第二章一階動(dòng)態(tài)電路的暫態(tài)分析第二章一階動(dòng)態(tài)電路的暫態(tài)分析2.1電容元件與電感元件2.2換路定則及其初始條件2.3一階電路零輸入響應(yīng)2.4一階電路零狀態(tài)響應(yīng)2.5一階電路完全響應(yīng)2.6三要素法求一階電路響應(yīng)1

例如：電機(jī)的起、停，溫度的升、降等不能躍變，需要經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間，這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為過(guò)渡過(guò)程。穩(wěn)態(tài)過(guò)渡過(guò)程穩(wěn)態(tài)第二章一階動(dòng)態(tài)電路的暫態(tài)分析2uc=0

uc↑uc=us充電前充電時(shí)充電完穩(wěn)態(tài)

穩(wěn)態(tài)暫態(tài)（過(guò)渡過(guò)程）原因外因：電路結(jié)構(gòu)變化（換路、切斷、短路等）內(nèi)因：動(dòng)態(tài)元件L、C的存在第二章一階動(dòng)態(tài)電路的暫態(tài)分析32.1.1電容元件i+q-q+-u電壓與電流取關(guān)聯(lián)參考方向得到正比于電壓變化率2.1電容元件與電感元件4電容元件存儲(chǔ)的電荷量為電容元件電壓與電流的關(guān)系為電容元件存儲(chǔ)的能量為電容某時(shí)刻的儲(chǔ)能與該時(shí)刻的電壓平方成正比，電容電壓為狀態(tài)變量電容某時(shí)刻的電壓，并不是只取決于該時(shí)刻的電流值，還與t0時(shí)刻前的歷史有關(guān)系，為記憶元件“歷史”2.1電容元件與電感元件5磁通量Ψ

與電流i取右螺旋方向+-Lu+-電壓與電流取關(guān)聯(lián)參考方向，，即電感元件的電流正比于電流變化率2.1.2電感元件6+－L+－C正比于電流平方，電流為狀態(tài)變量記憶元件對(duì)照電容元件與電感元件7解電感的VAR

KVL

電容的VAR

KCL圖2.1.4例2.1.2電路【例2.1.1】如圖所示電路2.1.2(b)，已知i1=(2-e-t)(A),

t>0。求t>0時(shí)的電流2.1.2電感元件82.2.1換路定則電路中開(kāi)關(guān)的接通、斷開(kāi)，元件參數(shù)的變化統(tǒng)稱(chēng)為換路。換路會(huì)使電路由一個(gè)狀態(tài)過(guò)渡到另一個(gè)狀態(tài)。如果電路中有儲(chǔ)能元件，儲(chǔ)能元件狀態(tài)的變化反映出所存儲(chǔ)能量的變化。能量的變化需要經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，因此電路由一個(gè)狀態(tài)過(guò)渡到另一個(gè)狀態(tài)要有一個(gè)過(guò)程，這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為過(guò)渡過(guò)程。儲(chǔ)能元件電壓與電流是微分關(guān)系，分析動(dòng)態(tài)電路要列解微分方程。含有一個(gè)儲(chǔ)能元件的電路列出的是一階微分方程，因此含有一個(gè)儲(chǔ)能元件的電路稱(chēng)為一階電路。2.2換路定則及其初始條件9由于物體所具有的能量不能躍變，因此，在換路瞬間儲(chǔ)能元件的能量也不能躍變．由可見(jiàn)電容電壓uC和電感電流iL不能躍變．換路定律：換路時(shí)電容上的電壓，電感上的電流不能躍變．即設(shè)換路的時(shí)刻為t=0，換路前的瞬間記為t=0－

，換路后的瞬間記為t=0+

，0－和0+

在數(shù)值上都等于零。2.2換路定則及其初始條件10前面我們見(jiàn)到如果取t0=0-，

t=0+

，可得積分項(xiàng)中iC

和uL為有限值，積分項(xiàng)為零，同樣得到2.2換路定則及其初始條件112.2.2初始條件確定用時(shí)域分析法求解電路的動(dòng)態(tài)過(guò)程實(shí)質(zhì)就是求解微分方程．因此，必須要用初始條件確定積分常數(shù).在一階電路中，一般用電容電壓或者電感電流作為變量列微分方程。初始值：就是所求變量在換路結(jié)束瞬間的值。122)根據(jù)換路定律，求出獨(dú)立變量初始值uC(0+)和iL

