...wd......wd......wd...1集合的概念和表示方法教材分析集合概念的基本理論，稱為集合論．它是近、現代數學的一個重要根基．一方面，許多重要的數學分支，如數理邏輯、近世代數、實變函數、泛函分析、概率統計、拓撲等，都建設在集合理論的根基上．另一方面，集合論及其反映的數學思想，在越來越廣泛的領域中得到應用．在小學和初中數學中，學生已經接觸過集合，對于諸如數集〔整數的集合、有理數的集合〕、點集〔直線、圓〕等，有了一定的感性認識．這節內容是初中有關內容的深化和延伸．首先通過實例引出集合與集合元素的概念，然后通過實例加深對集合與集合元素的理解，最后介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法，描述法，還給出了畫圖表示集合的例子．本節的重點是集合的基本概念與表示方法，難點是運用集合的兩種常用表示方法———列舉法與描述法正確表示一些簡單的集合．教學目標1.初步理解集合的概念，了解有限集、無限集、空集的意義，知道常用數集及其記法．2.初步了解“屬于〞關系的意義，理解集合中元素的性質．3.掌握集合的表示法，通過把文字語言轉化為符號語言〔集合語言〕，培養學生的理解、化歸、表達和處理問題的能力．任務分析這節內容學生已在小學、初中有了一定的了解，這里主要根據實例引出概念．介紹集合的概念采用由具體到抽象，再由抽象到具體的思維方法，學生容易承受．在引出概念時，從實例入手，由具體到抽象，由淺入深，便于學生理解，緊接著再通過實例理解概念．集合的表示方法也是通過實例加以說明，化難為易，便于學生掌握．教學設計一、問題情境1.在初中，我們學過哪些集合2.在初中，我們用集合描述過什么學生討論得出：在初中代數里學習數的分類時，學過“正數的集合〞，“負數的集合〞；在學習一元一次不等式時，說它的所有解為不等式的解集．在初中幾何里學習圓時，說圓是到定點的距離等于定長的點的集合．幾何圖形都可以看成點的集合．3.“集合〞一詞與我們日常生活中的哪些詞語的意義相近學生討論得出：“全體〞、“一類〞、“一群〞、“所有〞、“整體〞，……4.請寫出“小于10”的所有自然數．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．這些可以構成一個集合．5.什么是集合二、建設模型1.集合的概念〔先具體舉例，然后進展描述性定義〕〔1〕某種指定的對象集在一起就成為一個集合，簡稱集．〔2〕集合中的每個對象叫作這個集合的元素．〔3〕集合中的元素與集合的關系：a是集合A中的元素，稱a屬于集合A，記作a∈A；a不是集合A中的元素，稱a不屬于集合A，記作aA．例：設B＝｛1，2，3｝，那么1∈B，4B．2.集合中的元素具備的性質〔1〕確定性：集合中的元素是確定的，即給定一個集合，任何一個對象是否屬于這個集合的元素也就確定了．如上例，給出集合B，4不是集合的元素是可以確定的．〔2〕互異性：集合中的元素是互異的，即集合中的元素是沒有重復的．例：假設集合A＝｛a，b｝，那么a與b是不同的兩個元素．〔3〕無序性：集合中的元素無順序．例：集合｛1，2｝與集合｛2，1｝表示同一集合．3.常用的數集及其記法全體非負整數的集合簡稱非負整數集〔或自然數集〕，記作N．非負整數集內排除0的集合簡稱正整數集，記作N*或N+；全體整數的集合簡稱整數集，記作Z；全體有理數的集合簡稱有理數集，記作Q；全體實數的集合簡稱實數集，記作R．4.集合的表示方法［問題］如何表示方程x2－3x＋2＝0的所有解〔1〕列舉法列舉法是把集合中的元素一一列舉出來的方法．例：x2－3x＋2＝0的解集可表示為｛1，2｝．〔2〕描述法描述法是用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法．例：①x2－3x＋2＝0的解集可表示為｛x｜x2－3x＋2＝0｝．②不等式x－3＞2的解集可表示為｛x｜x－3＞2｝．③Venn圖法例：x2－3x＋2＝0的解集可以表示為〔1，2〕．5.集合的分類〔1〕有限集：含有有限個元素的集合．例如，A＝｛1，2｝．〔2〕無限集：含有無限個元素的集合．例如，N．〔3〕空集：不含任何元素的集合，記作．例如，｛x｜x2＋1＝0，x∈R｝＝．注：對于無限集，不宜采用列舉法．三、解釋應用［例題］1.用適當的方法表示以下集合．〔1〕由1，2，3這三個數字抽出一局部或全部數字〔沒有重復〕所組成的一切自然數．〔2〕平面內到一個定點O的距離等于定長l〔l＞0〕的所有點P．〔3〕在平面a內，線段AB的垂直平分線．〔4〕不等式2x－8＜2的解集．2.用不同的方法表示以下集合．〔1〕｛2，4，6，8｝．〔2〕｛x｜x2＋x－1＝0｝．〔3〕｛x∈N｜3＜x＜7｝．3.A＝｛x∈N｜66－x∈N｝．試用列舉法表示集合A．〔A＝｛0，3，5｝〕4.用描述法表示在平面直角坐標中第一象限內的點的坐標的集合．［練習］1.用適當的方法表示以下集合．〔1〕構成英語單詞mathematics〔數字〕的全體字母．〔2〕在自然集內，小于1000的奇數構成的集合．〔3〕矩形構成的集合．2.用描述法表示以下集合．〔1〕｛3，9，27，81，…｝．〔2〕四、拓展延伸把以下集合“翻譯〞成數學文字語言來表達．〔1〕｛〔x，y〕｜y＝x2＋1，x∈R｝．〔2〕｛y｜y＝x2＋1，x∈R｝．〔3〕｛〔x，y〕｜y＝x2＋1，x∈R｝．〔4〕｛x｜y＝x2＋1，y∈N*｝．點評這篇案例注重新、舊知識的聯系與過渡，以舊引新，從學生的原有知識、經歷出發，創設問題情境；從實例引出集合的概念，再結合實例讓學生進一步理解集合的概念，掌握集合的表示方法．非常注重實例的使用是這篇案例的突出特點．這樣做，通俗易懂，使學生便于學習和掌握．例題、練習由淺入深，對培養學生的理解能力、表達能力、思維能力大有裨益．拓展延伸注重數學語言的轉化和訓練，注重區分形似而質異的數學問題，加強了學生對數學概念的理解和認識．2集合之間的關系教材分析集合之間的關系是集合運算的根基和前提，是用集合觀點理清集合之間內在聯系的橋梁和工具．這節內容是對集合的基本概念的深化，延伸，首先通過類比、實例引出子集的概念，再結合實例加以說明，然后通過實例說明子集包括真子集和兩集合相等兩種情況．這節內容的教學重點是子集的概念，教學難點是弄清元素與子集、屬于與包含之間的區別．教學目標1.通過對子集概念的歸納、抽象和概括，體驗數學概念產生和形成的過程，培養學生的抽象、概括能力．2.了解集合的包含、相等關系的意義，理解子集、真子集的概念，培養學生對數學的理解能力．3.通過對集合之間的關系即子集的學習，初步體會數學知識發生、開展、運用的過程，培養學生的科學思維方法．任務分析這節內容是在學生已經掌握了集合的概念和表示方法以及兩個實數之間有大小關系的根基上，進一步學習和研究兩個集合之間的關系，采用從實例入手，由具體到抽象，由特殊到一般，再由抽象、一般到具體、特殊的方法，知識的產生、發生比較自然，易于學習、承受和掌握；采用分類討論的方法闡述子集包括真子集、等集〔兩集合相等〕兩種情況，這可以使學生更好地認識子集、真子集、等集三者之間的內在聯系．教學設計一、問題情境1.元素與集合之間的關系是什么元素與集合是附屬關系，即對一個元素x是某集合A中的元素時，它們的關系為x∈A．假設一個對象x不是某集合A中的元素時，它們的關系為xA．2.集合有哪些表示方法列舉法，描述法，Venn圖法．數與數之間存在著大小關系，那么，兩個集合之間是不是也存在著類似的關系呢先看下面兩個集合：A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝．它們之間有什么關系呢二、建設模型1.引導學生分析討論集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素．集合B中的元素4，5不是集合A中的元素．2.與學生共同歸納，明晰子集的定義對于上述問題，教師點撥，A是B的子集，B不是A的子集．