學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE13學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE3解三角形的實際應用舉例學習目標1.會用正弦、余弦定理解決生產實踐中有關不可到達點距離的測量問題.2.培養(yǎng)提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力．知識點一常用角思考試畫出“北偏東60°"和“南偏西45°”的示意圖．梳理在解決實際問題時常會遇到一些有關角的術語，請查閱資料后填空：（1）方向角指北或指南方向線與目標方向所成的小于________度的角．（2）仰角與俯角與目標視線在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平線________時叫仰角，目標視線在水平線________時叫俯角．(如下圖所示）知識點二測量方案思考如何不登月測量地月距離？梳理測量某個量的方法有很多,但是在實際背景下，有些方法可能沒法實施，比如解決不能到達的實際測量問題．這個時候就需要設計方案繞開障礙間接地達到目的．設計測量方案的基本任務是把目標量轉化為可測量的量，并盡可能提高精確度．一般來說，基線越長,精確度越高．類型一測量不可到達點間的距離例1如圖,設A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離,測量者在A的同側，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是55m,∠BAC＝51°，∠ACB＝75°。求A、B兩點間的距離(精確到0.1m)．反思與感悟解決實際測量問題的過程一般要充分理解題意，正確作出圖形，把實際問題里的條件和所求轉換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數學模型來求解．跟蹤訓練1要測量對岸兩點A、B之間的距離,選取相距eq\r（3）km的C、D兩點,并測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°,∠ADC＝30°,∠ADB＝45°，則A、B之間的距離為______km。類型二測量高度例2如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角α＝54°40′，在塔底C處測得A處的俯角β＝50°1′.已知鐵塔BC部分的高為27.3m,求出山高CD(精確到1m)．反思與感悟利用正弦、余弦定理來解決實際問題時，要從所給的實際背景中，進行加工、提煉,抓住本質，抽象出數學模型，使之轉化為解三角形問題．跟蹤訓練2江岸邊有一炮臺高30m,江中有兩條船,船與炮臺底部在同一水面上,由炮臺頂部測得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距________m。類型三航海中的測量問題例3如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行67.5nmile后到達海島B，然后從B出發(fā),沿北偏東32°的方向航行54.0nmile后到達海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達C，此船應該沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離?（角度精確到0。1°，距離精確到0。01nmile)反思與感悟解決航海問題一要搞清方位角（方向角)，二要弄清不動點（三角形頂點），然后根據條件，畫出示意圖，轉化為解三角形問題．跟蹤訓練3甲船在A點發(fā)現乙船在北偏東60°的B處,乙船以每小時a海里的速度向北行駛，已知甲船的速度是每小時eq\r（3）a海里，問甲船應沿著什么方向前進，才能最快與乙船相遇？1．一艘海輪從A處出發(fā),以40nmile/h的速度沿南偏東40°方向直線航行,30min后到達B處，在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是(）A．10eq\r(2）nmile B．10eq\r(3）nmileC．20eq\r（2)nmile D．20eq\r（3)nmile2．甲、乙兩樓相距20米,從乙樓底望甲樓頂的仰角為60°,從甲樓頂望乙樓頂的俯角為30°，則甲、乙兩樓的高分別是________________．3．如圖所示，設A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側，在A所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50m，∠ACB＝45°,∠CAB＝105°，求A、B兩點的距離．4．為測量某塔的高度，在A，B兩點進行測量的數據如圖所示,求塔的高度．1．在求解三角形中，我們可以根據正弦函數的定義得到兩個解,但作為有關現實生活的應用題,必須檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解．2．解三角形的應用題時,通常會遇到兩種情況：(1)已知量與未知量全部集中在一個三角形中,依次利用正弦定理或余弦定理解之．(2）已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究,再逐步在其余的三角形中求出問題的解．