(0+)

。3）在t=0+等效電路中求其他支路電壓、電流的初始值：可用電壓為uC(0+）的電壓源替代電容，用電流為iL(0+)

的電流源替代電感，畫(huà)出t=0+等效電路，如果換路前儲(chǔ)能元件沒(méi)有儲(chǔ)能，即uC（0+)=0，iL(0+)=0，則電容→短路，電感→開(kāi)路。1)先由t=0-等效電路求出uC(0–)

、iL(0–)：在直流激勵(lì)下，換路前，電路已處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，將電容→開(kāi)路，電感→短路，得到t=0-等效電路。

初始值的計(jì)算過(guò)程13

[例]圖（a)所示電路，t<0時(shí)電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)將開(kāi)關(guān)K閉合。試求各元件電流、電壓初始值。解：

t<0時(shí)電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，電容相當(dāng)于開(kāi)路．2.2換路定則及其初始條件(a)

uCu2CKiCi1u110V10μF3kΩ2kΩi2+－14t=0+的等效電路如下圖(b)所示．2.2換路定則及其初始條件15[例]

圖(a)中電路換路前已經(jīng)穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)閉合開(kāi)關(guān)，試求開(kāi)關(guān)閉合前和閉合后瞬間的電感電流和電感電壓。(a)解：開(kāi)關(guān)閉合前電路穩(wěn)態(tài)，電感相當(dāng)于短路．2.2換路定則及其初始條件16

t=0時(shí)閉合開(kāi)關(guān)，0+時(shí)刻等效電路如下圖(b)所示(a)(b)0+時(shí)刻等效電路2.2換路定則及其初始條件17

t=0時(shí)開(kāi)關(guān)閉合，0+時(shí)刻等效電路如圖(b)所示．換路過(guò)程中，電容電壓與電感電流不發(fā)生躍變，其它響應(yīng)都有可能發(fā)生躍變。圖(a)10V3ΩK2Ω2Ω1H2FiCuCt=0iiL

圖(b)t=0+時(shí)刻等效電路+－2.2換路定則及其初始條件18解圖2.2.2例2.2.2電路圖

由于換路前動(dòng)態(tài)元件均未儲(chǔ)能，所以t=0時(shí)uC(0–)=c(0+)=0，iL(0–)=

iL(0+)=0，相當(dāng)于電容短路、電感開(kāi)路，則0+時(shí)刻等效電路如圖2.2.2(b)所示，得【例2.2.2】如圖2.2.2(a)所示電路，開(kāi)關(guān)S在t=0時(shí)打開(kāi)，開(kāi)關(guān)打開(kāi)前電感電容均未儲(chǔ)能。求uc、ic、uL、iL及u的初始值。2.2換路定則及其初始條件192.3一階電路的零輸入響應(yīng)如果電路中只含有一個(gè)儲(chǔ)能元件，所列寫(xiě)電路的微分方程是一階微分方程，故含一個(gè)儲(chǔ)能元件的電路稱(chēng)為一階電路．零輸入響應(yīng)：電路的輸入為零，響應(yīng)是由儲(chǔ)能元件所儲(chǔ)存的能量產(chǎn)生的，這種響應(yīng)稱(chēng)為零輸入響應(yīng)本節(jié)討論RC電路和RL電路的零輸入響應(yīng)．20圖(a)所示電路中的開(kāi)關(guān)原來(lái)連接在1端，電壓源U0通過(guò)電阻Ro對(duì)電容充電，假設(shè)在開(kāi)關(guān)轉(zhuǎn)換以前，電容電壓已經(jīng)達(dá)到U0。在t=0時(shí)開(kāi)關(guān)迅速由1端轉(zhuǎn)換到2端。已經(jīng)充電的電容脫離電壓源而與電阻R聯(lián)接，如圖(b)所示,由于t>0時(shí)，無(wú)信號(hào)源作用，因而稱(chēng)為零輸入響應(yīng)。

