學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE18學必求其心得，業必貴于專精PAGE3函數的單調性（二）學習目標1。理解函數的最大（小)值的概念及其幾何意義。2.會借助單調性求最值.3。掌握求二次函數在閉區間上的最值．知識點一函數的最大(小）值思考在下圖表示的函數中，最大的函數值和最小的函數值分別是多少？1為什么不是最小值？梳理對于函數y＝f（x)，其定義域為D，如果存在x0∈D，f(x）＝M，使得對于任意的x∈D,都有f(x）≤M，那么，我們稱M是函數y＝f(x)的最大值，即當x＝x0時，f（x0）是函數y＝f（x)的最大值，記作ymax＝f(x0)．知識點二函數的最大(小）值的幾何意義思考函數y＝x2,x∈［－1,1］的圖像如圖所示：試指出函數的最大值、最小值和相應的x的值．梳理一般地,函數最大值對應圖像中的最高點，最小值對應圖像中的最低點，它們不一定只有一個．類型一借助單調性求最值例1已知函數f(x）＝eq\f(x,x2＋1)(x〉0)，求函數的最大值和最小值．反思與感悟(1）若函數y＝f(x)在區間［a，b]上遞增，則f（x)的最大值為f（b)，最小值為f(a)．（2)若函數y＝f(x)在區間［a，b］上遞減，則f(x)的最大值為f（a），最小值為f（b）．(3)若函數y＝f(x）有多個單調區間，那就先求出各區間上的最值，再從各區間的最值中決出最大（小)．函數的最大(小）值是整個值域范圍內最大（小）的．（4）如果函數定義域為開區間，則不但要考慮函數在該區間上的單調性，還要考慮端點處的函數值或者發展趨勢．跟蹤訓練1已知函數f（x）＝eq\f(2,x－1）（x∈[2,6］)，求函數的最大值和最小值．類型二求二次函數的最值例2(1）已知函數f(x)＝x2－2x－3，若x∈［0,2]，求函數f（x）的最值；(2）已知函數f（x)＝x2－2x－3，若x∈［t，t＋2］，求函數f(x)的最值；(3）已知函數f(x)＝x－2eq\r(x）－3，求函數f（x)的最值；(4）“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一．制造時一般是期望在它達到最高點時爆裂．如果煙花距地面的高度hm與時間ts之間的關系為h(t)＝－4。9t2＋14。7t＋18，那么煙花沖出后什么時候是它爆裂的最佳時刻？這時距地面的高度是多少？(精確到1m)反思與感悟（1）二次函數在指定區間上的最值與二次函數的開口、對稱軸有關,求解時要注意這兩個因素．（2)圖像直觀,便于分析、理解；配方法說理更嚴謹，一般用于解答題．跟蹤訓練2（1)已知函數f(x）＝x4－2x2－3,求函數f（x）的最值;(2）求二次函數f（x）＝x2－2ax＋2在[2，4]上的最小值;（3）如圖，某地要修建一個圓形的噴水池，水流在各個方向上以相同的拋物線路徑落下，以水池的中央為坐標原點，水平方向為x軸、豎直方向為y軸建立平面直角坐標系．那么水流噴出的高度h（單位：m)與水平距離x（單位：m)之間的函數關系式為h＝－x2＋2x＋eq\f(5，4）,x∈[0，eq\f（5,2)]．求水流噴出的高度h的最大值是多少？類型三函數最值的應用例3已知x2－x＋a〉0對任意x∈(0，＋∞）恒成立，求實數a的取值范圍．引申探究把例3中“x∈（0,＋∞)”改為“x∈（eq\f(1，2），＋∞）"，再求a的取值范圍．反思與感悟恒成立的不等式問題,任意x∈D，f（x)〉a恒成立，一般轉化為最值問題:f（x）min〉a來解決．任意x∈D，f(x)<a恒成立?f(x）max<a.跟蹤訓練3已知ax2＋x≤1對任意x∈（0，1］恒成立，求實數a的取值范圍．1．函數y＝－x＋1在區間[eq\f（1,2),2]上的最大值是（)A．－eq\f(1，2)B．－1C。eq\f（1，2）D．32．