11光的衍射第五章25.1光的衍射引言衍射使屏障以后的空間光強分布，既區別于幾何光學給出的光強分布，又區別于光波自由傳播時的光強分布，衍射光強有了一種重新分布！光波在傳播過程中遇到障礙物時，會偏離原來的傳播方向彎入障礙物的幾何影區內，并在障礙物后的觀察屏上呈現光強的不均勻分布，這種現象稱為光的衍射。1、光的衍射概論3各種光孔的衍射圖樣4用激光束觀察單縫衍射現象衍射表現出光波的傳播行為具有:1)、“限制與擴展”~衍射發散角；2)、縫寬與波長~~敏感因素3)、理論上給出:

5衍射程度被粗分為三檔。當高亮度的激光束引入衍射實驗以后。衍射現象很不明顯，近乎直線傳播；但邊緣衍射效應仍不可忽視。衍射現象顯著，出現衍射花樣。衍射現象過于明顯向散射過渡。具有實際意義與理論意義。6衍射是一切波動均具有的傳播行為。與聲波衍射、水波衍射相比，光波衍射不易觀察到。原因兩點： 一是可見光的波長極短， 二是普通光源是非相干的面光源。既要求光源是足夠小的“點”，又要求在遠處有足夠的光強，這條件是苛刻的。 72、基爾霍夫標量衍射理論 光是一種電磁波，光通過小孔的衍射問題可以作為電磁場的邊值問題來求解。這種方法的缺點是比較復雜。 實際所用的衍射理論都是一些近似的解法。本章主要介紹的是基爾霍夫標量衍射理論（也是一種近似理論）。可以解決多數的光學儀器中的衍射問題。其適用條件是：傍軸、自然光！這在實驗上是不難被滿足的。83、衍射系統及其分類前場照明空間,照明波一般較簡單，后場衍射空間,衍射波一般較復雜。理論目標是99衍射的分類104、衍射巴比涅原理反映互補屏的兩個衍射場之關系巴比涅原理中的一對互補屏在衍射積分式中，積分區間(光孔)意義:一旦求得,則其互補屏之衍射場就容易地獲得，因為自由場

通常顯而易見。11巴比涅原理的實驗顯示(a)、(b)是一對互補屏，(c)、(d)是相應的夫瑯禾費衍射圖樣125.2惠更斯-菲涅耳原理一．惠更斯-菲涅耳原理及其數學表達式場點的擾動可被視為，波前上所有次波源所貢獻的次級擾動的相干疊加。------次波相千疊加原理。1313光源S在P點產生的光振動，應等于其波面Σ上各點發出次波在P點的光振動的疊加。Q點處的元波面dσ

發出的子波在P點產生的復振幅P點總的復振幅為：1414基于物理上的若干基本考慮，與以下因素有關：引入常數c,1515菲涅爾假設且有（1）人為假設了k(θ),未給出k(θ)和c的具體形式;（2）假設當θ≥π/2時，k(θ)＝0。事實證明，該假設不正確;惠更斯—菲涅耳原理的缺陷165.3菲涅耳-基爾霍夫衍射公式

基爾霍夫指從亥姆霍茲方程方程出發，用格林公式，在k.r>>1近似下,給出了無源空間邊值定解的積分表達式：基爾霍夫的新貢獻是：明確了方向因子給出了比例系數指出波前(Σ)面并不限于等相面，凡是隔離實在的點光源與場點的任意閉合面，都可以作為衍射積分式中的積分面。1717基爾霍夫邊界條件（假設)閉合面對衍射場的貢獻:1818衍射積分公式簡化為：菲涅耳原理的實質：無源空間邊值定解，即波前決定一切，決定觀測結果;其推論：當再現或重構相同的波前，必將再現相同的觀測結果，即使原物不復存在。------

全息術的思想基礎195.3．菲涅耳衍射和夫瑯禾費衍射

衍射積分公式計算比較復雜，為了能夠詳細討論衍射現象，在計算的過程做一些近似以便簡化計算。20（一）傍軸近似（初步近似）當孔徑范圍及觀察范圍遠小于兩者之間距的情況。單色平面波垂直入射時：（1）cos(n,r)=cos（θ）≈1,因此傾斜因子即近似地把傾斜因子看作常量，不考慮它對衍射的影響2121（2）同時取r≈z1，認為r變化對振幅影響可略，但r對相位的影響不可略。取上面兩個近似后有：