子集：對于兩個集合A，B，如果集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，即集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，記作AB〔或BA〕，就說集合A是集合B的子集．用符號語言可表示為：如果任意元素x∈A，都有x∈B，那么AB．規定：空集是任何集合的子集，即對于任意一個集合A，有A．3.提出問題，組織學生討論給出三個集合：A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝，C＝｛1，2，3｝．〔1〕A是B的子集嗎B是A的子集嗎〔2〕A是C的子集嗎C是A的子集嗎4.教師給出真子集與兩集合相等的定義上述問題中，集合A是集合B的子集，并且集合B中有元素不屬于集合A，這時，我們就說集合A是集合B的真子集；集合A是集合C的子集，且集合A與集合C的元素完全一樣，這時，我們就說集合A與集合C相等．真子集：如果集合A是集合B的子集，即AB，并且B中至少有一個元素不屬于集合A，那么集合A叫作集合B的真子集，記作AB或BA．AB的Venn圖為兩集合相等：如果集合A中的每一個元素都是集合B中的元素，即AB，反過來，集合B的每一個元素也都是集合A中的元素，即BA，那么就說集合A等于集合B，記作A＝B．A＝B的Venn圖為思考：設A，B是兩個集合，AB，AB，A＝B三者之間的關系是怎樣的5.子集、真子集的有關性質由子集、真子集的定義可推知：〔1〕對于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC．〔2〕對于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC．〔3〕AA．〔4〕空集是任何非空集合的真子集．三、解釋應用［例題］1.用適當的符號〔∈，，＝，，〕填空．〔1〕3___________｛1，2，3｝．〔2〕5___________｛5｝．〔3〕4___________｛5｝．〔4〕｛a｝___________｛a，b，c｝．〔5〕0___________．〔6〕｛a，b，c｝___________｛b，c｝．〔7〕___________｛0｝．〔8〕___________｛｝．〔9〕｛1，2｝___________｛2，1｝．〔10〕G＝｛x｜x是能被3整除的數｝___________H＝｛x｜x是能被6整除的數｝．2.寫出集合｛a，b｝的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集．3.說出以下每對集合之間的關系．〔1〕A＝｛1，2，3，4，｝，B＝｛3，4｝．〔2〕P＝｛x｜x2＝1｝，Q＝｛-1，1｝．〔3〕N，N*．〔4〕C＝｛x∈R｜x2＝-1｝，D＝｛0｝．［練習］1.用適當的符號〔∈，，＝，，〕填空．〔1〕a___________｛a｝．〔2〕b___________｛a｝．〔3〕___________｛1，2｝．〔4〕｛a，b｝___________｛b，a｝．〔5〕A＝｛1，2，4｝___________B＝｛x｜x是8的正約數｝．2.求以下集合之間的關系，并用Venn圖表示．A＝｛x｜x是平行四邊形｝，B＝｛x｜x是菱形｝，C＝｛x｜x是矩形｝，D＝｛x｜x是正方形｝．拓展延伸填表表2-1集合集合中元素的個數子集的個數真子集的個數｛a｝1

｛a，b｝2

｛a，b，c｝3

｛a，b，c，d｝4

……

〔1〕你能找出“集合中元素的個數〞與“子集的個數〞、“真子集的個數〞之間關系嗎〔2〕如果一個集合中有n個元素，你能寫出計算它的所有子集個數與真子集個數的公式嗎〔用n表達〕點評這篇案例構造嚴謹，思路清晰，概念和關系的引出注重從具體到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認識過程．具體地說就是，先結合實例研究兩個具體集合的關系，從而引出子集的定義，然后再結合實例說明AB，包括AB，A＝B兩種情況，再給出真子集、等集的定義．這樣的處理方式，符合學生的認知規律，符合新課程的理念，例題與練習由淺入深，注重數形結合，使學生從不同角度加深了對集合之間的關系的理解．拓展延伸注重培養學生從特殊到一般地解決數學問題的能力．值得注意的是，在引出子集定義時，最好明確指出，集合之間的“大小〞關系實質上就是包含關系．3邏輯聯結詞教材分析在初中階段，學生已接觸了一些簡單命題，對簡單的推理方法有了一定程度的了解．在此根基上，這節課首先從簡單命題出發，給出含有“或〞、“且〞、“非〞的復合命題的概念，然后借助真值表，給出判斷復合命題的真假的方法．在高中數學中，邏輯聯結詞是學習、掌握和使用數學語言的根基，是高中數學學習的出發點．因此，在教學過程中，除了關注和初中知識密切的聯系之外，還應借助實際生活中的具體例子，以便于學生理解和掌握邏輯聯結詞．教學重點是判斷復合命題真假的方法，難點是對“或〞的含義的理解．教學目標1.理解邏輯聯結詞“或〞、“且〞、“非〞的含義，了解“或〞、“且〞、“非〞的復合命題的構成．2.能熟練判斷一些復合命題的真假性．3.通過邏輯聯結詞的學習，使學生初步體會數學語言的嚴密性，準確性，并在今后數學學習和交流中，能夠準確運用邏輯聯結詞．任務分析在初中數學中，學生已經學習了一些關于命題的初步知識，但是，對命題和開語句的區別往往搞不清．因此，應首先讓學生弄懂命題的含義，以便其掌握復合命題．由于邏輯中的“或〞、“且〞、“非〞與日常用語中的“或〞、“且〞、“非〞的意義不完全一樣，故要直接講清楚它們的意義，比較困難．因此，開場時，不必深講，可以在學習了有關復合命題的真值表之后，再要求學生根據復合命題的真值表，對“或〞、“且〞、“非〞加以理解，這樣處理有利于掌握重點，突破難點．為了加深對“或〞、“且〞、“非〞的理解，最后應設計一系列的習題加以穩固、深化對知識的認識程度．教學設計一、問題情境生活中，我們要經常用到許多有自動控制功能的電器．例如，洗衣機在甩干時，如果“到達預定的時間〞或“機蓋被翻開〞，就會停機，即當兩個條件至少有一個滿足時，就會停機．與此對應的電路，就叫或門電路．又如，電子保險門在“鑰匙插入〞且“密碼正確〞兩個條件都滿足時，才會開啟．與此對應的電路，就叫與門電路．隨著高科技的開展，諸多科學領域均離不開類似以上的邏輯問題．因此，我們有必要對簡易邏輯加以研究．二、建設模型在初中，我們已學過命題，知道可以判斷真假的語句叫作命題．試分析以下8個語句，說出哪些是命題，哪些不是命題，哪些是真命題，哪些是假命題．〔1〕12＞5．〔2〕3是12的約數．〔3〕是整數．〔4〕是整數嗎〔5〕x＞．〔6〕10可以被2或5整除．〔7〕菱形的對角線互相垂直且平分．〔8〕不是整數．〔可以讓學生答復，教師給出點評〕我們可以看出，〔1〕〔2〕是真命題；〔3〕是假命題；因為〔4〕不涉及真假；〔5〕不能判斷真假，所以〔4〕〔5〕都不是命題；〔6〕〔7〕〔8〕是真命題．其中，“或〞、“且〞、“非〞這些詞叫作邏輯聯結詞．像〔1〕〔2〕〔3〕這樣的命題，不含邏輯聯結詞，叫簡單命題；像〔6〕〔7〕〔8〕這樣，由簡單命題與邏輯聯結詞構成的命題，叫復合命題．如果用小寫的拉丁字母p，q，r，s，…來表示命題〔這里應明確〔6〕〔7〕〔8〕三個命題中p，q分別代表什么〕，那么上述復合命題〔6〕〔7〕〔8〕的構成形式分別是p或q，p且q，非p．其中，非p也叫作命題p的否認．對于以上三種復合命題，如何判斷其真假呢下面要求學生自己設計或真或假的命題來填下面表格：結合學生答復情況，將上面的表格補充完整，并給出真值表的定義．要求學生對每一真值表用一句話總結：〔1〕“非p〞形式的復合命題的真假與p的真假相反．〔2〕“p且q〞形式的復合命題當p與q同為真時為真，其他情況時為假．〔3〕“p或q〞形式的復合命題當p與q同為假時為假，其他情況時為真．三、解釋應用［例題］1.分別指出以下各組命題構成的“p或q〞、“p且q〞、“非p〞形式的復合命題的真假．〔1〕p：2＋2＝5，q：3＞2．〔2〕p：9是質數，q：8是12的約數．〔3〕p：1∈｛1，2｝，q：｛1｝｛1，2｝．