函數f(x）＝eq\f(1，x）在［1，＋∞）上（)A．有最大值無最小值 B．有最小值無最大值C．有最大值也有最小值 D．無最大值也無最小值3．函數f（x）＝x2，x∈[－2,1]的最大值,最小值分別為（）A．4，1 B．4，0C．1,0 D．以上都不對4．已知函數f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2x＋6，x∈[1,2］，，x＋7，x∈［－1，1，))則f(x）的最大值，最小值分別為（）A．10,6 B．10,8C．8，6 D．以上都不對5．若不等式－x＋a＋1≥0對一切x∈(0，eq\f（1,2)]成立，則a的最小值為()A．0B．－2C．－eq\f(5，2）D．－eq\f（1,2)1．函數的最值與值域、單調性之間的聯系（1)對一個函數來說，其值域是確定的，但它不一定有最值，如函數y＝eq\f(1，x）.如果有最值，則最值一定是值域中的一個元素．(2)若函數f（x）在閉區間［a,b］上單調，則f(x）的最值必在區間端點處取得．即最大值是f(a)或f（b)，最小值是f(b）或f（a)．2．二次函數在閉區間上的最值探求二次函數在給定區間上的最值問題，一般要先作出y＝f（x）的草圖，然后根據圖像的增減性進行研究．特別要注意二次函數的對稱軸與所給區間的位置關系,它是求解二次函數在已知區間上最值問題的主要依據,并且最大（小）值不一定在頂點處取得．

答案精析問題導學知識點一思考最大的函數值為4，最小的函數值為2。1沒有A中的元素與之對應，不是函數值．知識點二思考x＝±1時，y有最大值1，對應的點是圖像中的最高點,x＝0時，y有最小值0，對應的點為圖像中的最低點．題型探究例1解設x1，x2是區間(0，＋∞）上的任意兩個實數，且x1<x2，則f(x1）－f(x2)＝eq\f(x1,x\o\al(2,1)＋1)－eq\f(x2,x\o\al(2，2）＋1）＝eq\f（x1x\o\al（2，2)＋1－x2x\o\al(2，1）＋1，x\o\al(2,1)＋1x\o\al(2，2)＋1）＝eq\f(x2－x1x2x1－1,x\o\al（2，1）＋1x\o\al（2，2）＋1)。當x1〈x2≤1時，x2－x1〉0，x1x2－1〈0,f（x1)－f（x2)〈0，f(x1)〈f（x2)，∴f（x）在（0，1］上遞增；當1≤x1〈x2時，x2－x1>0，x1x2－1〉0，f（x1）－f（x2)>0,f(x1)〉f（x2)，∴f（x)在[1,＋∞）上遞減．∴f（x)max＝f(1)＝eq\f（1,2)，無最小值．跟蹤訓練1解設x1，x2是區間[2,6]上的任意兩個實數,且x1<x2,則f（x1)－f（x2）＝eq\f(2，x1－1)－eq\f（2，x2－1)＝eq\f(2[x2－1－x1－1]，x1－1x2－1)＝eq\f（2x2－x1,x1－1x2－1)。由2≤x1〈x2≤6，得x2－x1〉0，(x1－1)(x2－1）>0，于是f（x1）－f(x2）〉0,即f(x1)〉f（x2）．所以函數y＝eq\f（2，x－1)在區間[2，6]上是減函數．因此，函數y＝eq\f（2，x－1）在區間［2,6］的兩個端點上分別取得最大值與最小值，即在x＝2時取得最大值，最大值是2，在x＝6時取得最小值，最小值是eq\f(2，5）。例2解（1）∵函數f（x)＝x2－2x－3開口向上，對稱軸x＝1，∴f(x）在[0，1]上遞減，在［1,2]上遞增，且f(0）＝f（2）．∴f（x）max＝f(0）＝f(2)＝－3，f（x)min＝f（1)＝－4.(2)∵對稱軸x＝1，①當1≥t＋2即t≤－1時，f(x）max＝f（t)＝t2－2t－3，f(x）min＝f(t＋2）＝t2＋2t－3.②當eq\f（t＋t＋2，2)≤1〈t＋2，即－1<t≤0時，f（x）max＝f(t)＝t2－2t－3，f（x)min＝f(1）＝－4.