強調:不同的光孔形狀（Σ）、不同的瞳函數，將產生不同的衍射場，而積分核

總是這個形式。2222（二）菲涅耳近似和夫瑯和費近似

要對相位因子指數中的r進行積分是比較困難，因此必須做更精確的近似來進行簡化如右圖在衍射開孔平面和觀察屏平面建立坐標系，有：應用二項式展開，得23當z1大到使第四項以后各項對位相k·r的作用遠小于π時，忽略第四項以后的高次項：這一近似即為菲涅耳近似。觀察屏位于這一近似區域內所觀察到的衍射現象即為菲涅耳衍射，此時觀察屏所處的區域為菲涅耳衍射區。近似后菲涅耳-基爾霍夫衍射公式為：2424在孔徑外的復振幅為0則上式可寫為：——菲涅耳衍射公式

2525如進一步增大z1，將觀察屏移到離衍射開孔更遠的地方，菲涅爾衍射公式中的第四項對位相的貢獻遠小于π時,忽略第四項，則有這一近似稱為夫瑯和費近似，在此條件下看到的衍射現象稱為夫瑯和費衍射，觀察屏所處的區域稱為夫瑯和費衍射區——夫瑯和費衍射公式

夫瑯和費衍射公式要比菲涅耳衍射公式簡單。實際應用中，對夫瑯和費衍射可直接由以上公式進行計算26例：不透明屏上圓孔的直徑為2cm，受波長為600nm的平行光照射，試估算菲涅爾衍射區和夫瑯禾費衍射區起點到圓孔的距離。解：為滿足菲涅爾近似的成立條件，要求中的第5項由于菲涅爾衍射光斑只是略有擴大，取即27為滿足夫瑯禾費衍射的成立條件，要求取即菲涅爾衍射和夫瑯禾費衍射的觀察28285.4矩孔和單縫的夫瑯和費衍射一、裝置與實驗現象夫瑯和費衍射實驗裝置

S：單色點光源L1、

L2：透鏡平行光入射，焦點怎么偏離了P0點？2929衍射開孔平面上光的分布均勻則透鏡緊貼矩孔稱為二維衍射角

P點的復振幅可寫為30

是觀察屏中心點P0處的光場復振幅P點的復振幅為：3131P點的光強為：若令：夫瑯禾費矩孔衍射強度分布公式光強可表示為：式中I0是P0點的光強度：3232一、沿x軸上點的光強度分布，此時y=0，光強度公式變為分別討論x軸和y軸上得光強分布給出單縫衍射圖樣相對光強分布情況!實驗模型即是：矩孔的一個方向的尺寸比另一個方向大很多如a<<b;只在x方向有亮暗變化的衍射圖樣

光強分布情況33衍射圖樣的主要特征：時，有主極大：

1.當“零級衍射峰”其位置-----正是幾何光學象點位置等光程方位34處有極小值：2.當對應時出現極小值！如何理解衍射公式中asinθ=mλ（m=±1;=±2…)時出現暗紋。而干涉中公式中asinθ=mλ（m=0；±1;=±2…)時出現亮紋？3535即：各級明條紋的光強比為：表明：光強集中在中央零級明條紋處。注意：次極大值位置不在兩暗紋的中間縫寬a越大，衍射光光強越弱；遠離中心x越大，衍射光光強很越弱；3.相鄰兩個暗點間存在一個極大值。3636取，即可得相鄰暗條紋的角寬度由光強極小值的表達式微分得：衍射角很小時：4.半角寬度衍射反比律37不限于單縫、矩孔，一般限制波前的光孔，某方向線度為ρ，則與該方向相應的衍射發散角Δθ，可由反比公式估算。衍射反比律公式可見：a↓,λ