〔4〕p：｛0｝，q：＝｛0｝．注：引導學生進一步熟悉真值表．2.說出以下復合命題的形式，并判斷其真假．〔1〕5≥5．〔2〕5≥1．解：〔1〕p或q形式．其中，p：5＞5，q：5＝5．p假，q真，∴p或q為真，即5≥5為真命題．〔2〕p或q形式．其中，p：5＞4，q：5＝4，p真，q假，∴p或q為真，即5≥4為真命題．［練習］1.命題：方程x2－1＝0的解是x＝±1，使用邏輯聯結詞的情況是〔〕．A.沒用使用邏輯聯結詞B.使用邏輯聯結詞“且〞C.使用邏輯聯結詞“或〞D.使用邏輯聯結詞“非〞〔C〕2.由以下命題構成的“p或q〞、“p且q〞形式的復合命題均為真命題的是〔〕．A.p：4＋4＝9，q：7＞4B.p：a∈｛a，b，c｝，q：｛a｝｛ａ，ｂ，ｃ｝C.p：15是質數，q：4是12的約數D.p：2是偶數，q：2不是質數〔B〕四、拓展延伸在一些邏輯問題中，當字面上并未出現“或〞、“且〞、“非〞字樣時，應從語句的陳述中搞清含義，從而解決問題．例：小李參加全國數學聯賽，有三名同學對他作如下猜想：甲：小李非第一名，也非第二名；乙：小李非第一名，而是第三名；丙：小李非第三名，而是第一名．競賽完畢后發現，一人全猜對，一人猜對一半，一人全猜錯，問：小李得了第幾名由上可知：甲、乙、丙均為“p且q〞形式，所以猜對一半者也說了錯誤“命題〞，即只有一個為真，所以可知是丙是真命題，因此小李得了第一名．還有一些邏輯問題，應從命題與命題之間關系去尋找解題思路．例：曾經在校園內發生過這樣一件事：甲、乙、丙、丁四名同學在教室前的空地上踢足球，突然足球飛向了教室的一扇窗戶，聽到響聲后，李主任走了過來，看著一地碎玻璃，問道：“玻璃是誰打破的〞甲：是乙打破的；乙：不是我，是丁打破的；丙：肯定不是我打破的；?。阂以谌鲋e．現在只知道有一個人說了真話，請你幫李主任分析：誰打破了玻璃，誰說了真話．分析此題關鍵在于找清乙說的與丁說的是“p〞與“非p〞形式，因此說真話者可能是乙，也可能不是乙，是?。纱朔治隹芍?，是丙打破的玻璃．點評這篇案例的突出特點是對知識的認知由淺入深，層層漸進．這篇案例的所有例子均結合學生的數學水平取自學生掌握的知識范圍之內或者直接源于現實生活，這有利于學生對問題的實質的理解和掌握．如果在“建設模型〞的完畢時及時給出相關的例子，使學生正確區分哪些是簡單命題，哪些是復合命題，學生的印象會更深．4四種命題教材分析在初中，學生接觸的簡單的邏輯推理及命題間關系〔原命題和逆命題〕主要來源于幾何知識，有很強的幾何直觀性，便于掌握．高中學生要面對大量代數命題，因此，很有必要學習四種命題及四者之間的關系，以適應高中數學學習的需要，這節課的主要教學目的就在于此．同時，這節課又是學習和運用反證法這種基本解題方法的根基．這節課的重點是四種命題間的關系．學生現有的認知水平雖然脫離了初中階段的簡單幾何知識，但是新的知識體系并未形成，因此，隨著學生對概念理解的深入，這節課的例題將逐步引導學生理解幾何命題，進而理解代數命題．這種處理方式符合學生的認知規律．教學目標通過這節課的教與學，應使學生初步理解四種命題及其關系，進而使學生掌握簡單的推理技能，開展學生的思維能力．同時，幫助學生從幾何推理向代數推理過渡．任務分析在這節課的教學過程中，要注意控制教學要求，即只研究比較簡單的命題，而且命題的條件和結論比較明顯；不研究含有邏輯聯結詞“或〞、“且〞、“非〞的命題的逆命題、否命題和逆否命題．這節中“假設p那么q〞形式的命題中的“p〞，“q〞可以都是命題，也可以不都是命題，不能等同于前面的復合命題．教學設計一、問題情境在以前的數學學習中，有這樣的知識：菱形的對角線相互垂直．那么，這一真命題變一下形式是否真命題呢如：“如果一個四邊形對角線相互垂直，那么它是菱形〞，再如：“對角線不相互垂直的四邊形不是菱形〞．這些變形后的命題的真假是否和原命題有關呢為解決這一問題，這節課我們就來學習“四種命題〞．二、問題解決首先讓學生回憶初中學習過的有關命題的定義：互逆命題、原命題、逆命題．〔學生答復，教師補充完整〕例：如果原命題是〔1〕同位角相等，兩直線平行．讓學生說出它的逆命題．〔2〕兩直線平行，同位角相等．再看下面的兩個命題：〔3〕同位角不相等，兩直線不平行．〔4〕兩直線不平行，同位角不相等．在命題〔1〕與命題〔3〕中，一個命題的條件和結論分別是另一個命題的條件的否認和結論的否認，這樣的兩個命題叫作互否命題．把其中一個命題叫作原命題，另一個就叫作原命題的否命題．在命題〔1〕與命題〔4〕中，一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論的否認和條件的否認，這樣的兩個命題叫作互為逆否命題．把其中一個命題叫作原命題，另一個就叫作原命題的逆否命題．換句話說：〔1〕交換原命題的條件和結論，所得的命題是逆命題．〔2〕同時否認原命題的條件和結論，所得命題是否命題．〔3〕交換原命題的條件和結論，并同時否認，所得命題是逆否命題．一般地，用p和q分別表示原命題的條件和結論，用非p和非q分別表示p和q的否認．于是，四種命題的形式就是：原命題：假設p那么q．逆命題：假設q那么p．否命題：假設非p那么非q．逆否命題：假設非q而非p．下面讓學生考慮這樣一個問題：四種命題之間，任意兩個是什么關系〔學生答復，教師補充，最后出示以以下列圖〕給出一個命題：“假設a＝0，那么ab＝0．〞讓學生寫出其他三種命題，并判斷四個命題的真假，然后考慮其他三種命題的真假是否與原命題的真假有某種關系．不難發現如下關系：〔1〕原命題為真，它的逆命題不一定為真．〔2〕原命題為真，它的否命題不一定為真．〔3〕原命題為真，它的逆否命題一定為真．三、解釋應用［例題］1.把以下命題先改寫成“假設p那么q〞的形式，再寫出它們的逆命題、否命題與逆否命題，并分別判斷它們的真假．〔1〕負數的平方是正數．〔2〕正方形的四條邊相等．分析：關鍵是找出原命題的條件p與結論q．解：〔1〕原命題可以寫成：假設一個數是負數，那么它的平方是正數．逆命題：假設一個數的平方是正數，那么它是負數．逆命題為假．否命題：假設一個數不是負數，那么它的平方不是正數．否命題為假．逆否命題：假設一個數的平方不是正數，那么它不是負數．逆否命題為真．〔2〕原命題可以寫成：假設一個四邊形是正方形，那么它的四條邊相等．逆命題：假設一個四邊形的四條邊相等，那么它是正方形．逆命題為假．否命題：假設一個四邊形不是正方形，那么它的四條邊不相等．否命題為假．逆否命題：假設一個四邊形的四條邊不相等，那么它不是正方形．逆否命題為真．2.設原命題是“當c＞0時，假設a＞b，那么ac＞bc〞，寫出它的逆命題、否命題與逆否命題，并分別判斷它們的真假．分析：“當c＞0時〞是大前提，寫其他命題時應該保存，原命題的條件是a＞b，結論是ac＞bc．解：逆命題：當c＞0時，假設ac＞bc，那么a＞b．逆命題為真．否命題：當c＞0時，假設a≤b，那么ac≤bc．否命題為真．逆否命題：當c＞0時，假設ac≤bc，那么a≤b．逆否命題為真．［練習］1.命題“假設a＞b，那么ac2＞bc2，〔a，b，c∈R〕〞與它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題個數為〔〕．A.3B.2C.1D.0〔B〕2.在命題“假設拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向下，那么｛x｜ax2＋bx＋c＜0｝≠〞的逆命題、否命題、逆否命題中，以下結論成立的是〔〕．A.三命題都真B.三命題都假C.否命題真D.逆否命題真〔D〕四、拓展延伸在對某一命題的條件和結論否認時，有些問題，學生易出錯．例如，對如下詞語的否認：“任意的〞、“所有的〞、“都是〞和“全是〞等．下面以“全是〞為例進展說明：所謂“否認〞，即其對立面，顯然“全是〞的對立面中除了“全不是〞之外，還有“局部也是〞這一局部．因此，“全是〞的對立面〔即否認〕應是“不全是〞，而不是“全不是〞．同樣，“任意的〞否認應是“某個〞，“所有的〞否認應是“存在一個〞或“存在一些〞，“都是〞的否認是“不都是〞．例如，命題：假設x2＋y2＝0，那么x，y全是0．