓柱被截斷后的投影。分析：如圖所示，側垂面與圓柱的截交線為橢圓，該橢圓的W投影積聚在W投影面上，其H投影與圓周重合，需要作的是V面投影。橢圓的投影一般仍是橢圓。但長短軸的長度有變化。cabdmnefecmandfbcdefbamn作圖步驟：①先求特殊點，即橢圓長短袖的端點。長軸AB//W面，A和B在圓柱的最后、最前素線上，在W面投影輪廓線上定出a’’和b’’，由a’’和b’’作連系線至V面投影上交得a’和b’；CD⊥W面，C和D在圓柱的最左、最右素線上，由c’’和d’’作連系線在V面投影上交得c’和d’。如圖所示。②作一般點，如E，F，M，N等。利用圓柱面上取點的方法，由e’’f’’m’’n’’定出e，f，

m，n，再求出e’，f’，m’，n’。③依次光滑連接截交線上各點的同名投影，并判斷可見性，整理如圖所示。cabdmnefecmandfbcdefbamn【例7.6】求作圓柱被組合截面截割后的截交線的投影。分析：圓柱被三個截面截割，分別是側平面，水平面和正垂面，則截交線的實形由三部分組成，分別是圓弧，矩形和部分橢圓。由于三個截平面都垂直于V投影面，所以，截交線的V面投影可視為已知，又因為截交線均位于圓柱面上，其W面投影積聚為圓周可視為已知，所以只需根據截交線的V、W面投影求出其H面投影即可。21356413(2)46(5)1(4)3(6)2(5)788(7)78作圖步驟：①如圖所示，在V投影面上分別確定出控制截交線形狀的1‘、2’、3‘、4’、5’、6’、7’、8’

點。②圓柱面的W面投影圓周，截交線上各點的V面投影，向右作連系線直接可得1’’、2’’、3’’、4’’、5’’、6’’、7’’、8’’

點。③根據這8個點的V、W投影求出其H面投影。④依次連接截交線各點的同名投影，并判斷其均為可見，整理如圖如圖所示。21356413(2)46(5)1(4)3(6)2(5)788(7)78平面與圓錐相交所得截交線形狀7.3.2圓錐的截交線【例7.7】求作圓錐被正垂面P截斷后的投影。分析：如圖所示，截平面與圓錐軸線傾斜，并與所有的素線均相交，故截交線為橢圓。橢圓的V面投影積聚成為一直線，其H面和V面投影仍是橢圓。abmncdefabfndemcbafedcnm作圖步驟：①作橢圓長軸的端點A和B。由于AB//V，A和B在圓錐的最左、最右素線上，在V面投影輪廓線上定出a’和b’，再作出H面投影a和b以及W面投影a’’和b’’。②作橢圓短軸的端點C和D。由于CD⊥V面，在a’b’的中點定出c’、d’，再用緯圓法作出c和d，然后作出c’’和d’’。③作W面投影輪廓線上的E和F。E和F在圓錐的最前、最后素線上，先在V面投影上定出e’和f’，然后向右作連系線交得其W面投影。它們是W面投影中橢圓和輪廓線的切點。④用緯圓法或素線法作若干一般點，如M和N等。⑤分別在H面和W面投影中，依次將上述各點連成光滑的橢圓。由于圓錐上部截去后，截交線的H面和W面投影均可見，應畫成實線。【例7.8】求作圓錐被截割后的投影。分析：圓錐被三個組合截面截割，分別是側平面、水平面、正垂面，求被截割圓錐的投影實際上就是求三個截平面與圓錐的截交線。截交線由三部分組成，分別是雙曲線、圓弧和拋物線的一部分。14(5)2(3)6(7)1328769145768(9)829354作圖步驟：①在V投影面上確定控制截交線形狀的九個點，分別是1’、2’、3’、4’、5’、6’、7’、8’、9’