↑→Δθ

↑衍射效應更加明顯“半角寬度”≈“半值角寬度”≈“衍射發散角”38反比律指明了幾何光學的限度即衍射強度分布被收縮為一個“點”；幾何光學的直線傳播！！所以，可以將幾何光學看成是波動光學在波長趨于零時的極限(行為)。反比律蘊含放大原理→“衍射放大”→提供了一種種測定“微結構”新技術。395.單縫寬度的影響。表現為兩方面:一是影響半角寬度。比如，縫寬a擴大為2a，

壓縮為

;二是影響零級衍射峰值I0，這是因為峰值即光強參考值I0，正比于面積(a×b)的平方，比如，縫寬擴大為2a，則I0增強為4I0.406.波長的影響.表現為兩方面，一是影響半角寬度Δθ0

，長波對應的Δθ0大，亦即長波衍射效應更強烈;二是影響衍射峰值I0，這是因為峰值I0∝1/λ2

。因此，紅光與藍光相比較，紅光衍射的半角寬度大，且紅光衍射峰低。思考題：白光照射單縫發生衍射時像點依然是白光?根據衍射理論，衍射分光，不僅改變了非像點處的光譜成分，也改變了像點處的光譜成分。4141（2）同時取r≈z1，認為r變化對振幅影響可略，但r對相位的影響不可略。取上面兩個近似后有：

強調:不同的光孔形狀（Σ）、不同的瞳函數，將產生不同的衍射場，而積分核

總是這個形式。4242（二）菲涅耳近似和夫瑯和費近似

要對相位因子指數中的r進行積分是比較困難，因此必須做更精確的近似來進行簡化如右圖在衍射開孔平面和觀察屏平面建立坐標系，有：應用二項式展開，得43當z1大到使第四項以后各項對位相k·r的作用遠小于π時，忽略第四項以后的高次項：這一近似即為菲涅耳近似。觀察屏位于這一近似區域內所觀察到的衍射現象即為菲涅耳衍射，此時觀察屏所處的區域為菲涅耳衍射區。近似后菲涅耳-基爾霍夫衍射公式為：4444在孔徑外的復振幅為0則上式可寫為：——菲涅耳衍射公式

4545如進一步增大z1，將觀察屏移到離衍射開孔更遠的地方，菲涅爾衍射公式中的第四項對位相的貢獻遠小于π時,忽略第四項，則有這一近似稱為夫瑯和費近似，在此條件下看到的衍射現象稱為夫瑯和費衍射，觀察屏所處的區域稱為夫瑯和費衍射區——夫瑯和費衍射公式

夫瑯和費衍射公式要比菲涅耳衍射公式簡單。實際應用中，對夫瑯和費衍射可直接由以上公式進行計算46例：不透明屏上圓孔的直徑為2cm，受波長為600nm的平行光照射，試估算菲涅爾衍射區和夫瑯禾費衍射區起點到圓孔的距離。解：為滿足菲涅爾近似的成立條件，要求中的第5項由于菲涅爾衍射光斑只是略有擴大，取即47為滿足夫瑯禾費衍射的成立條件，要求取即菲涅爾衍射和夫瑯禾費衍射的觀察48485.4矩孔和單縫的夫瑯和費衍射一、裝置與實驗現象夫瑯和費衍射實驗裝置

S：單色點光源L1、

L2：透鏡平行光入射，焦點怎么偏離了P0點？4949衍射開孔平面上光的分布均勻則透鏡緊貼矩孔稱為二維衍射角

P點的復振幅可寫為50

是觀察屏中心點P0處的光場復振幅P點的復振幅為：5151P點的光強為：若令：夫瑯禾費矩孔衍射強度分布公式光強可表示為：式中I0是P0點的光強度：5252一、沿x軸上點的光強度分布，此時y=0，光強度公式變為分別討論x軸和y軸上得光強分布給出單縫衍射圖樣相對光強分布情況!實驗模型即是：矩孔的一個方向的尺寸比另一個方向大很多如a<<b;只在x方向有亮暗變化的衍射圖樣