RC電路的零輸入響應(yīng)(a)(b)1.RC電路的零輸入響應(yīng)21我們先定性分析t>0后電容電壓的變化過(guò)程。當(dāng)開(kāi)關(guān)倒向2端的瞬間，電容電壓不能躍變，即由于電容與電阻并聯(lián)，這使得電阻電壓與電容電壓相同，即電阻的電流為(a)(b)1.RC電路的零輸入響應(yīng)22該電流使得電容元件中的電荷量不斷減少，電壓不斷降低，直到電荷量為零，電容電壓為零。這個(gè)過(guò)程一般稱(chēng)為電容放電。電阻消耗的能量需要電容來(lái)提供，這造成電容電壓的下降。也就是電容電壓從初始值uC(0+)=U0逐漸減小到零的變化過(guò)程。這一過(guò)程變化的快慢與電阻元件參數(shù)的大小和電容元件參數(shù)的大小有關(guān)。1.RC電路的零輸入響應(yīng)23為建立圖(b)所示電路的一階微分方程，由KVL得到由KCL和電阻、電容的VCR方程得到代入上式得到以下方程(a)(b)1.RC電路的零輸入響應(yīng)24這是一個(gè)常系數(shù)線性一階齊次微分方程。其通解為代入式中，得到特征方程其解為1.RC電路的零輸入響應(yīng)(a)(b)25于是電容電壓變?yōu)槭街蠥是一個(gè)常量，由初始條件確定。當(dāng)t=0+時(shí)上式變?yōu)楦鶕?jù)初始條件求得1.RC電路的零輸入響應(yīng)26得到圖(b)電路的零輸入響應(yīng)為RC電路的零輸入響應(yīng)曲線按指數(shù)規(guī)律單調(diào)下降（2.3.3）

1.RC電路的零輸入響應(yīng)27當(dāng)時(shí)由曲線可見(jiàn)，各電壓電流的變化快慢取決于R和C的乘積。令

=RC，由于

具有時(shí)間的量綱，故稱(chēng)它為RC電路的時(shí)間常數(shù)。的物理意義時(shí)間常數(shù)等于電壓衰減到初始值U0

的時(shí)所需的時(shí)間。2>1，越大衰減越慢1.RC電路的零輸入響應(yīng)RCteU)t(uC-=028當(dāng)

t=5

時(shí)，uC(5)=0.007U0

，基本達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。只有t→∞時(shí)電路才能真正達(dá)到穩(wěn)態(tài)，uC=0

。工程上認(rèn)為t=(3~5)τ，uC→0電容放電基本結(jié)束。t0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U隨時(shí)間而衰減1.RC電路的零輸入響應(yīng)29

[例]

電路如圖（a)所示，換路前電路處于穩(wěn)定狀態(tài)。t=0時(shí)刻開(kāi)關(guān)斷開(kāi)，求t>0的電容電壓和電容電流。解：換路前開(kāi)關(guān)閉合，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)，電容電流為零，電容電壓等于200Ω電阻的電壓，由此得到圖（a)1.RC電路的零輸入響應(yīng)30時(shí)間常數(shù)：按式（2.3.3）

寫(xiě)出電容電壓的零輸入響應(yīng)1.RC電路的零輸入響應(yīng)31計(jì)算電容電流方法一：方法二：1.RC電路的零輸入響應(yīng)32電感電流原來(lái)等于電流I0，電感中儲(chǔ)存一定的磁場(chǎng)能量，在t=0時(shí)開(kāi)關(guān)由1端倒向2端，換路后的電路如圖(b)所示。

RL電路的零輸入響應(yīng)我們以圖(a)電路為例來(lái)說(shuō)明RL電路零輸入響應(yīng)的計(jì)算過(guò)程。(a)(b)2.RL電路的零輸入響應(yīng)33在開(kāi)關(guān)轉(zhuǎn)換瞬間，由于電感電流不能躍變，即iL(0+)=iL(0-)=I0

，這個(gè)電感電流通過(guò)電阻R時(shí)引起能量的消耗，這就造成電感電流的不斷減少，直到電流變?yōu)榱銥橹埂?/p>

綜上所述，圖(b)所示RL電路是電感中的初始儲(chǔ)能逐漸釋放出來(lái)消耗在電阻中的過(guò)程。與能量變化過(guò)程相應(yīng)的是各電壓電流從初始值，逐漸減小到零的過(guò)程。(b)2.RL電路的零輸入響應(yīng)34換路后，由KVL得代入電感VCR方程