其否命題是：假設x2＋y2≠0，那么x，y不全是0．點評這篇案例涉及兩個問題：一個是定義，一個是規律，即四種命題間的關系．為了加深學生的認識，這篇案例突出了“學生參與〞，即讓學生通過例子認識定義，在活動中自己歸納、總結規律．同時，這篇案例又設計了適量的例題和練習，以穩固學生在課堂活動中掌握的知識．再者，這篇案例中所有例子都十分簡單，但又極具有代表性，易于學生承受和理解，這也是學生能積極地參與到課堂活動中去的一個必要條件．美中缺乏的是，這篇案例的個別環節對“反例〞的運用稍顯薄弱．5充分條件與必要條件教材分析充分條件與必要條件是簡易邏輯的重要內容．學習數學需要全面地理解概念，正確地進展表述、判斷和推理，這就離不開對充分條件與必要條件的掌握和運用，而且它們也是認識問題、研究問題的工具．這節內容在“四種命題〞的根基上，通過假設干實例，總結出了充分條件、必要條件和充要條件的概念，給出了判斷充分條件、必要條件的方法和步驟．教學的重點與難點是關于充要條件的判斷．教學目標1.結合實例，理解充分條件、必要條件、充要條件的意義．2.理解充要條件，掌握判斷充要條件的方法和步驟．3.通過充要條件的學習，培養學生對數學的理解能力和邏輯推理能力，逐步提高學生分析問題、解決問題的能力．任務分析這節內容是學生在學習了“四種命題〞、會判斷一個命題的真假的根基上，主要根據“pq〞給出了充分條件、必要條件及充要條件．雖然從實例引入，但是學生對充分條件、必要條件的理解，特別是對必要條件的理解有一定困難．對于本節內容的學習，首先要分清誰是條件，誰是結論，其次要進展兩次推理或判斷．〔1〕假設“條件結論〞，那么條件是結論的充分條件，或稱結論是條件的必要條件．〔2〕假設“條件結論〞，那么條件是結論的不充分條件，或稱結論是條件的不必要條件．教學設計一、問題情境［提出問題］1.寫出命題“假設x＞0，那么x2＞0”的逆命題、否命題和逆否命題，并分別判斷原命題、逆命題、否命題、逆否命題的真假．原命題：假設x＞0，那么x2＞0．真命題．逆命題：假設x2＞0，那么x＞0．假命題．否命題：假設x≤0，那么x2≤0．假命題．逆否命題：假設x2≤0，那么x≤0．真命題．2.“假設p那么q〞形式的命題，其中有的命題為真，有的命題為假．“假設p那么q〞為真，即如果p成立，那么q一定成立，記作pq或qp．“假設p那么q〞為假，即如果p成立，那么q不一定成立，即由p推不出q，記作pq．［進一步的問題］“假設x＞0，那么x2＞0”，為真，可記作“pq〞．〔1〕x＞0是x2＞0的什么條件〔2〕x2＞0是x＞0的什么條件二、建設模型1.學生分析討論，教師點拔〔1〕x＞0x2＞０，x＞0是x2＞0的什么條件在這個問題中，“x＞0〞是“條件〞，“x2＞0”是“結論〞；x＞0x2＞0表示假設“條件〞成立，那么“結論〞一定成立，說明“條件〞蘊涵“結論〞，說明“條件〞是“結論〞的充分條件．〔2〕x2＞0x＞0，x2＞0是x＞0的什么條件在這個問題中，“x2＞0”是“條件〞，“x＞0〞是“結論〞；x＞0x2＞0表示假設“結論〞成立，那么“條件〞一定成立，說明“結論〞蘊涵“條件〞，即假設“條件〞成立，那么“結論〞不一定成立，說明“結論〞是“條件〞的必要條件．2.師生共同參與，給出充分條件、必要條件的定義如果pq，那么，p是q的充分條件，q是p的必要條件．3.充要條件問題：記p：三角形的三條邊相等，q：三角形的三個角相等．問：p是q的什么條件解：〔1〕pq，即p是q的充分條件．〔2〕qp，即p是q的必要條件．綜合〔1〕〔2〕，我們就說p是q的充要條件．如果pq，且qp，記作pq，這時，p既是q的充分條件，又是q的必要條件，那么就說p是q的充分必要條件，簡稱充要條件．4.提出問題，組織學生討論如何判斷充要條件〔1〕分清誰是條件p，誰是結論q．〔2〕進展兩次推理或判斷，即判斷pq是否成立，qp是否成立．〔3〕根據〔2〕寫出結論．三、解釋應用［例題］1.指出以下各組命題中，p是q的什么條件，q是p的什么條件．〔1〕p：x＞0；q：x2＞0．〔p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件〕〔2〕p：x＝y；q：x2＝y2．〔p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件〕〔3〕p：兩三角形面積相等；q：兩三角形全等．〔p是q的必要不充分條件，q是p的充分不必要條件〕〔4〕p：兩直線平行；q：內錯角相等．〔p是q的充要條件，q是p的充要條件〕〔5〕p：x＝y；q：x2＋y2＝1．〔p是q的既不充分又不必要條件，q是p的既不充分又不必要條件〕2.指出以下各組命題中，p是q的什么條件．〔1〕p：〔x－2〕〔x－3〕＝0；q：x＝3．〔2〕p：四邊形對角線相等；q：四邊形是矩形．〔3〕p：a≠0；q：a·b≠0．〔4〕p：a＋5是無理數；q：a是無理數．〔5〕p：x≤5；q：x≤3．［練習］1.以下各組命題中的p是q的什么條件〔1〕p：x2＋y2＝0，q：x·y＝0．〔2〕p：m＞0；q：x2＋x－m＝0有實數根．〔3〕p：a＞b；q：a2＞b2．〔4〕p：x2＝3x＋4；q：x＝〔5〕p：x＞-1；q：x＞1．〔6〕p：a，b都是偶數；q：a＋b是偶數．2.〔1〕如果原命題假設p那么q為真而逆命題為假，那么p是q的條件．〔2〕如果原命題假設p那么q為假而逆命題為真，那么p是q的條件．〔3〕如果原命題假設p那么q與其逆命題都為真，那么p是q的條件．〔4〕如果原命題假設p那么q與其逆命題都為假，那么p是q的條件．四、拓展延伸1.p，q都是r的必要條件，S是r的充分條件，q是S的充分條件，那么，〔1〕S是q的什么條件〔2〕r是q的什么條件〔3〕p是q的什么條件2.“關于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負的實根〞的充要條件是什么3.“3x2－10x＋k＝0有兩個同號且不相等實根〞的充要條件是什么點評這篇案例注重新、舊知識的內在聯系，以舊引新，過渡自然．首先，復習已學過的知識“四種命題〞和判斷命題的真假，并以此巧妙地引出了推斷符號pq，pq．其次，在此根基上，通過實例，創設問題情境，引出課題p是q的什么條件．最后，明確充要條件，并給出判斷充要條件的方法和步驟．環環相扣，層層深入，重點突出，抓住了關鍵．例題與練習由淺入深，符合學生的認知規律．拓展延伸富有新意，有利于培養學生的探索能力和創新意識，有利于培養學生的思維能力和思維品質，整個設計圓滿地完成了教學任務．6函數的概念教材分析與傳統課程內容相比，這節內容的最大變化就是函數概念的處理方式．事實上，“先講映射后講函數〞比“先講函數后講映射〞，有利于學生更好地理解函數概念的本質．第一，在初中函數學習根基上繼續深入學習函數，銜接自然，利于學生在原有認知根基上提升對函數概念的理解；第二，直接進入函數概念的學習更有利于學生將注意力放在理解函數概念的學習上，而不必花大量精力學習映射，使其認識映射與函數的關系后才能理解函數的概念．函數概念是中學數學中最重要的概念之一．函數概念、思想貫穿于整個中學教材之中．通過實例，引導學生通過自己的觀察、分析、歸納和概括，獲得用集合與對應語言刻畫的函數概念．對函數概念本質的理解，首先應通過與初中定義的比較、與其他知識的聯系以及不斷地應用等，初步理解用集合與對應語言刻畫的函數概念．其次在后續的學習中通過基本初等函數，引導學生以具體函數為依托、反復地、螺旋式上升地理解函數的本質．教學重點是函數的概念，難點是對函數概念的本質的理解．教學目標1.通過豐富實例，進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型．在此根基上學習用集合與對應的語言來刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用．2.了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域．3.了解映射的概念．