答案精析問題導學知識點一思考梳理(1）90(2)上方下方知識點二思考可以在地球上選兩點，與月亮構成三角形,測量地球上兩點的距離和這兩點看月亮的視角，通過解三角形求得地月距離．題型探究例1解根據正弦定理得eq\f(AB，sinC）＝eq\f（AC,sinB)，AB＝eq\f（ACsinC,sinB)＝eq\f（ACsinC,sin180°－A－C）＝eq\f(55sin75°，sin180°－51°－75°)＝eq\f(55sin75°，sin54°）≈65。7（m)．答A、B兩點間的距離為65.7m.跟蹤訓練1eq\r(5)解析如圖，在△ACD中，∠ACD＝120°,∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝eq\r(3）(km)．在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°。∴BC＝eq\f（\r（3)sin75°,sin60°）＝eq\f（\r(6）＋\r(2）,2)（km)．△ABC中，由余弦定理得AB2＝(eq\r（3)）2＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（\r（6）＋\r(2），2)））2－2eq\r（3)×eq\f(\r（6)＋\r（2)，2）×cos75°＝3＋2＋eq\r（3)－eq\r（3）＝5，∴AB＝eq\r(5)(km）．∴A、B之間的距離為eq\r（5）km.例2解在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α,∠BAC＝α－β，∠BAD＝α。根據正弦定理，eq\f（BC,sinα－β)＝eq\f(AB，sin90°＋β）,所以AB＝eq\f(BCsin90°＋β,sinα－β)＝eq\f（BCcosβ,sinα－β).解Rt△ABD，得BD＝ABsin∠BAD＝eq\f(BCcosβsinα,sinα－β).將測量數據代入上式，得BD＝eq\f（27。3cos50°1′sin54°40′,sin54°40′－50°1′）＝eq\f(27.3cos50°1′sin54°40′，sin4°39′)≈177。4(m）．CD＝BD－BC≈177。4－27。3≈150（m）．答山的高度約為150m。跟蹤訓練230解析設兩條船所在位置分別為A、B兩點,炮臺底部所在位置為C點，在△ABC中，由題意可知AC＝eq\f(30,tan30°)＝30eq\r(3）（m），BC＝eq\f（30，tan45°）＝30(m），C＝30°,AB2＝(30eq\r(3))2＋302－2×30eq\r(3)×30×cos30°＝900，所以AB＝30（m）．例3解在△ABC中,∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，根據余弦定理，AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC)＝eq\r（67.52＋54。02－2×67。5×54.0×cos137°)≈113.15(nmile）．根據正弦定理，eq\f（BC,sin∠CAB)＝eq\f（AC，sin∠ABC），sin∠CAB＝eq\f(BCsin∠ABC,AC）＝eq\f(54。0sin137°,113.15)≈0.3255，所以∠CAB＝19.0°，75°－∠CAB＝56.0°.答此船應該沿北偏東56。0°的方向航行，需要航行113。15nmile。跟蹤訓練3解如圖所示．設經過t小時兩船在C點相遇，則在△ABC中，BC＝at(海里),AC＝eq\r(3）at(海里），B＝90°＋30°＝120°，由eq\f（BC，sin∠CAB)＝eq\f(AC，sinB)得:sin∠CAB＝eq\f（BCsinB,AC)＝eq\f（at·sin120°，\r(3)at）＝eq\f(\f（\r(3），2),\r(3）)＝eq\f(1,2），∵0°<∠CAB〈90°，∴∠CAB＝30°。∴∠DAC＝60°－30°＝30°.∴甲船應沿著北偏東30°的方向前進，才能最快與乙船相遇．當堂訓練1．A2.20eq\r（3）米、eq\f（40,3）eq\r（3）米3．解由題意知∠ABC＝30°，由正弦定理eq\f(AC，sin∠ABC）＝eq\f（AB，sin∠ACB），故AB＝eq\f(AC·sin∠ACB，sin∠ABC)＝eq\f（50×\f(\r（2），2),\f（1,2）)＝50eq\r(2)（m)．4．解在△ABT中，∠ATB＝21。4°－18.6°＝2。8°,∠ABT＝90°＋18。6°,AB＝15(m)．根據正弦定理，eq\f(15，sin2。8°