概率論與數理統計主講教師陳爭第7章假設檢驗§7.1假設檢驗的基本概念§7.2單個正態總體的假設檢驗§7.3兩個正態總體的假設檢驗第7章假設檢驗§7.1假設檢驗的基本概念、假設檢驗問題

假設檢驗是統計推斷的基本問題之一.它根據歷史

資料和實際經驗，首先對總體的某種統計特征作出推斷

或假設，然后利用樣本值所提出的信息，運用統計分析

方法來檢驗假設是否正確，最后作出接受或拒絕原假設

的決定.假設檢驗是對總體的概率分布及參數而言的.如果

是檢驗總體是否具有某種已知類型的分布，則稱這種檢

驗為分布的假設檢驗.如果是檢驗總體某參數是否具有某種特征，則稱這種檢驗為參數的假設檢驗.§7.1假設檢驗的基本概念例1

拋擲一枚硬幣100次，“正面”出現了60次，問這枚硬幣是否均勻？這是一個總體的檢驗問題.若用X

描述拋擲一枚“X=1”及“X=0”分別表示“正面朝上”和“正面朝下”，上述問題就是要檢驗X是否服從的0－1分布.是概率分布的檢驗問題.

硬幣的試驗，

例2

從2005年的新生兒(女)中隨機地抽取20個，

測得其平均體重為3160克，樣本標準差為300克.而根據過去統計資料，新生兒(女)平均體重為3140克.問現在與過去新生兒(女)體重有無顯著差異(假定新生兒體重服從正態分布）？

這是一個總體的檢驗問題，是關于隨機變量的參數的判斷，叫做一個總體的參數檢驗問題.若把所有2005年新生兒(女)體重視為一個總體，用X表示，問題就是判斷E(X)=3140是否成立.

例3

在10個相同的地塊上對甲、乙兩種玉米進行品比試驗，得如下資料(單位：公斤)：

甲951，966，1008，1082，983乙730，864，742，774，990假定農作物產量服從正態分布，問這兩種玉米產量有無顯著差異？這是兩個總體的參數檢驗問題.從直觀上看，兩者差異顯著.但是一方面由于抽樣的隨機性，我們不能以個別值進行比較就得出結論；另一方面直觀的標準可能因人而異.因此，這實際上需要比較兩個正態總體的期望值是否相等？關于總體的假設通常是提出兩個相互對立的假設，把需要檢驗是否為真的假設稱為原假設或零假

這里所說的“假設”只是一個設想，至于它是否成立，在建立假設時并不知道，需要進行考察.通過樣本對一個假設作出“是”或“否”的判斷程序，稱為檢驗這個假設.

具體的判斷規則稱為該假設的一個檢驗.檢驗的結果若是肯定該命題，則稱接受這個假設，否則稱否定或拒絕這個假設.

表示.表示，而把與之對立的另一個假設稱為備設，用選假設，用二、假設檢驗的基本思想與方法

1.小概率原理小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發生的.小概率事件是指概率很小的事件.

倘若某事件A發生的概率α=0.001，則可認為大體在1000次試驗中A才出現一次.因此，概率很小的事件在一次試驗中實際上不大可能出現，這個原理稱為小概率原理.

例如“飛機失事”、“優秀生高考落榜”、“從廢品率極低的產品中抽到一件廢品”都被視為小概率事件.小概率原理是人們在長期實踐中總結出來的.2.小概率原理是假設檢驗的理論依據定這個“假設”是真的，然后根據樣本提供的信息為了檢驗一個“假設”如果抽得的樣本使小概率事件發生了，我不真，從而拒絕原假設；如果抽得樣本沒有從而接受來判斷.們認為這是一種不合理的現象，有理由懷疑原假設導致小概率事件發生，則沒有足夠理由否定原假設，是否為真，我們先假3.顯著性水平

至于什么算“概率很小”，這要根據具體情況而定.在檢驗之前都事先指定.

比如概率為5％，1％等.

一般記作α，即α是一個事先指定的正數，稱為顯著性水平或檢驗水平.三、假設檢驗的形式對總體的分布或分布函數的某些參數作出“假設”稱為待檢假設(也稱為零假設)，通常記作例如

(對總體均值

)對立面稱為備擇假設，用單側檢驗.第一個式子稱為雙側檢驗，二、三兩個式子稱為的表示.

在顯著水平下，根據統計量的分布將樣本空間劃分成互不相交的兩個區域：其中一個是接受零假設的

樣本值全體組成的，稱為接受域；反之稱為拒絕域

(也稱臨界域).