任務分析學生在初中對函數概念有了初步的認識．這節課的任務是在學生原認知水平的根基上，用集合與對應的觀點認識函數，了解構成函數定義的三要素，認識映射與函數是一般與特殊的關系．教學設計一、問題情景1.一枚炮彈發射后，經過60s落到地面擊中目標．炮彈的射高為4410m，且炮彈距地面的高度h隨時間t的變化規律是h＝294t－4.9t2，〔0≤t≤60，0≤h≤4410〕．2.近幾十年來，大氣層中的臭氧迅速減少，因而出現了臭氧層空洞問題．以以下列圖中的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞的面積從1979年到2001年的變化情況．3.國際上常用恩格爾系數反映一個國家人民生活質量的上下，恩格爾系數越低，生活質量越高．下表中恩格爾系數隨時間〔年〕變化的情況說明，“八五〞方案以來，我國城鎮居民的生活質量發生了顯著變化．表6-1“八五〞方案以來我國城鎮居民恩格爾系數變化情況時間〔年〕19911992199319941995199619971998199920002001恩格爾系數〔%〕53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9問題：分析以上三個實例，對任一個給定的ｔ，射高ｈ、臭氧層空洞面積Ｓ、恩格爾系數是否有值與之對應假設有，有幾個二、建設模型1.在學生充分分析和討論的根基上，總結歸納以上三個實例的共同特點在三個實例中，變量之間的關系都可以描述成兩個集合間的一種對應關系：對于數集Ａ中的任一個ｘ，按照某個對應關系，在數集Ｂ中都有唯一確定的值與之對應．2.教師明晰通過學生的討論歸納出函數的定義：設A，B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任一個x，在集合B中都有唯一確定的數f〔x〕與它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作：y＝f〔x〕，x∈A．其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數的定義域，與x的值相對應的y叫作函數值，函數值的集合：｛y｜y＝f〔x〕，x∈A｝叫作函數的值域．注意：〔1〕從函數的定義可以看出：函數由定義域、對應法那么、值域三局部組成，它們稱為函數定義的三要素．其中，y＝f〔x〕的意義是：對任一x∈A，按照對應法那么f有唯一y與之對應．〔2〕在函數定義的三個要素中，核心是定義域和對應法那么，因此，只有當函數的對應關系和定義域一樣時，我們才認為這兩個函數一樣．思考：函數f〔x〕＝與g〔x〕＝是同一函數嗎三、解釋應用［例題］1.指出以下函數的定義域、值域、對應法那么各是什么如何用集合與對應的觀點描述它們〔1〕y＝1，〔x∈R〕．〔2〕y＝ax＋b，〔a≠0〕．〔3〕y＝ax2＋bx＋c，〔a＞0〕．〔4〕y＝kx，〔k≠0〕．解：〔3〕定義域：｛x｜x∈R｝，值域：｛y｜y≥｝對應法那么f：自變量→a〔自變量〕2＋b·〔自變量〕＋c，即：f：x→ax2＋bx＋c〔1〕，〔2〕，〔4〕略．2.：函數f〔x〕＝〔1〕求函數的定義域．〔2〕求f〔－3〕，f〔〕的值．〔3〕當a＞0時，求f〔a〕，f〔a－1〕的值．目的：深化對函數概念的理解．3.求以下函數的值域．〔1〕f〔x〕＝2x．〔2〕f〔x〕＝1－x＋x2，〔x∈R〕．〔3〕y＝3－x，〔x∈N〕．解：〔1〕｛y｜y≠0｝．〔2〕｛y｜y≥｝．〔3〕｛3，2，1，0，－1，－2，…｝．4.〔1〕：f〔x〕＝x2，求f〔x－1〕．〔2〕：f〔x－1〕＝x2，求f〔x〕．目的：深化對函數符號的理解．解：〔1〕f〔x－1〕＝〔x－1〕2．〔2〕f〔x－1〕＝x2＝［〔x－1〕＋1］2＝〔x－1〕2＋2〔x－1〕＋1．∴f〔x〕＝x2＋2x＋1．［練習］1.求以下函數的定義域．2.二次函數f〔x〕＝x2＋a的值域是［－2，＋∞〕，求a的值．3.函數f〔x〕＝［x］，［x］表示不超過x的最大整數，求：〔1〕f〔3.5〕，〔2〕f〔－3.5〕．四、拓展延伸在函數定義中，將數集推廣到任意集合時，就可以得到映射的概念．集合A＝｛a1，a2｝到集合B＝｛b1，b2｝的映射有哪幾個解：共有4個不同的映射．思考：集合A＝｛a1，a2，a3｝到B＝｛b1，b2，b3｝的映射有多少個點評這篇案例設計完整，條理清楚．案例從三個方面〔實際是函數的三種表示方法，為后續內容埋下伏筆〕各舉一個具體事例，從中概括出函數的本質特征，得出函數概念，表達了由具體到抽象的認知規律，有利于學生理解函數概念，更好地表達了數學從實踐中來．例題、練習由淺入深，完整，全面．映射的概念作為函數概念的推廣，處理方式有新意．“拓展延伸〞的設計為學生加深對概念的理解，提供了素材．在“問題情景〞中的三個事例中，第一個例子中的“對應關系〞比較明顯，后兩個例子那么不太明顯．如果能在教學設計中加以細致比照說明，效果會更好．7函數的表示方法教材分析函數的表示方法是對函數概念的深化與延伸．解析法、圖像法和列表法從三個不同的角度刻畫了自變量與函數值的對應關系．這三種表示方法既可以獨立的表示函數，又可以相互轉化；既各有側重和優勢，又各有劣勢和缺乏；既相互補充，又使函數隨自變量的變化而變化的規律直觀和具體．這節內容，是初中有關內容的深化、延伸與提高．教材在復習初中三種表示方法定義的根基上，分三個層次對三種表示方法進展了比較．第一個層次：回憶與比較；第二個層次：選擇與比較；第三個層次：轉化與比較．教學重點：畫簡單函數的圖像；教學難點：分段函數的解析式求法及其圖像的作法．教學目標1.在實際情景中，會根據不同的需要選擇恰當的方法〔如圖像法，列表法，解析法〕表示函數．2.通過具體實例，了解簡單的分段函數，并解簡單應用．3.能根據簡單的實際問題，建設函數關系式，畫出它們的圖像，進一步理解、體會函數的意義．任務分析學生在初中已經對這節內容有了初步的認識．這節的教學任務是在學生原認知水平的根基上，用對應的觀點認識函數，會根據不同需要選擇恰當的方法表示函數，明確三種表示方法各有優劣，在一定條件下可以相互轉化．為突出根據簡單的實際問題建設函數關系式，畫出它們的圖像這個重點，除學習教材中的實際問題外，又增加了練習．為突破分段函數這個難點增加了高斯函數作為練習．教學設計一、問題情景1.復習引入〔1〕復習初中三種函數的表示方法．〔2〕學生答復函數三種表示方法的定義．2.方法探究〔1〕復習與比較例：某種筆記本的單價是5元，買x〔x∈｛1，2，3，4，5｝〕個筆記本需要y元．試用三種表示方法表示函數y＝f〔x〕．〔2〕引導學生分析討論①三種表示方法的各自的特點是什么所有的函數都能用解析法表示嗎②函數圖像上的點滿足什么條件滿足函數關系式y＝f〔x〕的點〔x，y〕在什么地方二、建設模型1.教師明晰函數圖像既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等．采用解析法的條件：變量間的對應法那么明確；采用圖像法的條件：函數的變化規律清晰；采用列表法的條件：函數值的對應清楚．函數圖像上的點滿足函數關系式y＝f〔x〕，滿足函數關系式y＝f〔x〕的點〔x，y〕在函數圖像上，故函數圖像即為點集p＝｛〔x，y〕｜y＝f〔x〕，x∈A｝．2.比較與分析例：下表是某校高一〔1〕班三名同學在高一學年度幾次數學測試的成績及班級平均分：表7-1