得到以下微分方程

(b)這個(gè)微分方程與式(2.3.1)相似，其通解為

2.RL電路的零輸入響應(yīng)35代入初始條件iL(0+)=I0求得最后得到電感電流和電感電壓的表達(dá)式為令，則上式改寫(xiě)為2.RL電路的零輸入響應(yīng)36其波形如圖所示。RL電路零輸入響應(yīng)也是按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減的快慢取決于時(shí)間常數(shù)。且時(shí)間常數(shù)

=L/R．

RL電路零輸入響應(yīng)的波形2.RL電路的零輸入響應(yīng)37

[例]

電路如圖所示，換路前K合于①，電路處于穩(wěn)態(tài)。t=0時(shí)Ｋ由①合向②，求換路后的解:換路前電路已穩(wěn)定2.RL電路的零輸入響應(yīng)38由換路定律可得換路后電路為零輸入響應(yīng)．從Ｌ兩端視入的等效電阻為時(shí)間常數(shù)為2.RL電路的零輸入響應(yīng)39電感電流的零輸入響應(yīng)為電感電壓為或者2.RL電路的零輸入響應(yīng)40【例2.3.1】如圖2.3.5(a)所示電路，t<0時(shí)開(kāi)關(guān)位于“1”處并已達(dá)到穩(wěn)定，t=0時(shí)開(kāi)關(guān)轉(zhuǎn)到“2”的位置。求t>0時(shí)各支路電流的變化規(guī)律并畫(huà)出波形圖。t<0時(shí)，電感相當(dāng)于短路，求得解圖2.3.5例2.3.1電路圖2.RL電路的零輸入響應(yīng)41根據(jù)換路定則得由圖2.3.5(b)求得電感兩端的等效電阻為圖2.3.5例2.3.1電路圖時(shí)間常數(shù)為2.RL電路的零輸入響應(yīng)42由此可得，時(shí)各電流和電壓為波形如圖2.3.6所示。圖2.3.6例2.3.1各支路電流的波形圖2.RL電路的零輸入響應(yīng)43解圖2.3.7例2.3.2電路圖2.RL電路的零輸入響應(yīng)【例2.3.2】如圖2.3.7所示電路原已穩(wěn)定，t=0時(shí)，開(kāi)關(guān)S打開(kāi)，試求零輸入響應(yīng)uC(t)及iC(t)。44電路的初始狀態(tài)為零，即uC(0+)=0，iL(0+)=0，由外加激勵(lì)引起的響應(yīng)，稱(chēng)為零狀態(tài)響應(yīng)。圖2.4.1所示電路中的電容原來(lái)未充電，uC(0-)=0。t=0時(shí)開(kāi)關(guān)Ｋ閉合，電壓源US被接入RC電路。

圖2.4.1RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)uC(0+)=uC(0－)=

0根據(jù)KCL定律，有

由于

2.4一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)45所以這是一個(gè)常系數(shù)線性一階非齊次微分方程。其解包括兩部分，即式中的u'C(t)是與式（2.4.1）相應(yīng)的齊次微分方程的通解，其形式與零輸入響應(yīng)相同，即2.4一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)46式中的u"C(t)是式(2.4.1)所示非齊次微分方程的一個(gè)特解，應(yīng)滿足非齊次微分方程．對(duì)于直流電源激勵(lì)的電路，它是一個(gè)常數(shù)，令求得因而代入（2.4.1）2.4一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)47式中的常數(shù)A由初始條件確定。在t=0+時(shí)由此求得代入式uc(t)中得到電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)為2.4一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)48t0uCUSuC-US0iCUs/RtiCiR電容電流可以由電容電壓求得圖2.4.2

RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)曲線2.4一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)492.4一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)計(jì)算圖2.4.1可以不用列解微分方程，直接按式（2.4.2）寫(xiě)出零狀態(tài)響應(yīng)。對(duì)于比較復(fù)雜一點(diǎn)的電路，可以利用戴維南定理將電路變換為圖（2.4.1）的形式，再按式（2.4.2）寫(xiě)出零狀態(tài)響應(yīng)。零輸入響應(yīng)一般稱(chēng)為放電，零狀態(tài)響應(yīng)一般則稱(chēng)為電容器充電。與放電過(guò)程類(lèi)似，經(jīng)過(guò)3τ～5τ的時(shí)間，電容電壓接近電源電壓，即認(rèn)為過(guò)程結(jié)束。50在開(kāi)關(guān)閉合瞬間，由換路定律解:[例]電路如圖所示，已知電容電壓uC(0－)=0，t=0開(kāi)關(guān)閉合，求t0的電容電壓uC(t)和電容電流iC(t)。