雙側檢驗的拒絕域位于概率分布圖形的兩端，單側檢驗的拒絕域位于概率分布圖形的一端.四、假設檢驗的兩類錯誤

由于人們作出判斷的依據是一個樣本，也就是由

部分來推斷整體，因而假設檢驗不可能絕對準確，它也可能犯錯誤.其可能性的大小，也是以統計規律性為依據的，所可能犯的錯誤有兩類.

第一類錯誤是：原假設符合實際情況，而檢驗結果把它否定了，這稱為棄真錯誤.第二類錯誤是：原假設不符合實際情況，而檢驗結果把它肯定下來了，這稱為取偽錯誤.五、假設檢驗的一般步驟根據實際問題提出原假設構造適當的統計量，并在假設確定該統計量的分布或漸進分布.給定檢驗水平拒絕域(和接受域).由樣本的觀測值計算出統計量的數值.1234為真的條件下查表確定臨界值，從而確定和備擇假設作出判斷：若統計量的觀測值落入拒絕域，則若統計量的值落入接受域，則接受假設5拒絕假設

提出假設

根據統計調查的目的,提出原假設H0

和備選假設H1作出決策抽取樣本檢驗假設

對差異進行定量的分析，確定其性質(是隨機誤差還是系統誤差.為給出兩者界限，找一檢驗統計量T，在H0成立下其分布已知.）拒絕還是不能拒絕H0顯著性水平P(TW)=-----犯第一類錯誤的概率，W為拒絕域小結設總體為的假設檢驗，本節介紹下列幾種：已知方差未知方差

未知均值μ，已知均值μ，其中關于總體參數檢驗假設檢驗假設檢驗假設檢驗假設都是已知數.中的§7.2單個正態總體參數的假設檢驗§7.2單個正態總體的假設檢驗1.總體方差例1

根據長期經驗和資料的分析，某磚瓦廠生產磚的“抗斷強度”X服從正態分布，方差從該廠產品中隨機抽取6塊，測得抗斷強度如下:32.56，29.66，31.64，30.00，31.87，31.03檢驗這批磚的平均抗斷強度為32.50是否成立？一、單個總體均值的假設檢驗(1)雙側檢驗原假設備擇假設已知時，總體均值μ的假設檢驗一、正態總體均值的假設檢驗建立假設基本思想：如果來自正態總體解正確，即樣本即與存在著差異，若比較大的可能性小，而比較小的可能性大.

成立，則這個差異因此，可以根據的大小來判斷是否成立，這就需要分析說大于一個什么值，這是一個小概率事件.的分布來求，如果這個值找到了，比如為那么根據觀測值計算大到什么程度，或者成立時，若即小概率事件發生了，則可以認為，就不能否定

不成立；若即原假設成立.

這要根據而成立時，關鍵在于找出成立時，總體服從

得其統計量給定檢驗水平

，為了求值方便，將其標準化，的分布，當所以服從構造一個小概率事件，使得其中然后計算U

的觀察值，若可由標準正態分滿足則小概率事件發生，拒絕若小概率事件沒有發生，接受布表查到.(2)當(3)

(4)計算統計量觀察值：認為這批產品的平均抗斷強度是32.50

綜合以上分析，有以下解題步驟：成立時，拒絕域為∴拒絕即不能(1)建立假設即U—檢驗法的檢驗步驟為：

提出原假設當

給定的檢驗水平

，根據樣本觀察值計算統計量U

的值觀察值；若若1243成立時，查表確定臨界值使則否定則接受備選假設5從而得拒絕域：(2)右側檢驗原假設備選假設已知對于給定的α，查表確定使得：中含有未知參數μ，所以它不是統計量，在原假設成立時，有從而即當時，小概率事件發生，拒絕時，接受原假設當例2

已知某正態總體的方差為50，抽取容量n=25的樣本，樣本均值為56.7，問總體均值小于55是否成立？解已知n=25，(1)建立假設

(2)構造檢驗函數(3)

拒絕域為(4)計算所以，接受(3)左側檢驗原假設備擇假設類似于右側檢驗，當統計量時，拒絕原假設時，接受原假設當統計量練習1

設在正常情況下，某包裝機包裝出來的奶粉凈重.現從包裝好的奶粉中隨機隨機抽取9袋，測得其凈重(單位：g)為：504496512490520505508499511問每包奶粉凈重是否為500g？(2)當(3)(4)計算解∴接受拒絕域為成立時，(1)假設總體方差未知，可用樣本方差代替，這時統計量利用T統計量進行檢驗的方法稱為T檢驗法.2.總體方差未知時，總體均值μ的假設檢驗一般步驟為：