第一次第二次第三次第四次第五次第六次王偉988791928895張城907688758680趙磊686573727582班級平均分88.278.385.480.375.782.6請你對這三名同學在高一學年度的數學學習情況進展分析．學生分析討論：本例是用何種方法表示函數的要分析“成績〞與“測試次數〞之間的變化規律，用何種方法表示函數注意：在這里選擇何種表示方法，要根據問題的具體情況和三種表示方法的長處來確定．3.教師進一步明晰將“成績〞與“測試次數〞之間的函數關系用函數圖像表示出來，就能比較直觀地看到成績的變化情況．4.轉化與比較例：畫出函數y＝｜x｜的圖像．5.教師歸納、整理初中作函數圖像的基本方法是列表、描點和連線，但這個方法比較煩瑣．我們可以把初中學過的一次函數、反比例函數、二次函數的圖像作為基本圖像，把要作的函數的圖像轉化為基本函數的圖像來解決．y＝｜x｜，假設不含“｜｜〞號，那么是我們初中學過的y＝x，現在含絕對值號，故去絕對值號，得分段函數而分段函數的圖像只要分段作出即可．三、解釋應用［練習一］1.作出y＝｜x－1｜的圖像，與函數y＝｜x｜的圖像比較，并說出你發現了什么．2.作出y＝x2＋2｜x｜＋1的圖像．3.假設x2＋2｜x｜＋1＝m，當m為何值時，關于x的方程有四個解三個解兩個解無解［例題］某市空調公共汽車的票價按以下規那么制定：〔1〕乘坐汽車不超過5km，票價2元．〔2〕超過5km，每增加5km，票價增加1元．〔缺乏5km的按5km計算〕兩個相鄰的公共汽車站間相距約為1km，如果沿途〔包括起點站和終點站〕有21個汽車站，請根據題意寫出票價與路程之間的函數解析式，并畫出函數的圖像．學生分析討論：函數定義域是什么值域是什么圖像如何作教師引導學生寫出如下解答過程．解：設票價為y元，路程為xkm．如果某空調汽車運行路線中設21個汽車站，那么汽車行駛的路程約為20km，故自變量x的取值范圍是x∈〔0，20］，且x∈N，函數y的取值范圍是y∈｛2，3，4，5｝．由空調汽車票價的規定，可得到以下函數解析式：根據這個函數解析式，可畫出函數的圖像函數圖像共有20個點構成．像例3、例4這樣的函數稱為分段函數，分段函數的圖像應分段作．［練習二］1.以以下列圖都是函數的圖像嗎為什么〔D〕目的：進一步深化對函數概念和函數圖像的理解．2.某人從甲鎮去乙村，一開場沿公路乘車，后來沿小路步行，圖中橫軸表示運動的時間，縱軸表示此人與乙村的距離，那么較符合該人走法的圖像是〔〕．〔D〕3.小明從甲地去乙地，先以每小時5km的速度行進1h，然后休息10min，最后以每小時4km的速度行進了30min到達乙地．〔1〕試寫出速度v〔km／h〕關于出發時間t〔h〕的函數關系式，并畫出圖像．〔2〕試寫出小明離開甲地s〔km〕關于出發時間t〔h〕的函數關系，并畫出圖像．四、拓展延伸1.設x是任意的一個函數，y是不超過x的最大整數，記作：y＝［x］，問：x與y之間是否存在函數關系如果存在，寫出這個函數的解析式，并畫出這個函數的圖像．答案：存在函數關系，是著名的高斯函數．現只寫出x∈［－1，1］的函數關系：y＝圖像略．2.某家庭2004年1月份、2月份和3月份煤氣用量和支付費用如下表所示：表7-2月份用氣量煤氣費1月份4m4元2月份25m14元3月份35m19元該市煤氣的收費方法是：煤氣費＝基本費＋超額費＋保險費．假設每月量不超過最低限度Am3，那么只付基本費3元和每月每戶的定額保險C元；假設用氣量超過Am3，超過局部每立方米付B元，又知保險費C不超過5元．根據上面的表格，求A，B，C．分析：可設每月用氣量xm3，支付費用y元，建設函數解析式解之．解：設每月用氣xm3，支付費用y元，那么由0＜C≤5，得3＋C≤8．由第2和3月份的費用都大于8，得兩式相減，得B＝0.5，∴A＝2C＋3．再分析1月份的用氣量是否超過最低限度．不妨令A＜4，將x＝4代入3＋B〔x－A〕＋C，得3＋0.5［4－〔3＋2C〕］＋C＝4，由此推出3.5＝4，矛盾，∴A≥4，1月份付款方式為3＋C．∴3＋C＝4．∴C＝1．∴A＝5．∴A＝5，B＝0.5，C＝1．點評這篇案例分三個層次對三種表示方法進展了比較：第一層次：用一個簡單的例子對函數的三種表示方法進展了復習和比較；第二層次：對函數的三種表示方法進展了比較，選擇了適當的方法表示函數；第三層次：三種表示函數的方法的相互轉化．三個層次，層層深入，并對三種表示方法的優、劣進了比較，重點突出．拓展延伸通過高斯函數，加深了學生對抽象函數、分段函數的認識．在注重三種表示方法的同時，加強了學生應用意識的培養．8函數的單調性教材分析函數的單調性是函數的重要特性之一，它把自變量的變化方向和函數值的變化方向定性地聯系在一起．在初中學習函數時，借助圖像的直觀性研究了一些函數的增減性．這節內容是初中有關內容的深化、延伸和提高．這節通過對具體函數圖像的歸納和抽象，概括出函數在某個區間上是增函數或減函數的準確含義，明確指出函數的增減性是相對于某個區間來說的．教材中判斷函數的增減性，既有從圖像上進展觀察的直觀方法，又有根據其定義進展邏輯推理的嚴格方法，最后將兩種方法統一起來，形成根據觀察圖像得出猜想結論，進而用推理證明猜想的體系．這節內容的重點是理解函數單調性的概念以及利用函數的單調性的概念證明函數的單調性，難點是理解函數單調性的概念．教學目標1.通過對增函數、減函數概念的歸納、抽象和概括，體驗數學概念的產生和形成過程，培養學生從特殊到一般的抽象概括能力．2.掌握增函數、減函數等函數單調性的概念，理解函數增減性的幾何意義，并能初步運用所學知識判斷或證明一些簡單函數的單調性，培養學生對數學的理解能力和邏輯推理能力．3.通過對函數單調性的學習，初步體會知識發生、開展、運用的過程，培養學生形成科學的思維．任務分析這節內容學生在初中已有了較為粗略的認識，即主要根據觀察圖像得出結論．這節函數增減性的定義，是運用數學符號將自然語言的描述提升到形式化的定義，學生承受起來可能比較困難．在引入定義時，要始終結合具體函數的圖像來進展，以增強直觀性，采用由具體到抽象，再由抽象到具體的思維方法，便于學生理解．對于定義，要注意對區間上所取兩點x1，x2的“任意性〞的理解，多給學生操作與思考的時間和空間．教學設計一、問題情境1.如圖為某市一天內的氣溫變化圖：〔1〕觀察這個氣溫變化圖，說出氣溫在這一天內的變化情況．〔2〕怎樣用數學語言刻畫在這一天內“隨著時間的增大，氣溫逐漸升高或下降〞這一特征2.分別作出以下函數的圖像：〔1〕y＝2x．〔2〕y＝－x＋2．〔3〕y＝x2．根據三個函數圖像，分別指出當x∈〔－∞，＋∞〕時，圖像的變化趨勢二、建設模型1.首先引導學生對問題2進展探討———觀察分析觀察函數y＝2x，y＝－x＋2，y＝x2圖像，可以發現：y＝2x在〔－∞，＋∞〕上、y＝x2在〔０，＋∞〕上的圖像由左向右都是上升的；y＝－x＋2在〔－∞，＋∞〕上、y＝x2在〔－∞，０〕上的圖像由左向右都是下降的．函數圖像的“上升〞或“下降〞反映了函數的一個基本性質———單調性．那么，如何描述函數圖像“上升〞或“下降〞這個圖像特征呢以函數y＝x2，x∈〔－∞，０〕為例，圖像由左向右下降，意味著“隨著x的增大，相應的函數值y＝f〔x〕反而減小〞，如何量化呢取自變量的兩個不同的值，如x1＝－5，x2＝－3，這時有x1＜x2，f〔x1〕＞f〔x2〕，但是這種量化并不準確．因此，x1，x2應具有“任意性〞．所以，在區間〔－∞，0〕上，任取兩個x1，x2得到f〔x1〕＝，f〔x2〕＝．當x1＜x2時，都有f〔x1〕＞f〔x2〕．這時，我們就說f〔x〕＝x2在區間〔－∞，0〕上是減函數．注意：在這里，要提示學生如何由直觀圖像的變化規律，轉化為數學語言，即自變量ｘ變化時對函數值y的影響．必要時，對x，y可舉出具體數值，進展引導、歸納和總結．這里的“都有〞是對應于“任意〞的．2.在學生討論歸納函數單調性定義的根基上，教師明晰———抽象概括設函數f〔x〕的定義域為I：如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1＜x2時，都有f〔x1〕＜f〔x2〕，那么我們就說函數f〔x〕在區間Ｄ上是增函數［如圖8-2〔1〕］．如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1＜x2時，都有f〔x1〕＞f〔x2〕，那么我們就說函數f〔x〕在區間Ｄ上是減函數［如圖8-2〔2〕］．如果函數y＝f〔x〕在區間D上是增函數或減函數，那么我們就說函數y＝f〔x〕在這一區間具有〔嚴格的〕單調性，區間D叫作y＝f〔x〕的單調區間．3.提出問題，組織學生討論〔1〕定義在R上的函數f〔x〕，滿足f〔2〕＞f〔1〕，能否判斷函數f〔x〕在R是增函數〔2〕定義在R上函數f〔x〕在區間〔－∞，0］上是增函數，在區間〔0，＋∞〕上也是增函數，判斷函數f〔s〕在R上是否為增函數．