第

3章剛體力學基礎第

3章剛體力學基礎§3.1

剛體運動的描述§3.2

剛體的定軸轉動定理§3.3

剛體的轉動慣量§3.4剛體定軸轉動的角動量守恒定律§3.5

剛體定軸轉動的功能原理§3.6

回轉儀進動§3.7

剛體的平面運動剛體：

既考慮物體的質量,又考慮形狀和大小，但忽略其形變的物體模型。§3.1

剛體運動的描述剛體可看作是質量連續分布的且任意兩質量元之間相對距離保持不變的質點系。一、剛體運動的基本形式

可以用質點動力學的方法來處理剛體的平動問題。剛體內各質點在任一時刻具有相同的速度和加速度。1.平動剛體內任一直線在運動過程中始終保持平行。a.定軸轉動b.定點轉動如：門、窗的轉動等。如：陀螺的轉動。3.

平面運動可以分解為剛體隨質心的平移和繞質心垂直于運動平面的定軸轉動。剛體上每一質元的運動都平行于某一固定平面。如：車輪滾動。可以分解為隨質心的平移和繞質心的定點轉動。4.

剛體的一般運動

剛體上所有質點都繞同一直線(即轉軸)作圓周運動。2.轉動研究方法：作定軸轉動時，剛體內平行于轉軸的直線上各點具有相同的運動狀態(速度和加速度)，因此，只要研究剛體內某一垂直于轉軸的平面(轉動平面)上各點的運動，就可了解整個剛體的運動。轉動平面內：取轉心O，參考軸x，1.剛體的角位置與角位移2.剛體的角速度角加速度二、定軸轉動的描述角量xOP轉動平面P點：角位置角位移3.線量與角量的關系：角速度的方向：rj角加速度的方向：加速轉動時，兩者同方向，減速轉動時，兩者反方向。對于勻角加速轉動，則有：式中：是t=0時刻的角速度和角位置。說明：作定軸轉動時，剛體內各點具有相同的角量，但不同位置的質點具有不同的線量。勻加速直線運動：

剛體是一個質點系，描述質點系轉動的動力學方程：1.剛體是質點系，剛體所受關于原點O

的力矩等于合外力矩。2.只有垂直轉軸的外力分量才產生沿轉軸方向的力矩Mz，而平行于轉軸的外力分量產生的力矩Mxy則被軸承上支承力的力矩所抵消。§3.2

剛體的定軸轉動定理一、剛體所受的力矩說明取慣性坐標系，設第i

個質元受外力，并假定垂直于轉軸。xyz也被抵消所受關于O點的外力矩為：剛體所受的關于定軸的合力矩：剛體所受的關于O

的角動量：共面二、剛體定軸轉動的角動量xzy對整個剛體：稱為剛體對轉軸z

的轉動慣量。為剛體關于轉軸z

的角動量。關于剛體角動量的補充說明mmbbaRJ結論：1、角動量和角速度一般并不在同一個方向上2、角動量與角速度在數值上也并不是以轉動慣量為比例系數的正比關系得到：剛體定軸轉動定律：設轉動過程中J不變，則有：由質點系的角動量定理：對剛體的定軸轉動，有：而且

剛體在作定軸轉動時，剛體的角加速度與它所受到的合外力矩成正比，與剛體的轉動慣量成反比。三、剛體定軸轉動定律推廣到J

可變情形：稱為在t0到t

時間內作用在剛體上的角沖量。——剛體定軸轉動的角動量定理

是關于剛體定軸轉動的動力學方程。(與F=ma

比較)[例3-1]定滑輪：m，

r，J

，物體：m1，m2，

輕繩不能伸長，無相對滑動。求滑輪轉動的角加速度和繩的張力。解：由于考慮滑輪的質量，問題中包括平動和轉動。輪不打滑：聯立方程，可解得T1

，T2，a，。

此裝置稱阿特伍德機——可用于測量重力加速度

g

r[例3-2]均質細棒：m

，l

，對水平軸O：，鉛直位置時，一水平力F

作用于距O為l′

處，計算O

軸對棒的作用力(稱軸反力)。O解：得：設軸反力為Nx，Ny。由轉動定律：由質心運動定律：當l=2l/3時，Nx=0，此時的打擊點稱打擊中心。l>2l/3時，Nx>0，l

<

2l/3時，Nx<0。c討論：[例3-3]

半徑為

R1

和R2、轉動慣量為J1

和J2

的兩個圓柱體，可繞垂直軸轉動，最初大圓柱體的角速度為0，現將小圓柱體靠近碰到大圓柱體。由于摩擦，小圓柱體被帶著轉動，當相對滑動停止時，兩圓柱體各以恒定角速度沿相反方向轉動。求小圓柱的最終角速度多大？設垂直于紙面向里為正向：無相對滑動：分別對o1