提出原假設當

給定α，查表確定臨界值根據樣本觀察值計算統計量T的值，若若1243成立時，使則否定則接受備擇假設(1)雙側檢驗5未知，所以用

分析：

例3從2005年的新生兒(女)中隨機抽取20個,測得其平均體重為3160克，樣本標準差為300克.而根據過去統計資料，新生兒(女)平均體重為3140克.問現在與過去新生兒(女)體重有無顯著差異(假定新生兒體重服從正態分布)?(α=0.05)已知解選統計量

代替由于給定檢驗水平α,

成立時，即具有19個自由度的t

分布.然后計算T

的觀察值，接受拒絕時，統計量服從在構造一個小概率事件，使若若(2)當(3)

(4)計算即可認為現在與過去的新生兒(女)體重沒有顯著差異.解題步驟為：成立時，∴接受(1)假設拒絕域為

(2)右側檢驗原假設備擇假設已知對于給定的μ，查表確定使中含有未知參數μ，所以它不是統計量.在原假設成立時，有從而即當時，小概率事件發生，拒絕時，接受原假設當(3)左側檢驗原假設備擇假設類似于右側檢驗，當統計量時，拒絕原假設時，接受原假設當統計量(2)構造統計量例4某部門對當前市場的雞蛋價格情況進行調查，抽查了20個集市，計算得如下數據：解(3)

已知雞蛋的售價服從正態分布，且往年的售價一直穩定在3.25元/500克左右，能否認為當前雞蛋的售價明顯高于往年？拒絕域為，(1)假設(4)由樣本計算(5)因為即雞蛋的價格較往年明顯上漲.

故拒絕

練習2

根據長期資料分析，鋼筋強度服從正態分布，今測得六爐鋼生產出鋼的強度分別為

48.549.053.549.556.052.5能否認為其強度的均值為52.0？(2)當

解成立時，即認為鋼筋強度的均值為52.0.

∴接受(1)假設拒絕域為(4)計算課外作業：總習題七2,31.總體均值μ已知時，總體方差的假設檢驗二、單個正態總體方差的檢驗假設(1)雙側檢驗一般步驟為：

提出原假設當

給定檢驗水平α，查表確定臨界值123成立時，和備擇假設使二、單個正態總體方差的假設檢驗利用樣本觀察值計算若若4的值,則接受則拒絕或5(2)右側檢驗提出原假設備擇假設

給定檢驗水平α，查表確定臨界值使計算統計量的值，時，拒絕時，接受當當(3)左側檢驗提出原假設備擇假設

給定檢驗水平α，查表確定臨界值使計算統計量的值，時，拒絕時，接受當當2.總體均值μ未知時，總體方差的假設檢驗(1)雙側檢驗一般步驟為：

提出原假設當

給定檢驗水平α，查表確定臨界值123成立時，和備擇假設使或利用樣本觀察值計算若若4的值,則接受則拒絕或5例4

某煉鐵廠的鐵水含碳量X在正常情況下服從正態分布，現對操作工藝進行了某些改進，從中抽取

5爐鐵水測得含碳量數據如下：

4.4214.0524.3574.2874.683據此是否認為新工藝煉出的鐵水含碳量的方差仍為

已知解成立時，計算得(1)假設工藝的方差是∴否定即不能認為新查表得：(4)計算拒絕域為練習3

某項試驗中測量其溫度，通常情況下，溫度方差保持在.現在某天里抽測了25次，計算得.問該天的試驗溫度方差與要求比有無顯著差異？(該溫度值服從正態分布，)成立時，∴接受解(1)假設(4)計算(2)右側檢驗原假設備擇假設已知對于給定的α，查表確定臨界值使中含有未知參數所以它不是統計量，在原假設成立時，有從而即當時，小概率事件發生，拒絕時，接受原假設當(3)左側檢驗提出原假設備擇假設

給定檢驗水平α，查表確定臨界值使計算統計量的值，時，拒絕時，接受當當例5

打包機包裝水泥，現規定每袋水泥標準重量重量為100公斤，標準差不超過2公斤，為了檢查打包機工作是否正常，抽取了9袋水泥，其假定水泥的重量服從正態分布，問該天打包機工作是否

正常？

(2)成立時∴接受解(1)假設(4)計算拒絕域為(2)構造檢驗函數∴接受綜上，該天打包機工作正常.檢驗方差即認為方差不超過成立時，有(1)假設(4)計算練習4

某種導線，要求其電阻的標準差不得超過0.005(歐姆)。今在生產的一批導線中取樣品8根，測得s＝0.007(歐姆)，設總體為正態分布，問在α=0.05下能否認為這批導線的標準差顯著地偏大？(2)構造檢驗函數∴接受解(4)計算(1)假設練習5