〔3〕觀察問題情境1中氣溫變化圖像，根據圖像說出函數的單調區間，以及在每一單調區間上，它是增函數還是減函數．強調：定義中x1，x2是區間D上的任意兩個自變量；函數的單調性是相對于某一區間而言的．三、解釋應用［例題］1.證明函數f〔x〕＝2x＋1，在〔－∞，＋∞〕是增函數．注：要標準解題格式．2.證明函數f〔x〕＝，在區間〔－∞，0〕和〔0，＋∞〕上都是減函數．思考：能否說，函數f〔x〕＝在定義域〔－∞，0〕∪〔0，＋∞〕上是減函數3.設函數y＝f〔x〕在區間D上保號〔恒正或恒負〕，且f〔x〕在區間D上為增函數，求證：f〔x〕＝在區間D上為減函數．證明：設x1，x2∈Ｄ，且x1＜x2，∵f〔x〕在區間D上保號，∴f〔x1〕f〔x2〕＞0．又f〔x〕在區間D上為增函數，∴f〔x1〕－f〔x2〕＜0，從而g〔x1〕－g〔x2〕＞0，∴g〔x〕在D上為減函數．［練習］1.證明：〔1〕函數f〔x〕＝在〔0，＋∞〕上是增函數．〔2〕函數f〔x〕＝x2－x在〔－∞，］上是減函數．2.判斷函數的單調性，并寫出相應的單調區間．3.如果函數y＝f〔x〕是R上的增函數，判斷g〔x〕＝kf〔x〕，〔k≠0〕在R上的單調性．四、拓展延伸1.根據圖像，簡要說明近150年來人類消耗能源的構造變化情況，并對未來100年能源構造的變化趨勢作出預測．2.判斷二次函數f〔x〕＝ax2＋bx＋c，〔a≠0〕的單調性，并用定義加以證明．3.如果自變量的改變量Δx＝x2－x1＜0，函數值的改變量Δy＝f〔x2〕－f〔x1〕＞0，那么函數f〔x〕在區間D上是增函數還是減函數4.函數值的改變量與自變量的改變量的比叫作函數f〔x〕在x1，x2之間的平均變化率．〔1〕根據函數的平均變化率判斷y＝f〔x〕在區間D上是增函數還是減函數．〔2〕比值的大小與函數值增長的快慢有什么關系點評這篇案例設計完整，思路清晰．案例首先通過實例闡述了函數單調性產生的背景，歸納、抽象概括出了增函數、減函數的定義，充分表達了數學教學的本質是數學思維過程的教學，符合新課程標準的精神．例題與練習由淺入深，完整，全面．“拓展延伸〞的設計有新意，有深度，為學生數學思維能力、創造能力的培養提供了平臺．這篇案例的突出特點，表達在如下幾個方面：1.強調對基本概念和基本思想的理解和掌握由于數學高度抽象的特點，注重表達基本概念的來龍去脈．在數學中要引導學生經歷從具體實例抽象出數學概念的過程，在初步運用中逐步理解概念的本質．2.注重聯系，提高對數學整體的認識數學的開展既有內在的動力，也有外在的動力．在高中數學的教學中，要注重數學的不同分支和不同內容之間的聯系，數學與日常生活的聯系，數學與其他學科的聯系．例如，通過研討本節課“拓展延伸〞中的第1個問題，可以大大提高了學生學習的積極性和主動性．3.注重數學知識與實際的聯系，開展學生的應用意識和能力在數學教學中，應注重開展學生的應用意識；通過豐富的實例引入數學知識，引導學生應用數學知識解決實際問題，經歷探索、解決問題的過程，體會數學的應用價值，幫助學生認識到：數學與我有關，與實際生活有關；數學是有用的，我要用數學，我能用數學．9函數的奇偶性教材分析函數的奇偶性是函數的重要性質，是對函數概念的深化．它把自變量取相反數時函數值間的關系定量地聯系在一起，反映在圖像上為：偶函數的圖像關于ｙ軸對稱，奇函數的圖像關于坐標原點成中心對稱．這樣，就從數、形兩個角度對函數的奇偶性進展了定量和定性的分析．教材首先通過對具體函數的圖像及函數值對應表歸納和抽象，概括出了函數奇偶性的準確定義．然后，為深化對概念的理解，舉出了奇函數、偶函數、既是奇函數又是偶函數的函數和非奇非偶函數的實例．最后，為加強前后聯系，從各個角度研究函數的性質，講清了奇偶性和單調性的聯系．這節課的重點是函數奇偶性的定義，難點是根據定義判斷函數的奇偶性．教學目標1.通過具體函數，讓學生經歷奇函數、偶函數定義的討論，體驗數學概念的建設過程，培養其抽象的概括能力．2.理解、掌握函數奇偶性的定義，奇函數和偶函數圖像的特征，并能初步應用定義判斷一些簡單函數的奇偶性．3.在經歷概念形成的過程中，培養學生歸納、抽象概括能力，體驗數學既是抽象的又是具體的．任務分析這節內容學生在初中雖沒學過，但已經學習過具有奇偶性的具體的函數：正比例函數y＝kx，反比例函數，〔k≠0〕，二次函數y＝ax2，〔a≠0〕，故可在此根基上，引入奇、偶函數的概念，以便于學生理解．在引入概念時始終結合具體函數的圖像，以增加直觀性，這樣更符合學生的認知規律，同時為闡述奇、偶函數的幾何特征埋下了伏筆．對于概念可從代數特征與幾何特征兩個角度去分析，讓學生理解：奇函數、偶函數的定義域是關于原點對稱的非空數集；對于在有定義的奇函數y＝f〔x〕，一定有f〔0〕＝0；既是奇函數，又是偶函數的函數有f〔x〕＝0，x∈R．在此根基上，讓學生了解：奇函數、偶函數的矛盾概念———非奇非偶函數．關于單調性與奇偶性關系，引導學生拓展延伸，可以取得理想效果．教學設計一、問題情景1.觀察如下兩圖，思考并討論以下問題：〔1〕這兩個函數圖像有什么共同特征〔2〕相應的兩個函數值對應表是如何表達這些特征的可以看到兩個函數的圖像都關于y軸對稱．從函數值對應表可以看到，當自變量x取一對相反數時，相應的兩個函數值一樣．對于函數f〔x〕＝x2，有f〔－3〕＝9＝f〔3〕，f〔－2〕＝4＝f〔2〕，f〔－1〕＝1＝f〔1〕．事實上，對于R內任意的一個x，都有f〔－x〕＝〔－x〕2＝x2＝f〔x〕．此時，稱函數y＝x2為偶函數．2.觀察函數f〔x〕＝x和f〔x〕＝的圖像，并完成下面的兩個函數值對應表，然后說出這兩個函數有什么共同特征．可以看到兩個函數的圖像都關于原點對稱．函數圖像的這個特征，反映在解析式上就是：當自變量ｘ取一對相反數時，相應的函數值f〔x〕也是一對相反數，即對任一x∈R都有f〔－x〕＝－f〔x〕．此時，稱函數y＝f〔x〕為奇函數．二、建設模型由上面的分析討論引導學生建設奇函數、偶函數的定義1.奇、偶函數的定義如果對于函數f〔x〕的定義域內任意一個x，都有f〔－x〕＝－f〔x〕，那么函數f〔x〕就叫作奇函數．如果對于函數f〔x〕的定義域內任意一個x，都有f〔－x〕＝f〔x〕，那么函數f〔x〕就叫作偶函數．2.提出問題，組織學生討論〔1〕如果定義在R上的函數f〔x〕滿足f〔－2〕＝f〔2〕，那么f〔x〕是偶函數嗎〔f〔x〕不一定是偶函數〕〔2〕奇、偶函數的圖像有什么特征〔奇、偶函數的圖像分別關于原點、y軸對稱〕〔3〕奇、偶函數的定義域有什么特征〔奇、偶函數的定義域關于原點對稱〕三、解釋應用［例題］1.判斷以下函數的奇偶性．注：①標準解題格式；②對于〔5〕要注意定義域x∈〔－1，1］．2.：定義在R上的函數f〔x〕是奇函數，當x＞0時，f〔x〕＝x〔1＋x〕，求f〔x〕的表達式．解：〔1〕任取x＜0，那么－x＞0，∴f〔－x〕＝－x〔1－x〕，而f〔x〕是奇函數，∴f〔－x〕＝－f〔x〕．∴f〔x〕＝x〔1－x〕．〔2〕當x＝0時，f〔－0〕＝－f〔0〕，∴f〔0〕＝－f〔0〕，故f〔0〕＝0．3.：函數f〔x〕是偶函數，且在〔－∞，0〕上是減函數，判斷f〔x〕在〔0，＋∞〕上是增函數，還是減函數，并證明你的結論．解：先結合圖像特征：偶函數的圖像關于y軸對稱，猜想f〔x〕在〔0，＋∞〕上是增函數，證明如下：任取x1＞x2＞0，那么－x1＜－x2＜0．∵f〔x〕在〔－∞，0〕上是減函數，∴f〔－x1〕＞f〔－x2〕．又f〔x〕是偶函數，∴f〔x1〕＞f〔x2〕．∴f〔x〕在〔0，＋∞〕上是增函數．思考：奇函數或偶函數在關于原點對稱的兩個區間上的單調性有何關系［練習］1.：函數f〔x〕是奇函數，在［a，b］上是增函數〔b＞a＞0〕，問f〔x〕在［－b，－a］上的單調性如何．2.f〔x〕＝－x3｜x｜的大致圖像可能是〔〕3.函數f〔x〕＝ax2＋bx＋c，〔a，b，c∈R〕，當a，b，c滿足什么條件時，〔1〕函數f〔x〕是偶函數．〔2〕函數f〔x〕是奇函數．4.設f〔x〕，g〔x〕分別是R上的奇函數和偶函數，并且f〔x〕＋g〔x〕＝x〔x＋1〕，求f〔x〕，g〔x〕的解析式．