。②過1’向下、向右作連系線，可確定1、1’’。③已知2’、3’、4’、5’，可根據前面講過的緯圓法或素線法，確定2、3、4、5和2’’、3’’、4’’、5’’。④6’、7’、8’、9’都是特殊位置點。由6’、7’向下作連系線可得6、7點，根據寬相等可得到6’’、7’’。由8’、9’向右作連系線可得到8’’、9’’，根據寬相等可確定8、9。⑤判斷截交線的H、V投影均可見，光滑連接各點，整理后如圖所示。14(5)2(3)6(7)1328769145768(9)829354

平面與圓球相交所得截交線形狀圓7.3.3圓球的截交線【例7.9】求作球面被正垂面截斷后的投影。分析：如圖所示，截交線是圓，其V面投影是積聚在V投影面上的一直線段，其H面、W面投影為橢圓。作圖步驟：①在V面投影上定出最左、最有點1′、2′(在輪廓線圓上)，最前、最后點3′、4′（在線段1′2′的中點處)，上、下半球分界圓上的點5′、6′和左、右半球分界圓上的點7′、8′。②求出這些點的開H面、W面投影；213576815(6)3(4)7(8)2123487564③分別在H面和W面投影中，依次將上述各點連成光滑的橢圓。由于圓球上部截去后，截交線的H面和W面投影均可見，應畫為實線。【例7.10】求作半球面被截割后的投影。分析：如圖所示，半球面被四個截面截割，分別是兩個正平面和兩個側平面，截交線是四段圓弧。作圖步驟：①在H投影面上定出控制截交線形狀的八個點1、2、3、4、5、6、7、8。②Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ為特殊點，可直接作圖得到其另兩面投影，1’、2’、3’、4’，1’’、2’’、3’’、4’’。③Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ為一般點，可通過緯圓法作出其另兩面投影。785134621(3)4(2)8(7)5(6)24137(6)8(5)④各投影面的同名投影作圓弧，整理如圖所示。7.4兩個平面立體相交一、相貫線的性質

相貫線是兩立體表面的共有線，相貫線上的點是兩立體表面的共有點。二、相貫線的形狀

兩平面立體的相貫線由折線組成。折線的每一段都是甲形體的一個側面與乙形體的一個側面的交線，折線的轉折點就是一個形體的側棱與另一形體的側面的交點。三、求相貫線的方法

一種是求各側棱對另一形體表面的交點，然后把位于甲形體同一側面又位于乙形體同一側面上的兩點，依次連接起來。另一種是求一形體各側面與另一形體各側面的交線。四、判別相貫線可見性的原則

只有位于兩形體都可見的側面上的交線，是可見的。【例7.11】已知六棱臺煙囪與屋面的投影，求作它們的交線。分析：如圖所示，六棱臺煙囪六條側棱均與屋面相交，相貫線前后對稱，可利用屋面的W面投影的積聚性，直接求得相貫線的V面投影和H面投影。1(2)5(4)6(3)621543631(5)2(4)作圖步驟：①在W面投影上確定控制相貫線的六個點，分別為1′′、2′′、3′′、4′′、5′′、6′′點。②Ⅲ和Ⅵ是屋脊線上的點，可以直接確定其H、V面投影3、6和3′、6′。③ⅠⅡ和ⅣⅤ都是側垂線，可根據其積聚性，由1′′、2′′、4′′、5′′可求得1、2、3、4、5，1′、2′、3′、4′、5′，如圖所示。④補全圖中六棱柱的六條側棱的H面投影，整理結果如圖所示。【例7.12】求直立三棱柱與水平三棱柱的相貫線。分析：直立的三棱柱的H面投影有積聚性，相貫線的H面投影必積聚在直立三棱核的H面投影輪廓線上；同樣，水平三棱柱的W面投影有積聚性，相貫線的W面投影必積聚在水平三棱柱的W面投影輪廓線上。于是，只需求出相貫線的V面投影。從H、W面投影中可見，只有水平三棱柱的兩條棱和直立三棱柱一條棱參與相交，每條棱線有兩個交點，由此對見，相貫線上共有六個折點，求出這些折點，就可連成相貫線。fabcacb3456dfe56343546b12aceddef1212作圖步驟：①在H面和W面投影上分別定出上述六個折點的投影1、2、3、4、5、6和1′′、2′′、3′′、4′′、5′′、6′′。②由這些點的H面和W面投影作連系線，得到它們的V面投影。③連點并判別可見性：圖中3′5′和4′6′兩段不可見，應畫虛線。④判別兩立體輪廓線的可見性，在V面投影上，直立三棱柱后面的兩棱線被水平三棱柱擋住的部分畫成虛線。【例7.13】求作三棱柱與三棱錐的相貫線。分析：三棱柱與三棱錐相交并貫穿，在前方三棱柱與兩個棱錐面相貫，為一組閉合的空間折線。在后方三棱柱與一個棱錐面相貫，為一組閉合的空間折線。1(5)154236742(6)3(7)1542(3)6(7)作圖步驟：