光強分布情況53衍射圖樣的主要特征：時，有主極大：

1.當“零級衍射峰”其位置-----正是幾何光學象點位置等光程方位54處有極小值：2.當對應時出現極小值！如何理解衍射公式中asinθ=mλ（m=±1;=±2…)時出現暗紋。而干涉中公式中asinθ=mλ（m=0；±1;=±2…)時出現亮紋？5555即：各級明條紋的光強比為：表明：光強集中在中央零級明條紋處。注意：次極大值位置不在兩暗紋的中間縫寬a越大，衍射光光強越弱；遠離中心x越大，衍射光光強很越弱；3.相鄰兩個暗點間存在一個極大值。5656取，即可得相鄰暗條紋的角寬度由光強極小值的表達式微分得：衍射角很小時：4.半角寬度衍射反比律57不限于單縫、矩孔，一般限制波前的光孔，某方向線度為ρ，則與該方向相應的衍射發散角Δθ，可由反比公式估算。衍射反比律公式可見：a↓,λ

↑→Δθ

↑衍射效應更加明顯“半角寬度”≈“半值角寬度”≈“衍射發散角”58反比律指明了幾何光學的限度即衍射強度分布被收縮為一個“點”；幾何光學的直線傳播！！所以，可以將幾何光學看成是波動光學在波長趨于零時的極限(行為)。反比律蘊含放大原理→“衍射放大”→提供了一種種測定“微結構”新技術。595.單縫寬度的影響。表現為兩方面:一是影響半角寬度。比如，縫寬a擴大為2a，

壓縮為

;二是影響零級衍射峰值I0，這是因為峰值即光強參考值I0，正比于面積(a×b)的平方，比如，縫寬擴大為2a，則I0增強為4I0.606.波長的影響.表現為兩方面，一是影響半角寬度Δθ0

，長波對應的Δθ0大，亦即長波衍射效應更強烈;二是影響衍射峰值I0，這是因為峰值I0∝1/λ2

。因此，紅光與藍光相比較，紅光衍射的半角寬度大，且紅光衍射峰低。思考題：白光照射單縫發生衍射時像點依然是白光?根據衍射理論，衍射分光，不僅改變了非像點處的光譜成分，也改變了像點處的光譜成分。61式中，D/f是照相物鏡的相對孔徑。可見，照相物鏡的相對孔徑愈大，分辨本領愈高。例如，對于D/f=1∶3.5的常用照相物鏡，若λ=0.55μm，則N=1490×1/3.5=425(條/mm)。作為照相系統總分辨本領的要求來說，感光底片的分辨本領應大于或等于物鏡的分辨本領。例如，對于上面的例子，應選擇分辨本領大于425條/mm的底片。6262例：高空偵察機離地面2×104m,如果它攜帶的照相機能分辨地面相距10cm的兩點，照相機物鏡至少有多大？（設感光波長為500nm），若此照相物鏡的焦距為500mm,為充分利用物鏡的分辨能力，應選用多大分辨率的底片？

（2）照相物鏡的分辨率為

應使用分辨率大于400線mm－1的底片解：（1）設物鏡口徑為D，地面兩點對照相機所成夾角為α

6363一、位移-相移定理

單縫夫瑯禾費衍射

屏上復振幅分布：

5.6夫瑯禾費多縫衍射

沿y1方向的衍射效應可忽略64狹縫整體沿x正方向平移距離d：忽略沿y1方向的衍射效應6565位移一相移定理在一個夫瑯禾費衍射系統中，當狹縫移動一個位移時，其夫瑯禾費衍射場將響應一個相移：注意到：所以：與平板多光束干涉相類比！66abdθθθLP0Pa：透光縫寬度、b：檔光部分寬度。d=a+b為相鄰兩縫的間距。二、多縫夫瑯禾費衍射強度分布公式

因此P點的復振幅為：67因此P點的光強度為：I0：單元衍射零級(像點)光強；：單縫衍射因子

：多縫干涉因子

多縫衍射圖樣:單縫衍射與N條縫多光束干涉圖樣的組合。

單縫衍射因子只與單縫本身的性質有關，而多光束干涉因子則因源于狹縫的周期性排列，與單縫本身性質無關。68682.強度分布曲線和照片69夫瑯禾費單縫和五種多縫的衍射圖樣照片(N分別等于1,2,3,5,6,20)。703、多縫干涉因子