四、拓展延伸1.有既是奇函數，又是偶函數的函數嗎假設有，有多少個2.設f〔x〕，g〔x〕分別是R上的奇函數，偶函數，試研究：〔1〕F〔x〕＝f〔x〕·g〔x〕的奇偶性．〔2〕G〔x〕＝｜f〔x〕｜＋g〔x〕的奇偶性．3.a∈R，f〔x〕＝a－，試確定a的值，使f〔x〕是奇函數．4.一個定義在Ｒ上的函數，是否都可以表示為一個奇函數與一個偶函數的和的形式點評這篇案例設計由淺入深，由具體的函數圖像及對應值表，抽象概括出了奇、偶函數的定義，符合學生的認知規律，有利于學生理解和掌握．應用深化的設計層層遞進，深化了學生對奇、偶函數概念的理解和應用．拓展延伸為學生思維能力、創新能力的培養提供了平臺．10二次函數教材分析二次函數是重要的基本函數之一，由于它存在最值，因此，其單調性在實際問題中有廣泛的應用，并且它與前面學過的二次方程有密切聯系，又是后面學習解一元二次不等式的根基．二次函數在初中學生已學過，主要是定義和解析式，這里，在此根基上，接著學習二次函數的性質與圖像，進而使學生對二次函數有一個比較完整的認識．本節先研究特殊的二次函數y＝ax2，〔a≠0〕的圖像與a值的關系，這可通過a在0的附近取值畫圖觀察得到．然后，通過一個實例，如y＝x2＋4x＋6，研討二次函數的性質與圖像．最后，總結出一般性結論．這節內容的重點是二次函數的性質，即頂點坐標、對稱軸方程、二次函數的單調性及其圖像，難點是用配方法把y＝ax2＋bx＋c的形式轉化為y＝a〔x－h〕2＋k的形式．教學目標1.通過一個例子研究二次函數的圖像和性質，得到一般性結論，培養學生歸納、抽象能力．2.掌握二次函數的概念、表達式、圖像與性質．會用配方法解決有關問題，能熟練地求二次函數的最值．3.能初步運用二次函數解決一些實際問題，培養學生分析問題和解決問題的能力．任務分析學習這節內容時要先復習一下學生初中學過的二次函數的有關問題．為了得到y＝ax2，〔a≠0〕的圖像與a的關系以及二次函數y＝ax2＋bx＋c的性質，這里遵循由特例到一般的原那么，充分利用圖像的直觀性，以便學生承受．在這一過程中，應講明配方法的操作過程．教學設計一、復習引申1.什么是二次函數2.在同一坐標系中作出以下函數的圖像．〔1〕y＝－3x2．〔2〕y＝－2x2．〔3〕y＝－x2．〔4〕y＝－0.5x2．〔5〕ｙ＝0.5x2．〔6〕y＝x2．〔7〕y＝2x2．〔8〕y＝3x2．3.學生討論：函數y＝ax2中系數a的取值與它的圖像形狀有何關系4.教師明晰：在a從－3逐漸變化到＋3的過程中，拋物線開口向下并逐漸變大，當a＝0時，y＝0，拋物線變為x軸，然后拋物線開口向上，并逐漸變?。栴}情境二次函數f〔x〕＝x2＋4x＋6．〔1〕求它與x軸的交點坐標．〔2〕問：它有沒有最值假設有最大〔小〕值，最大〔小〕值是多少試求出此時對應的自變量ｘ的值．〔3〕畫出它的圖像．〔4〕它的圖像有沒有對稱軸如果有，位置如何〔5〕確定函數的單調區間．1.先讓學生獨立解答問題1，然后師生共同確定答案〔1〕令y＝0，即x2＋4x＋6＝０，解得x1＝－6，x2＝－2．∴與ｘ軸交于兩點〔－6，0〕，〔－2，0〕．〔2〕將原式配方，得f〔x〕＝x2＋4x＋6＝〔x2＋8x＋12〕＝〔x2＋8x＋16－16＋12〕＝〔x＋4〕2－2．∵對任意x∈R，都有〔x＋4〕2≥0，∴f〔x〕≥－2，當且僅當x＝－4時，取“＝〞號．∴函數有最小值是－2，記作ymin＝－2，此時x＝－4．〔3〕以x＝－4為中間值，取x的一些值列表如下：表10-1ｘ…－7－6－5－4－3－2－1…ｙ…0－－2－0…描點，畫圖．〔4〕由上表及圖像推測：二次函數f〔x〕的圖像存在對稱軸，并且對稱軸過點〔－4，－2〕，與y軸平行．〔5〕觀察圖像知：二次函數f〔x〕在〔－∞，－4］上是減函數，在〔－4，＋∞〕上是增函數．2.相關問題〔1〕對稱軸與圖像〔拋物線〕的交點叫拋物線的頂點，函數f〔x〕＝x2＋4x＋6的頂點坐標是〔－4，－2〕．〔2〕如果將過點〔x1，0〕平行于ｙ軸的直線記作x＝x1，那么函數f〔x〕＝x2＋4x＋6的對稱軸為x＝－4．〔3〕把f〔x〕＝x2＋4x＋6轉化為f〔x〕＝〔x＋4〕2－2，采用的是“配方法〞．〔4〕思考：怎樣證明函數f〔x〕＝x2＋4x＋6的圖像關于直線x＝－4對稱［提示：證明f〔－4＋h〕＝f〔－4－h〕］〔5〕類似地，再對二次函數f〔x〕＝－x2－4x＋3研討上面四個方面的問題．三、建設模型對任何二次函數y＝f〔x〕＝ax2＋bx＋c，〔a≠0〕都可以通過配方法化為y＝a〔x＋〕2＋的形式，并且有如下性質：1.二次函數f〔x〕＝ax2＋bx＋c，〔a≠0〕的圖像是一條拋物線，對稱軸方程為x＝－，頂點坐標是〔－，〕．2.〔1〕當a＞0時，拋物線開口向上，函數在〔－∞，－］上遞減，在［－，＋∞〕上遞增，當x＝－時，［f〔x〕］min＝．〔2〕當a＜0時，拋物線開口向下，函數在〔－∞，－］上遞增，在［－，＋∞〕上遞減，當x＝－時，［f〔x〕］max＝．思考：〔1〕二次函數的圖像一定與x軸或y軸相交嗎〔2〕函數y＝〔x－1〕2＋2，x∈［2，3］的最小值是2嗎四、解釋應用［例題］1.求函數y＝3x2＋2x＋1的最小值和它的圖像的對稱軸，并指出它的單調性．注：可利用上面的性質直接寫出答案．2.某商品在最近一個月內價格f〔t〕與時間t的函數關系式是f〔t〕＝＋22，〔0≤t≤30，t∈N〕，售量g〔t〕與時間t的函數關系是g〔t〕＝－，〔0≤t≤30，t∈N〕．求這種商品的日銷售額的最大值．解：設該商品的日銷售額為S，那么∵t∈N，∴當t＝10或t＝11時，Smax＝808.5．答：這種商品日銷額的最大值是808.5．注：此題是應用題，自變量t∈N，不能使．［練習］1.函數f〔x〕＝x2－2x－3，不計算函數值，試比較f〔－2〕和f〔4〕，f〔－3〕和f〔3〕的大小．2.二次函數y＝f〔x〕滿足f〔1＋x〕＝f〔1－x〕，且方程f〔x〕＝0有兩個實根x1，x2，求x1＋x2．3.函數f〔x〕＝2x2＋〔a－1〕x＋3在［2，＋∞〕上遞增，求a的取值范圍．4.拋物線y＝ax2＋bx與直線y＝ax＋b，〔ab≠0〕的圖像〔如以以下列圖〕只可能是〔〕．四、拓展延伸1.如果二次函數的圖像〔拋物線〕的頂點坐標為〔h，k〕，那么它的解析表達式如何如果二次函數的圖像〔拋物線〕與x軸的交點坐標為〔x1，0〕，〔x2，0〕，它的解析表達式又如何2.用函數單調性的定義研究f〔x〕＝ax2＋bx＋c，〔a＜0〕的單調性．3.證明函數f〔x〕＝ax2＋bx＋c，〔a≠0〕的圖像關于直線x＝－對稱．點評這篇案例講述了兩個方面的知識點，一是特殊的二次函數y＝ax2，〔a≠0〕的圖像隨ａ值變化的規律性，二是二次函數的性質與圖像．設計恰當，重點突出，即重點講解二次函數的性質與圖像．遵循由特殊到一般、由具體到抽象的原那么，使結論便于被學生理解．例題與練習的選配難易適中，代表廣泛，并有利于穩固本課重點知識．拓展延伸中提出的三個問題都是二次函數的重要特征，實用性強，并且所得結論對解決有關問題能起到事半功倍的效果．11指數函數教材分析指數函數是基本初等函數之一，在數學中占有重要地位，在實際中有著十分廣泛的應用，如細胞分裂、考古中所用的14C教材首先通過實例引入什么是指數函數．然后給出三個具體例子y＝2x，y＝10x，y＝〔〕x，用描點法畫其圖像，并借助圖像，觀察得出指數函數的定義域、值域、圖像過定點〔1，0〕及單調性．最后配備恰當的習題及練習．在知識的形成過程中，表達圖像觀察、歸納猜想的思想．這節內容的重點是指數函數的圖像與性質，難點是應用指數函數的性質解決相關問題．教學目標1.了解指數函數模型的實際背景．2.理解并掌握指數函數的定義、圖像及性質．3.通過對指數函數的概念、性質的歸納、抽象和概括，體驗數學知識的產生和形成的過程，培養學生的抽象概括能力．4.在解決簡單實際問題的過程中，體會指數函數是一類重要的數學模型，培養學生的應用意識．任務分析學生在學習本節內容時，已學過了一些基本函數，如二次函數，并且學過有理指數冪及其運算，這均為學生學習這節內容奠定了根基．由應用問題建設指