①利用積聚性直接標出三棱柱與三棱錐交點（相貫點）的V面投影1′，2′，3′，4′，5′，6′，7′。②按照點的投影規律，作出三棱柱與三棱錐相交特殊位置點的W面投影1′′，4′′，5′′，6′′，7′′和H面投影1，4，5，6，7。③按照點的投影規律，過錐頂通過2′，3′作輔助線，得三棱柱與三棱錐相交一般位置點的H面投影2，3和W面投影2′′，3′′。④判定可見性，連接各點。7.5平面立體與曲面立體相交一、相貫線的形狀

平面立體與曲面立體相交時，相貫線是由若干段平面曲線或平面曲線和直線所組成。各段平面曲線或直線，就是平面體上各側面截割曲面體所得的截交線。每一段平面曲線或直線的轉折點，就是平面體的側棱與曲面體表面的交點。二、求相貫線的方法

求平面立體與曲面立體的相貫線，就是求平面與曲面體的截交線和直線與曲面回轉體表面的交點。作圖時，先求出這些轉折點，再根據求曲面體上截交線的方法，求出每段曲線或直線。【例7.14】求作三棱柱和圓錐的相貫線。分析：三棱柱從前至后全部貫穿圓錐，形成前后對稱的兩組相貫線，每組相貫線有三段截交線組成。三棱柱的水平側棱面與圓錐的交線為圓弧，三棱柱的左右側棱面與圓錐的交線為拋物線。各段交線的連接點是三棱柱的三條側棱與圓錐的交點。由于三棱柱的側棱面的V面投影有積聚性，故相貫線的V面投影與之重合，需要作出的是H、W面投影。122191078463512378594106QP798103456vv作圖步驟：①在V面投影上定出三棱柱的三條側棱與圓錐面交點V面投影1′、2′、3′、4′、5′、6′；利用圓錐表面求點的方法，求出上述各點的H面投影和W面投影。②畫各段截交線。在H面投影中，35、46為圓弧。13、15和24、26均為拋物線。為了正確作出拋物線，應再作出若下一般點，如7，8，9，10等。然后作W面投影。③判別相貫線的可見性。H面投影中圓錐面可見，三棱柱上方兩側棱面可見，下方側棱面不可見，故四段拋物線均應畫成實線，兩段圓弧畫為虛線。在W投影中，相貫線是左右重合的，故畫為實線。④對投影輪廓線的處理。三棱柱的三條側棱穿入圓錐內部的部分不畫出。H投影中圓錐底圓被三棱柱遮住部分庇應畫為虛線。W投影中圓錐的輪廓線穿人三棱柱的部分不應畫出。7.6曲面立體與曲面立體相交一、相貫線的特點

相貫線是兩曲面立體表面的共有線，相貫線上的點是兩曲面立體表面的共有點。二、相貫線的形狀

不同的立體以及不同的相貫位置、相貫線的形狀不同。兩回轉體相貫，相貫線一般是封閉的空間曲線,特殊情況下為平面曲線或直線。三、求相貫線的方法積聚投影法、輔助平面法【例7.15】求作兩圓柱的相貫線。分析：兩圓柱的軸線正交，小圓柱從上向下貫穿大圓柱，相貫線是上下兩條閉合的空間曲線。它們上下、左右、前后均對稱。由于小圓柱面的H面投影和大圓柱面的W面投影都有積聚性，故相貫線的H、W面投影為已知，只需作出相貫線的V面投影7.6.1積聚投影法求相貫線134212341243abd