設某次考試的學生成績服從正態分布，從

中隨機抽取30位考生的成績，算得平均成績為66.5，標準差為15分.問：(1)是否可認為這次考試全體考生的平均成績為70分？(2)是否可認為這次考試考生的成績的方差為？解設該次考試考生的成績為ξ，則ξ服從正態分布，且均為未知參數。1.檢驗均值(1)假設成立時，∴接受查表得(4)計算拒絕域為2.檢驗方差∴接受成立時，(1)假設(4)計算拒絕域為§7.3兩個正態總體參數的假設檢驗設

的樣本，且兩組樣本相互獨立.正態總體

§7.3兩個正態總體參數的假設檢驗分別是來自和正態總體一、兩個正態總體均值的假設檢驗已知時均值的檢驗(1)雙側檢驗一般步驟為：

提出原假設1備擇假設當

給定檢驗水平α，查表確定臨界值23成立時，統計量滿足根據樣本觀察值計算統計量U

的值，若若4則否定則接受5例1

從甲、乙兩廠生產的鋼絲總體X、Y中各取50截1米長的鋼絲作拉力強度試驗，得設鋼絲的拉抗強度服從正態分布，且問甲、乙兩廠鋼絲的拉抗強度是否有顯著差別？解假設1當2成立時，統計量認為兩廠鋼絲3查N(0,1)分布表，得計算4所以拒絕強度有顯著差別.5(2)右側檢驗原假設備擇假設當統計量時，拒絕原假設時，接受原假設當統計量給定檢驗水平α，查表確定臨界值滿足(3)左側檢驗原假設備擇假設當統計量時，拒絕原假設時，接受原假設當統計量給定檢驗水平α，查表確定臨界值滿足成立時

2未知，但知道(1)雙側檢驗一般步驟為：

提出原假設1備擇假設時均值的檢驗

給定α，查表確定臨界值若

計算統計量T

的值，34滿足則拒絕則接受若5例2

一種鋼軸產品的長度服從正態分布，從兩臺同類型機床生產出來的兩批產品中，分別取出容量的樣本，測其長度得到樣本均值及樣本方差：若其長度方差，問在檢驗水平時可否認為兩種產品的長度相等。成立時，解(1)假設∴拒絕即認為兩種產品的長度有顯著差異.(4)計算(2)右側檢驗原假設備擇假設拒絕原假設接受原假設給定α，查t分布表得臨界值滿足當當時，時，(3)左側檢驗原假設備擇假設類似于右側檢驗，時，拒絕原假設時，接受原假設當當二、兩個正態總體方差的假設檢驗已知時，正態總體方差的假設檢驗(1)雙側檢驗一般步驟為：

提出原假設當12成立時，備擇假設二、兩個正態總體方差的假設檢驗其中，3滿足給定α，查表確定臨界值計算統計量F的值，4時，接受當當和時，拒絕5(2)右側檢驗提出原假設備擇假設滿足給定α，查表確定臨界值計算統計量F

的值，

時，拒絕當時，接受當(3)左側檢驗提出原假設備擇假設滿足給定α，查表確定臨界值計算統計量F

的值，

時，拒絕當時，接受當未知時，正態總體方差的假設檢驗(1)雙側檢驗一般步驟為：

提出原假設當12成立時，統計量備擇假設給定α，查表確定臨界值3滿足其中，計算統計量F的值，4時，接受當當和時，拒絕5例3

比較甲、乙兩種槍彈的速度的穩定性，在相同條件下進行速度測定，算得樣本均方差如下：

甲：

乙：

假定槍彈速度服從正態分布，問兩種槍彈速度的方差

有無顯著差異.

設甲、乙兩種槍彈的速度分別為

且它們相互獨立，假定檢驗兩者方差是否相等.解(1)

假設成立時，∴接受(4)計算查表得：(2)右側檢驗提出原假設備擇假設滿足給定α，查表確定臨界值計算統計量F

的值，

時，拒絕當時，接受當(3)左側檢驗提出原假設備擇假設滿足給定α，查表確定臨界值計算統計量F

的值，

時，拒絕當時，接受當例4

在10個相同的地塊上對甲、乙兩種玉米進行品種比較試驗，得如下資料(單位：公斤)：甲：95196610081082983乙：730864742774990

假定農作物產量服從正態分布，問這兩種玉米產量有無顯著差異？

分析：記獨立的，并且假設

即未知

關于兩個正態總體的期望值相等的假設檢驗，需

要用到兩個總體方差相等的條件.所以，需先檢驗兩總體的方差是否相等.分別表示甲、乙玉米產量，它們是假設檢驗(1)假設成立時，∴接受解(4)計算查表得:成立時，∴拒絕即認為兩種玉米的產量有顯著差異.解(1)假設(4)計算成立時，練習2

甲、乙兩廠生產同一零件，假定其日產量都服從正態分布，現分別在甲、乙兩廠作了