③當t≤1〈eq\f(t＋t＋2,2），即0<t≤1時，f(x)max＝f(t＋2）＝t2＋2t－3,f(x）min＝f（1）＝－4.④當1<t，即t>1時，f（x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(t）＝t2－2t－3。設函數最大值為g（t），最小值為φ(t），則有g（t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2－2t－3t≤0，,t2＋2t－3t>0,))φ（t）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（t2＋2t－3t≤－1，，－4－1〈t≤1，，t2－2t－3t>1。）)（3)設eq\r(x）＝t(t≥0），則x－2eq\r（x）－3＝t2－2t－3.由(1）知y＝t2－2t－3（t≥0)在[0，1]上遞減，在[1，＋∞）上遞增．∴當t＝1即x＝1時，f（x)min＝－4，無最大值．(4)作出函數h（t）＝－4。9t2＋14.7t＋18的圖像(如圖）．顯然,函數圖像的頂點就是煙花上升的最高點，頂點的橫坐標就是煙花爆裂的最佳時刻，縱坐標就是這時距地面的高度．由二次函數的知識,對于函數h(t)＝－4.9t2＋14。7t＋18,我們有：當t＝－eq\f（14。7，2×－4.9)＝1。5時，函數有最大值h＝eq\f（4×－4。9×18－14.72，4×－4。9）≈29.于是,煙花沖出后1。5s是它爆裂的最佳時刻，這時距地面的高度約為29m。跟蹤訓練2解（1）設x2＝t（t≥0)，則x4－2x2－3＝t2－2t－3.y＝t2－2t－3(t≥0）在［0,1］上遞減,在［1，＋∞）上遞增．∴當t＝1即x＝±1時，f（x）min＝－4，無最大值．(2)∵函數圖像的對稱軸是x＝a,∴當a〈2時，f（x)在[2，4]上是增函數，∴f(x)min＝f（2)＝6－4a.當a〉4時，f(x)在［2，4]上是減函數，∴f（x）min＝f（4)＝18－8a.當2≤a≤4時，f(x)min＝f(a）＝2－a2。∴f（x）min＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(6－4a，a〈2，,2－a2，2≤a≤4，,18－8a，a〉4.））(3)由函數h＝－x2＋2x＋eq\f（5,4),x∈[0，eq\f（5，2）]的圖像可知，函數圖像的頂點就是水流噴出的最高點．此時函數取得最大值．對于函數h＝－x2＋2x＋eq\f（5，4）,x∈[0，eq\f(5,2)]，當x＝1時，函數有最大值hmax＝－12＋2×1＋eq\f(5，4）＝eq\f(9,4）.于是水流噴出的最高高度是eq\f（9，4)m。例3解方法一令y＝x2－x＋a，要使x2－x＋a〉0對任意x∈（0，＋∞）恒成立，只需ymin＝eq\f(4a－1,4）>0，解得a>eq\f（1，4）.∴實數a的取值范圍是（eq\f(1,4),＋∞）．方法二x2－x＋a>0可化為a>－x2＋x.要使a>－x2＋x對任意x∈（0，＋∞)恒成立，只需a〉(－x2＋x)max,又(－x2＋x）max＝eq\f（1，4），∴a>eq\f(1，4).∴實數a的取值范圍是(eq\f(1,4），＋∞）．引申探究解f(x）＝－x2＋x在(eq\f(1,2），＋∞)上為減函數，∴f(x)的值域為(－∞，eq\f（1，4))，要使a〉－x2＋x對任意x∈（eq\f(1，2）,＋∞）恒成立,只需a≥eq\f（1,4），∴a的取值范圍是[eq\f（1,4)，＋∞)．跟蹤訓練3解∵x〉0，∴ax2＋x≤1可化為a≤eq\f（1，x2）－eq\f(1,x）。要使a≤eq\f(1，x2)－eq\f（1,x）對任意x∈(0,1]恒成立,只需a≤（eq\f(1,x2）－eq\f（1，x))min。設t＝e