軸和o2

軸運用角動量定理。解：o1o2定義：1.剛體由分立的質點組成時：2.剛體為質量連續體時：單位(SI)：

轉動慣量僅取決于剛體本身的性質，即與剛體的形狀、大小、質量分布以及轉軸的位置有關。一、剛體的轉動慣量及其計算§3.3

剛體的轉動慣量[例3-4]求均質細棒(m

，l)的轉動慣量：

(1)轉軸通過中心與棒垂直，

(2)轉軸通過棒的一端與棒垂直。解：(1)(2)

可見，轉動慣量因轉軸位置而變，故必須指明是關于某軸的轉動慣量。OxOxdxdmdxdm[例3-5]求質量m

半徑R

的(1)均質圓環，(2)均質圓盤對通過直徑的轉軸的轉動慣量。解：(1)圓環：dmodm(2)圓盤：

可見，轉動慣量與剛體的質量分布有關。剛體對任一轉軸的轉動慣量J

等于對通過質心的平行轉軸的轉動慣量Jc加上剛體質量m

乘以兩平行轉軸間距離d

的平方。證明：二、平行軸定理coJcJd[例3-6]計算掛鐘擺錘對O軸的轉動慣量。O解：[例3-7]

設一薄板，已知對板面內兩垂直軸的轉動慣量分別為Jx、Jy，計算板對z軸的轉動慣量Jz。Oxyz解：稱垂直軸定理(適用于薄板)。如圓盤(m、R)對過圓心的垂直軸的轉動慣量：[例3-8]

質量為M=16kg的實心滑輪，半徑為R=0.15m。一根細繩繞在滑輪上，一端掛一質量為m的物體。求(1)由靜止開始1秒鐘后，物體下降的距離。(2)繩子的張力。解：Mm[例3-9]

一質量為m

，長為l

的均質細桿，轉軸在O點，距A端l/3。今使棒從靜止開始由水平位置繞O點轉動，求(1)水平位置的角速度和角加速度。(2)垂直位置時的角速度和角加速度。解：(1)方向：

cOBAcOBA(2)[例3-10]

一半徑為R，質量為m的均勻圓盤平放在粗糙的水平面上。若它的初角速度為0，繞中心o旋轉，問經過多長時間圓盤才停止？（設摩擦系數為）drr解：Ro為其轉過的角度。定軸轉動角動量定理：定軸轉動角動量守恒定律：剛體在定軸轉動中，當對轉軸的合外力矩為零時，剛體對轉軸的角動量保持不變。適用于剛體，非剛體和物體系。§3.4剛體定軸轉動的角動量守恒定律當時，有即(常量)一、剛體(J

不變)的角動量守恒若

M=0，則J=常量，而剛體的J

不變，故的大小，方向保持不變。此時，即使撤去軸承的支撐作用，剛體仍將作定軸轉動——定向回轉儀——

可以作定向裝置。如：直立旋轉陀螺不倒。o

二、非剛體(J可變)的角動量守恒當J增大，w就減小，當J減小，w就增大。如：芭蕾舞，花樣滑冰中的轉動，恒星塌縮(R0，0)(R，)中子星的形成等。人與轉臺組成的系統對豎直軸的角動量守恒：[例3-11]

水平轉臺(m1、

R)可繞豎直的中心軸轉動，初角速度w0，一人(m2)立在臺中心，相對轉臺以恒定速度u沿半徑向邊緣走去，計算經時間

t，臺轉過了多少角度。解：臺轉過的角度：三、物體系的角動量守恒

若系統由幾個物體組成，當系統受到的外力對軸的力矩的矢量和為零，則系統的總角動量守恒：如：直升機機尾加側向旋葉，是為防止機身的反轉。角動量守恒條件[例3-12]摩擦離合器飛輪1：J1、

w1摩擦輪2：

J2

靜止，兩輪沿軸向結合，結合后兩輪達到的共同角速度。兩輪對共同轉軸的角動量守恒解：試與下例的齒輪嚙合過程比較。21[例3-13]

兩圓盤形齒輪半徑r1、

r2，對通過盤心垂直于盤面轉軸的轉動慣量為J1、

J2，開始

1輪以w0轉動，然后兩輪正交嚙合，求嚙合后兩輪的角速度。兩輪繞不同軸轉動，故對兩軸分別用角動量定理：得：解：12[例3-14]

均質細棒：m1、l

，水平軸O，小球：m2與棒相碰，碰前碰后如圖，設碰撞時間很短，棒保持豎直，求碰后棒的角速度。系統對O軸角動量守恒注意：系統總動量一般不守恒，因為軸承處的外力不能忽略。只當碰撞在打擊中心時，Nx=0，系統的水平動量守恒：解：O一、剛體定軸轉動的轉動動能

