數字信號處理

DigitalSignalProcessing2.5序列的Z變換2.6利用z變換分析信號和系統的頻域特性2.5序列的Z變換Z變換在離散時間系統中的作用就如同拉氏變換在連續時間系統中的作用一樣，它把描述離散系統的差分方程轉化為簡單的代數方程，使其求解大大簡化。模擬信號和系統中頻域分析復頻域分析傅里葉變換拉普拉斯變換時域離散信號系統頻域分析復頻域分析傅里葉變換Z變換1.

定義存在條件：絕對可和可小到0可大到2.5.1Z變換的定義單邊Z變換：極點和零點的概念：常用的Z變換是一個有理函數，用兩個多項式之比表示。

使的點叫的零點，使的點叫的極點。欲使Z變換存在，收斂域中不能有極點，也就是說收斂域總是用極點限定其邊界的。*FT和ZT的關系：單位圓上的Z變換就是序列的傅立葉變換。z=e

jω表示在Z平面上r=1的圓，該圓稱為單位圓。

由于是對有限項求和，所以除0和兩點是否收斂與n1和n2取值情況有關外，整個Z平面均收斂。1.有限長序列整個Z平面均收斂其Z變換為2.5.2

序列特性對收斂域的影響*即右序列圓外域左序列圓內域雙邊序列環狀域2.

右序列當時

第一個序列為有限長序列，其收斂域為第二個序列為因果序列，其收斂域為將兩個收斂域相與，得到收斂域為當時，沒有第一項，所以收斂域為圓外域3.左序列如果n2<0，沒有第二項，則收斂域為當n2>0時第一項的收斂域為左序列,收斂域為第二項有限長序列,收斂域為將兩個收斂域相與，得到收斂域為圓內域4.雙邊序列一個雙邊序列可以看成是一個左序列和一個右序列之和。X(z)的收斂域為兩個收斂域的公共部分。如果，則兩個收斂域沒有公共收斂域，即收斂域不存在。如果，其收斂域為，是一環狀域。環狀域

（1）收斂域中無極點，收斂域總是以極點為界。（2）同一個Z變換函數，收斂域不同，對應的序列是不同的。（3）右序列收斂域必在某個圓之外，左序列收斂域必在某個圓內。注環狀域圓內域圓外域留數法（殘數法）部分分式展開法長除法§2.5.3

序列的逆z變換定義：c是X(z)收斂域內一條逆時針的閉合曲線c1.留數法逆Z變換是圍線C內所有的極點留數之和。如果在圍線c內的極點用表示，則有留數定理：討論1.如果Zk是單極點，則根據留數定理2.如果Zk是N階極點，則根據留數定理留數輔助定理則成立條件：F(z)的分母階次比分子階次高二階或以上。

設在Z平面上有N個極點，在收斂域內的封閉曲線c將Z平面上極點分成兩部分：c內極點N1個，c外極點N2個定理說明：在滿足輔助定理條件情況下，如果c內有多階極點，而c外極點沒有高階的，可以改求c圓外極點留數之和，最后加一個負號。例2.5.6，*2.5.7，例6.3.32.長除法該方法也稱為冪級數法，它是指利用Z變換定義，用長除的方法將X(z)寫成冪級數形式，其系數就是序列x(n)。該方法的缺點是在復雜的情況下，很難得到x(n)的封閉解形式。說明：如果x(n)是右序列，分子分母按Z的降冪（或的升冪）排列,

得到的結果應該是負冪級數：

如果x(n)是左序列，分子分母按Z的升冪（或的降冪）排列,

得到的結果應該是正冪級數。*3.部分分式展開法該方法適合于大多數單階極點的序列。

設x(n)的Z變換X(z)是有理函數，分母多項式是N階的，分子多項式是M階，將X(z)展成一些簡單常用的部分分式之和，通過查表求得各部分的逆變換，再相加即得原序列x(n)。設X(z)只有N個一階極點，可展成：由此式可見：在極點z=0的留數就是系數,在的極點留數就是系數。由此求得系數Am后，很容易得到序列。例2.5.10

相加后Z變換的收斂域一般為兩個序列原來收斂域的交集，某些情況下個別零點和極點相互抵消后可能擴大收斂域。§2.5.4 Z變換的性質和定理1、線性*2、序列的移位￥-￥=-==?nnznxnxzX)()]([ZT)(3、乘以指數序列4、序列乘以n5、復序列取共軛*7、終值定理如果

x(n)是因果序列，其Z變換的極點，除可以有一個一階極點在z=1上，其他極點均在單位圓內，則：*6、初值定理*8、序列卷積9、復卷積定理（序列相乘）

c是v平面收斂域中一條閉合單圍線。10、帕斯維爾定理物理意義：時域的序列能量=頻域的頻譜能量§2.5.5

利用Z變換解差分方程N階線性常系數差分方程

在數字信號處理中，一般只研究系統的穩態響應，即系統在加入輸入序列之前是處在“零狀態”下，也就是系統的任何部分都沒有預先賦予初值，無需考慮初始狀態。這是大多數系統的實際工作情況。

在求解給定初始條件的離散時間系統時，則應用單邊z變換，求出系統的暫態解。Ⅰ）求零狀態響應Ⅱ）求零輸入響應、全響應求移位序列的單邊Z變換：設設x(n)是因果序列，已知初始條件y(-1),y(-2),…y(-N)零狀態解零輸入解考慮了初始狀態的Z變換稱的傅里葉變換： 為系統的傳輸函數

(頻率響應）。§2.6利用z變換分析信號和系統的頻域特性一、傳輸函數與系統函數

單位脈沖響應h(n)：設系統初始狀態為零，系統對輸入為單位樣值序列的響應稱為。稱的Z變換： 為系統的系統函數。如果H(z)的收斂域包含單位圓，即：單位樣值響應在單位圓上的Z變換就是系統的傳輸函數。極點位置與h(n)形狀的關系如圖所示。極點位置與h(n)形狀的關系單位圓上等幅單位圓外增幅單位圓內減幅穩定性：要求收斂域包含單位圓。因果、穩定：

即H(z)的極點集中在單位圓內二、用系統函數的極點分布分析系統的因果性和穩定性因果性：其單位脈沖響應h(n)一定滿足：n<0時，h(n)=0其系統函數H(z)的收斂域，一定包含*P59，例2.6.1三、利用系統的零極點分布分析系統的頻率特性把系統函數表示為：

其中：是系統零點；是系統極點。A=b0/a0。設系統穩定零點矢量極點矢量其中當B點轉到極點附近時，極點矢量長度最短，幅度特性將出現峰值,極點越靠近單位圓，峰值越高越尖銳。但極點過于靠近單位圓，容易引起系統不穩定，因為幅度特性為無窮。極點在z=0處，矢量長度始終為1，所以對幅度響應沒有影響。當B點轉到零點附近時，零點矢量長度變短，幅度特性將出現谷值。零點越靠近單位圓，谷值越接近零。當零點在單位圓上時，谷