(1)主極強位置(方位角)(2)此時I=N2×I0

即N2倍于單縫衍射在該處的強度。7171(3)．多縫干涉極小值等于的π整數倍而不是π的整數倍時或相鄰兩個極小之間的角距離為：主極強的半角寬度(體現“銳度”)!7272在兩個主極大之間，有N-2個次極大，次極大的位置可以通過對光強表達式求極值定出例如在m=0到m=1級主極大之間次極大出現在：共N-2個次極大。次極大的強度要比主極大要弱得多(4)．多縫衍射次極大

共N-1個暗點，N-2次極大。733、單縫衍射因子

影響主極強峰值(高度)------決定光功率在各主極強之間的分配;但不影響主極強的位置與半角寬度。某些情況下，可能出現“缺極”。74當各單縫衍射暗紋滿足：而多縫干涉明紋滿足：多縫干涉的m級極大處正好是單縫衍射的m'級極小處，所以m的整倍數干涉明條紋將不出現，稱為缺級現象。∴當為整數時：75干涉主極大角間距與干涉級次無關

干涉主極大角寬度隨N值增加，主極大角間距不變，但是主極大角寬度將越小，條紋越細！

36衍射中央亮紋角寬度衍射次極大角寬度76有關多光束干涉和多封衍射的思考77多光束干涉相鄰兩束反射光的光程差相鄰兩束光到達P點的位相差為相干疊加形決定P點的明暗：入射光是平面波反射光是平面波78多縫衍射單縫衍射的振幅不是常數，振幅與空間位置有關，對應的光能量在空間進行了重新分布。入射光是平面波單縫衍射光波不是平面波，而是：79位移一相移定理狹縫整體沿x正方向平移距離d，對應點的光程差為：對應點的位相差為：80多個狹縫衍射場在p點的擾動的疊加，決定P點光強的明暗。結論：多縫衍射在本質上可以認為是多光束干涉，只是參與干涉的光束性質不同而已。這點，在FB儀和光柵光譜可以分光具有相似性。81大量平行、等寬、等距狹縫排列起來形成的光學元件稱為光柵。光柵主要用于光譜分析，測量光的波長、光的強度分布等。ad透射式光柵ad反射式光柵5.9衍射光柵含N個全同單元的周期結構-----既“規則”，又“有序”。82光柵周期d單元密度：1/d~100/mm，600/mm，1200/mm，有效寬度：D~5cm,10cm,高達30cm,含單元總數N光柵類型多種:透射式光柵與反射式光柵振幅型光柵與相位型光柵一維光柵、二維光柵與三維光柵83二、光柵方程光柵方程由光柵方程可知，對于光柵常數d一定的光柵，不同波長的光的同級光譜線對應的衍射角θ

角不同，因此，不同波長的光在空間位置上會分開，這是光柵分光的原理。光柵方程意義：給定由光柵的多縫衍射形成的衍射圖樣中主極大亮線（光譜線）的形成條件。光柵方程的實質：由光程差決定的干涉加強條件。84圖(a)入射光正射光柵。此時，相鄰兩縫衍射光束間的光程差為dsin，光柵方程：dsin=m--兩束光干涉相長的條件;

圖(b)入射光以I角斜射，衍射光與入射光在法線的同側時。兩相鄰縫衍射光束間的光程差為：d(sini+sin)。故對應的光柵方程為：d(sin+sini)=m，m=0，±1，±2…圖(c)入射光以0角斜射，衍射光與入射光在法線的異側時。兩相鄰縫衍射光束間的光程差為d(sini-sin)。故對應的光柵方程為：d(sini-sin)=m，m=0，±1，±2…