定軸轉動可分解為剛體繞過質心軸的轉動和隨質心（繞定軸作圓周運動）的平動。§3.5

剛體定軸轉動的功能原理oc由平行軸定理：二、力矩的功1.平行于定軸的外力對質元不做功。2.由于剛體內兩質元的相對距離不變，一對內力做功之和為零。

說明ij合外力對剛體做的元功：力矩的功：功率：zP設作用在質元Dmi上的外力

位于轉動平面內。三、剛體定軸轉動的動能定理合外力矩對剛體所作的功等于剛體轉動動能的增量。四、剛體的重力勢能以地面為勢能零點，剛體和地球系統的重力勢能：zOi五、剛體定軸轉動的功能原理將重力矩作的功用重力勢能差表示：得其中，M是除重力以外的其它外力矩。——剛體的機械能守恒定律——剛體定軸轉動的功能原理若M=0，則[例3-15]均質細棒m，l

，水平軸O，開始棒處于水平狀態，由靜止釋放，求棒擺到豎直位置時：(1)棒的角速度，(2)棒的轉動動能，(3)質心的加速度，(4)軸的支反力。解：(2)(3)(4)(1)[例3-16]細桿A

：(m,L)可繞軸轉動，水平處靜止釋放，在豎直位置與靜止物塊B；(m)

發生彈性碰撞，求碰后：(1)

vB

，(2)2，(3)θmax。解：碰后反方向轉動。BABA[例3-17]圓錐體R，h，J，表面有淺槽，令以ω0轉動，小滑塊m由靜止從頂端下滑，不計摩擦，求滑到底部滑塊速度、圓錐體角速度。解：系統機械能守恒：hRu對豎直軸的角動量守恒：討論剛體的定點轉動。

回轉儀：由厚而重，形狀對稱的剛體繞對稱軸高速自轉的裝置。當M=0時，角動量及角速度矢量保持恒定

——定向回轉儀。當回轉儀受到外力矩作用時，如：陀螺傾斜——？——進動

——回轉效應。§3.6

回轉儀進動設陀螺質量為m，以角速度自轉。重力對固定點o的力矩：繞自身軸轉動的角動量：由角動量定理的微分式：顯然，時刻改變方向而大小不變——進動。1.陀螺

mgo進動角速度：2.進動軸通過定點且與外力平行。1.Ω(或ωp)與ω

有關，與θ無關。3.進動方向決定于外力矩和自轉角速度的方向。4.較小時，

有周期性變化，稱為章動。do說明改變方向，情況如何？

mgo2.杠桿回轉儀當重物移近時，受力矩作用，出現回轉現象。平衡時，保持大小方向不變。o俯視圖回轉效應的應用：飛機，輪船，導彈中的指向儀，炮筒內的旋轉式來復線。改變方向，情況如何？改變方向，情況如何？o俯視圖§3.7剛體的平面平行運動基本方程：平面平行運動自由度：3平動（2）+轉動（1）質心運動定律：相對質心的角動量定理：若外力為保守力，則機械能守恒：不是獨立方程！

若運動受到約束，則所受外力中除主動力外還存在著約束力，而約束力在解出運動前是未知的，因此除基本方程外還需列出相應的約束方程，才能構成完整的方程組。解：

d=0時，=0，剛體只有平動沒有轉動。[例3-18]長

l

質量m

的勻質細桿放在光滑的水平面上，以水平力

垂直作用在細桿上，作用點距質心為d

，計算

作用瞬間細桿的角加速度和質心的加速度。c.d[例3-19]一勻質圓球(r)從靜止開始沿一粗糙斜面純滾動而下，斜面傾角為，球從上端滾到下端球心高度相差為h，計算小球滾到下端時質心的速度和轉動角速度。c解：純滾動條件：也可由機械能守恒計算：mgNf上式即相對瞬心的轉動定律

剛體作平面平行運動時，在一定條件下還可選瞬時轉動中心作為角動量定理的參考點。瞬時轉動中心（瞬心）剛體的平面平行運動可看作每一時刻都繞平面上或平面外某點的一個轉動，一般而言，此點在不同時刻在不同的位置上。即轉動中心是隨時間改變的，故稱瞬時轉動中心。ABA’B’ABA’B’pABvAvBABvAvBvBvAAB長2l，質量m，均勻剛性棒，放在光滑水平面上，下端與水平面接觸。棒的運動方程？qxyCOp基本方法：mgN約束方程最后得利用相對瞬心的角動量定理：相對瞬心的轉動定律Opirpriri’0MvcFi在剛體作平面運動情況下OpCrprcrOpCrprcr相對瞬心的角動量定理若轉動過程中質心到瞬心距離保持不變，即qxyCOp利用相對瞬心的角動量