1.3.2楊輝三角與二項式系數(shù)的性質(zhì)一般地，對于nN*有二項定理:一、新課引入二項展開式中的二項式系數(shù)指的是那些？共有多少個？下面我們來研究二項式系數(shù)有些什么性質(zhì)？我們先通過楊輝三角觀察n為特殊值時，二項式系數(shù)有什么特點？1．“楊輝三角”的來歷及規(guī)律

楊輝三角展開式中的二項式系數(shù)，如下表所示：

11

121

1331

1464115101051

1615201561

………………二項式系數(shù)的性質(zhì)

展開式的二項式系數(shù)依次是：

從函數(shù)角度看，可看成是以r為自變量的函數(shù),其定義域是：

當(dāng)時，其圖象是右圖中的7個孤立點．二項式系數(shù)的性質(zhì)2．二項式系數(shù)的性質(zhì)

（1）對稱性

與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等．

這一性質(zhì)可直接由公式得到．圖象的對稱軸：二項式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值

由于：所以相對于的增減情況由決定．

二項式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值

由：

二項式系數(shù)是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項取得最大值。

可知，當(dāng)時，二項式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值

因此，當(dāng)n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)

取得最大值；

當(dāng)n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)、相等，且同時取得最大值。（3）各二項式系數(shù)的和二項式系數(shù)的性質(zhì)在二項式定理中，令，則：

這就是說，的展開式的各二項式系數(shù)的和等于：同時由于，上式還可以寫成：這是組合總數(shù)公式．

一般地，展開式的二項式系數(shù)有如下性質(zhì)：（1）（2）（3）當(dāng)時，（4）當(dāng)時，課堂練習(xí)：1）已知，那么=

；2）的展開式中，二項式系數(shù)的最大值是

；3）若的展開式中的第十項和第十一項的二項式系數(shù)最大，則n=

；

例1：的展開式中第6項與第7項的系數(shù)相等，求展開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項。變式引申：1、的展開式中，系數(shù)絕對值最大的項是（）A.第4項B.第4、5項C.第5項D.第3、4項2、若展開式中的只有第6項的系數(shù)最大，則不含x的項等于()A.210B.120C.461D.416例2、若展開式中前三項系數(shù)成等差

數(shù)列，求（1）展開式中含x的一次冪的項；（2）展開式中所有x的有理項；（3）展開式中系數(shù)最大的項。1、已知的展開式中x3的系數(shù)為，則常數(shù)a的值是_______

2、在(1-x3)(1+x)10的展開式中x5的系數(shù)是（）

A.-297B.-252C.297D.2073、(x+y+z)9中含x4y2z3的項的系數(shù)是__________課堂練習(xí)4.已知(1+

)n展開式中含x-2的項的系數(shù)為12，求n.5.已知（10+xlgx）5的展開式中第4項為106，求x的值.4D1260310或1/10課堂練習(xí)1.等于（）

A.B.C.D.

2．在的展開式中x的系數(shù)為（

）

A．160B．240C．360D．8003.求的展開式中項的系數(shù).4．已知那么的展開式中含項的系數(shù)是

.

CB15

二項展開式中的二項