光柵方程的普通形式：d(sin±sini)=m，m=0，±1，±2…其中：當入射光和衍射光位于光柵平面法線同側時，取正號。當入射光和衍射光位于光柵平面法線異側時，取負號。

i

i

法線d(a)(b)(c)不同入射情況下的光柵方程(透射)反射光柵同樣適用85對應于不同波長的各級亮線稱為光柵譜線，不同波長光譜線的分開程度隨著衍射級次的增大而增大，對于同一衍射級次而言，波長大者，θ大，波長小者，θ小。每塊光柵在入射角i給定的情況下，最大光譜級為可見，i≠0時，正/負級光譜的級數是不相等的。--光柵方程86三、光柵光譜明條紋衍射角與入射光波長有關。所以：復色光入射時，除零級條紋外，其余各級條紋都隨波長不同而散開，形成光柵衍射光譜。一每厘米有4000條刻線的光柵，以白光垂直入射。由(紫端)θV(紅端)θR中央明紋001級光譜9.2°17.7°2級光譜18.7°37.4°3級光譜28.7°65.8°4級光譜39.8°>90°0°10°20°30°40°50°60°70°80°90°-90°-80°-70°-60°-50°-40°-30°-20°-10°k=0k=1k=2k=3k=4k=-1k=-2k=-3k=-487色散型光譜儀 核心元件光柵或棱鏡， 整機含:入射狹縫，出射狹縫;光路轉換(產生、接收平行光)，;轉動鼓輪，讀數系統;輸出響應—光電記錄或膠片攝譜。光譜儀:用于分析光譜、顯示光譜，攝譜儀:用于挑選波長、單色儀88三、光柵光譜儀器的性能指標角色散本領定義：m級,波長λ附近，單位波長差響應的角間隔

即：光柵周期d越小，色散率越大；光柵周期d確定時，m或

θ

越大，色散率越大；m~1,289光柵的色散90線色散本領攝譜儀，直接關心的是線色散 ----涉及記錄介質的空間分辨率。顯然，在同祥的角色散條件下，反射鏡的焦距越長，則線色散越大。定義：

由圖可見得：

9192色分辨本領可分辨的最小波長間隔δλm，不僅與峰值(兩個)角間隔有關，也與峰值自身的角寬度Δθ

有關。瑞利判據:93令：而定義，色分辨本領得可見：，R與d無關。通常m=1~3,刻痕數N很大，故R值較大，分辨本領好。

FP儀的N值不高，但是m值比較大，因此也可以得到較好的分本本領。94數量級估計---設D~10cm，1/d~600/mm

，有N=6×104，對于1級光譜：R=6×104若分析波段在λ~600nm附近，則這當然遠不如FP分光儀精細，但光柵光譜儀的“量程大”，適于測定“寬譜線輪廓”。95可由兩個相鄰的級次能夠重疊的譜線波長差求出：一個光譜級中不被其他級次光譜重疊的波段稱為自由光譜范圍。即:光柵的自由光譜范圍與光譜的衍射級次成反比;此值與光柵本身無關，同一級次自由光譜范圍相同。光柵的m值一般比較小，因此自由光譜范圍較FP儀大

光柵的疊級和自由光譜范圍9697透射式多縫光柵的缺點：(1)

有多序光譜，既分散能量，又限制“量程”。(2)、各單元“衍射零級”之間等光程，因而： 該方向成為元間“干涉零級”；總是無色散 ----“能量浪費”。閃耀光柵設法只產生一序光譜;

分離“單元衍射零級”與“元間干涉零級”。閃耀光柵可為之。有兩種照明方式。98dγ2γ2γ2γ（1）入射光束⊥光柵宏觀平面可見，沿單元零級方向，相鄰單元間的光程差99100dγγ101最后說明：閃耀光柵僅有1序光譜，這是因為：d≈a1025.10圓孔和圓屏的菲涅耳衍射

1、衍射圖樣及其特征2、半波帶法

半波帶分割-------一種特殊的編組方式

半波帶的貢獻-------相位關系和振福關系

矢量圖解

對圓孔Fresnel衍射的說明

半波帶的半徑ρk公式3.細致的矢量圖解法螺旋式曲線用于非整數個半波帶的情形對圓屏Fresnel衍射的說明無透鏡成象術—圓屏衍射成象1031、衍射圖樣及其特征(a)圓孔菲涅耳衍射光波長λ~600nm；衍射現象顯著，當ρ~mm,R.b~m,1m-10m.(b)圓屏菲涅耳衍射今人驚奇的是，對于圓屏衍射不論ρ變，或b變，I(p)總是一個亮斑!104圓孔由小變大的菲涅爾衍射圖1052、半波帶法對波前次波源群的一種特殊編組方式半波帶面積依次為：A1,A2,A3,……