2.4一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)51由電容兩端得到的等效電阻電路的時(shí)間常數(shù)按式（2.4.2）寫(xiě)出電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)為2.4一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)當(dāng)電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)52按式(2.4.3)可以得到電容電流2.4一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)53

RL一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)與RC一階電路相似。圖2.4.3所示電路在開(kāi)關(guān)閉合前，電感電流為零，即iL(0-)=0。當(dāng)t=0時(shí)開(kāi)關(guān)K閉合。根據(jù)KVL,有由于所以圖2.4.3

RL電路零狀態(tài)響應(yīng)2.RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)54這是一階常系數(shù)非齊次微分方程，其解答為式中

=L/R是該電路的時(shí)間常數(shù)。常數(shù)A由初始條件確定，即由此求得2.RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)55最后得到一階RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)為其響應(yīng)曲線如圖所示。圖2.4.2RL電路零狀態(tài)響應(yīng)曲線2.RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)56

[例]

電路如圖(a)所示，已知電感電流iL(0-)=0。t=0閉合開(kāi)關(guān)，求t0的電感電流iL(t)和電感電壓uL(t)。解：開(kāi)關(guān)閉合后的電路如圖(b)所示，由于開(kāi)關(guān)閉合瞬間電感電流不能躍變，即2.RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)57將圖(b)中電路等效變換為圖(c)所示電路。由此電路求得時(shí)間常數(shù)為電感電流的零狀態(tài)響應(yīng)為電感電壓為2.RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)58電路中儲(chǔ)能元件的狀態(tài)不為零，激勵(lì)電源也不為零，由儲(chǔ)能元件的初始儲(chǔ)能和激勵(lì)電源共同引起的響應(yīng)，稱(chēng)為全響應(yīng)。本節(jié)只討論在直流電源激勵(lì)下的全響應(yīng)。以RC電路為例

RC電路的完全響應(yīng)2.5一階電路的全響應(yīng)59

RC電路的完全響應(yīng)電路如圖所示，換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，電容電壓不為零，uC(0－)=U0。t=0時(shí)開(kāi)關(guān)由“1”置于“2”處。為了求得電容電壓的全響應(yīng)，以電容電壓uC(t)為變量，列出換路后電路的微分方程2.5一階電路的全響應(yīng)60這是一個(gè)常系數(shù)線性一階非齊次微分方程。其解為：

由初始條件得求得于是全響應(yīng)＝穩(wěn)態(tài)分量＋暫態(tài)分量暫態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量2.5一階電路的全響應(yīng)61零輸入響應(yīng)又

全響應(yīng)＝零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng)所以也可以表示零狀態(tài)響應(yīng)式中第一項(xiàng)為初始狀態(tài)單獨(dú)作用引起的零輸入響應(yīng)，第二項(xiàng)為激勵(lì)源單獨(dú)作用引起的零狀態(tài)響應(yīng)。也就是說(shuō)電路的全響應(yīng)等于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和。這是線性動(dòng)態(tài)電路的一個(gè)基本性質(zhì)，是疊加原理的一種體現(xiàn)。2.5一階電路的全響應(yīng)62以上兩種疊加的關(guān)系，可以用曲線來(lái)表示。利用全響應(yīng)的這兩種分解方法，可以簡(jiǎn)化電路的分析計(jì)算，實(shí)際電路存在的是電壓的全響應(yīng)。(a)全響應(yīng)分解為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與暫態(tài)響應(yīng)之和。(b)全響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和。暫態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量全響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)

RC電路的完全響應(yīng)2.5一階電路的全響應(yīng)632.6三要素法求一階電路響應(yīng)初始值f(0+)，穩(wěn)態(tài)值f(∞)

和時(shí)間常數(shù)τ稱(chēng)為電路的三要素。由三要素按式（2.6.1）直接寫(xiě)出全響應(yīng)的方法稱(chēng)為三要素法。（2.6.1）

利用三要素法求解電路響應(yīng)的步驟：求初始值求穩(wěn)態(tài)值求時(shí)間常數(shù)求一階電路響應(yīng)注意，三要素法適用范圍：①直流電源激勵(lì)下；②一階線性動(dòng)態(tài)電路；③電路中任何電壓和電流。64具體求解