Aj……對觀察點P0貢獻的次波為P0點的復振幅：半波帶分割法相位關系的分析相鄰兩帶的子波到達P0點的光程差均為λ/2，相位差為π。106振幅關系的分析MM'θj球冠面積計算第j個半波帶的面積為：任一半波帶的面積和它到P點的距離之比是與j無關的常數！根據半波帶畫法可知：

，項可略去又因為107108振幅隨j增大，按（1+cosθj)單調減小，但變化緩慢。結論其“慢變”數量級:104個半波帶所貢獻的振幅僅僅比第1個半波帶所貢獻的振幅少0.15%。109畫出矢量圖(表達相干疊加)110振幅隨j增大變化緩慢，近似有：當露出的半波帶數nn為偶數n為奇數111n為偶數n為奇數n數值比較大時圓孔衍射的現象：（1）若逐漸開大或縮小圓孔，在P0點將可以看到明暗交替的變化。（2）若圓孔大小和光波波長一定，只將觀察屏沿SP0連線移動，都會使圓孔所含半波帶數j連續變化，從而在P0點產生明暗交替的變化，即有時中心為亮點（j為奇數），有時又為暗點（j為偶數）1121122．在R和r0一定時，露出的波帶數與圓孔的半徑有關，即孔大露出的波帶數多，衍射效應不顯著；孔小，露出的波帶數少，衍射效應顯著。當圓孔趨于無限大時，傾斜因子為0，則第j個波帶必對應于此時P0點的振幅為：當孔很大時，P0點光強不變，這正是光的直線傳播規律所預期的結果；光的直線傳播規律是透光孔徑較大情況下的一種近似球面波自由傳播時整個波面上各次波源在P點產生的合振動振幅等于第一半波帶在該點產生振幅之半，強度為1/4。113113由于r0>>hj,可略去hj2

MM'θj

開孔半徑ρj寫成“對稱形式”：114反過來算，當開孔半徑ρj一定時，包含多少個半波帶?可見，屏幕由近及遠r0增加，則j減小。可解釋:中心衍射強度，沿縱向呈現“周期性”變化;遠至僅含“一個半波帶”以后，其強度單調下降。115細致的矢量圖解每個半波帶被細分為環帶，許多小矢量頭尾銜接，形成半個正多邊形，其極限過渡為半圓。于是，整個波前次波源群體所貢獻的擾動小矢量，形成一個個半徑極其緩慢收縮的螺旋式曲線--用以求得非整數個半波帶(圓孔）時衍射強度I(p）。1161163.將半波帶進一步細分成面積更小的環狀波帶元，則可利用振動的矢量合成法來分析圓孔的菲涅耳衍射第一半波帶分成N個子帶將每一個半波帶分為更小的波帶元，各波帶元傳到P0點的振幅可認為是相等的第一半波帶中心到邊緣各相鄰子帶對應相同的光程差和相同的相位差117117將第二個半波帶也細分成無窮多個環狀波帶元，可得到另一圓弧，考慮傾斜因子，可知第二個半波帶的合振幅a2<a1由于第一波帶元和最后一個波帶元在P0點引起的振動位相差為π波帶元在P0點引起振動合振幅a1=OB1如細分的波帶元為無窮多個，則各分振動矢量成一園弧118118將所有半波帶都細分成環狀波帶元，得如下圖所示的多個圓環AP=OB1或OB2，OB3…，此時在P0點光強取極大值AP=OC1或OC2，OC3…，在P0點此時光強取極小值如無遮擋物或圓孔為無窮大，則圖中的圓弧結束于圖中O‘點當j為奇數時當j為偶數時1191194．軸外點的衍射對于觀察屏上軸外任一點P，其振幅或光強的大小也可以用菲涅耳半波帶法來分析。這時菲涅耳半波帶的中心不在O點，而在M0點,這時，半波帶如圖所示當P由P0向外逐步移動時，也會產生明暗交替的變化。考慮到整個圖面的對稱性，在觀察屏上可呈現一組以P0為中心的同心圓環P點的振幅不僅取決于半波帶的數目，它還與各個帶露出面積的大小有關。120