第十二章變化的電磁場第3篇電磁學●電磁感應定律●感應電動勢●自感和互感●磁場能量●位移電流●麥克斯韋方程組●電磁波主要內容：2電磁感應現象是電磁學中最重要的發現之一；它揭示了電現象與磁現象之間的聯系；在實踐上開拓了廣泛應用的前景。§12.1電磁感應定律

31．實驗現象（1）問題的提出1820年奧斯特第一次揭示了電流能夠產生磁場NS既然電能生磁，磁能否生電？原因有兩條：(1)仿照穩恒電流產生磁場，因而固守著穩恒磁場能產生電的成見；(2)實驗工作做得不夠細致。4法拉第經過10年不懈的努力，終于在1831年8月29日第一次觀察到電流變化時產生的感應現象，然后他又繼續做了一系列實驗，來判斷產生感應電流的條件和決定感應電流的因素，揭示了電磁感應現象的奧妙。由于他的數學較差，電磁感應定律的數學表達式是1845年由諾埃曼提出的。5MichaelFaraday,1791-1867英國物理學家、化學家，自學成才的典范。6IiIi

共同點：I(t)Ii2．法拉第實驗當一個閉合回路面積上的磁通量發生變化時，回路中便產生感應電動勢(感應電流)。這就是電磁感應現象。789電磁感應現象：當穿過一個閉合導體回路磁通量發生變化時，回路中就會產生感應電流的現象。感應電流：當穿過閉合導體回路的磁通量發生變化時，回路中產生的電流。感應電動勢：當穿過導體回路的磁通量發生變化時，回路中產生的電動勢。產生感應電流的條件：穿過一閉合導體回路的磁通量發生變化。102.法拉第電磁感應定律法拉第從實驗中總結出回路中的感應電動勢為

(1)

m是通過回路面積的磁通量；(2)

式中負號表示感應電動勢的方向與磁通量變化的關系；若m(i

<0),則i

的方向與原磁場的反方向組成右手螺旋關系;若m(i

>0),則i的方向與原磁場的正方向組成右手螺旋關系.i若m，則i與B反符合右手螺旋關系11(3)若回路線圈有面積相同的N匝，則

=Nm稱為線圈的磁通鏈數簡稱磁鏈。(4)如果閉合回路的總電阻為R,則回路中的感應電流則在t1→t2這段時間內,通過回路任一截面的感應電量為123.楞次定律內容：閉合導體回路中感應電流的方向,總是企圖使它自身產生的磁場,去反抗引起感應電流的磁通量的改變。反抗的意思：

感應電流Ii與原磁場B的反方向成右手螺旋關系。BIiBIi

若m增加,感應電流的磁場線與B反向;

若m減少,感應電流的磁場線與B同向;

感應電流Ii與原磁場B的正方向成右手螺旋關系。判斷感應電流方向的定律13楞次定律是能量守恒定律的必然結果。要想維持回路中電流，必須有外力不斷作功。這符合能量守恒定律。

則不需外力作功，導線便會自動運動下去，從而不斷獲得電能。這顯然違背能量守恒定律。按楞次定律，如果把楞次定律中的“反抗”改為“助長”，如右所示，用楞次定律分析可知，無論磁棒插入還是拔出線圈的過程中，都要克服磁阻力而作功，正是這部分機械功轉化成感應電流所釋放的焦耳熱。14電磁永動機

事實上，不可能存在這種能產生如此無境止電流增長的能源！過程將自動進行，磁鐵動能增加的同時，感應電流急劇增加，而i，又導致

i…而不須外界提供任何能量。15(i)首先求出通過回路面積上的磁通量(取正值)：4.用法拉第電磁感應定律解題的步驟如下：對勻強磁場中的平面線圈：(ii)求導：(iii)判斷i的方向。Ii16

例12-1

一長直螺線管橫截面的半徑為a,單位長度上密繞了n匝線圈，通以電流I=Iocost(Io、為常量)。一半徑為b、電阻為R的單匝圓形線圈同軸的套在螺線管上，求圓線圈中的感應電動勢和感應電流。

解

由m=BScos得m=μonI·b2a2BIab如果b<a,結果怎樣？方向？17

解對于在均勻磁場中勻速轉動的線圈：

m=BScosm=Babcos

(t+)例12-2

一面積為S、匝數為N的平面線圈，以角速度在勻強磁場B中勻速轉動;轉軸在線圈平面內且與B垂直。求線圈中的感應電動勢。t=0時線圈平面與磁場平行，如圖所示。=BScos

(t+o)式中o為t=0時磁場B與線圈法線方向的夾角。

Bab=NBabcost=NBabsin(t+)此題中S=ab，o=這就是發電機的原理。電動勢的幅值18

在勻強磁場內轉動的線圈中產生的電動勢是隨時間作周期性變化的，周期為。=NBabcost

在兩個連續的半周期中，電動勢的方向相反。

電動勢經一次完全變化所需的時間，叫做交流電的周期。

1秒內電動勢所作完全變化的次數，叫做交流電的頻率。我國的交流電頻率是每秒50周（或50赫茲）

19小型三相發電機20風力發電機21解

tg=a/bm=drrdSxbABCaI例12-3

長直電流I與直角ABC共面,AB=a,BC=b。分三種情況求:ABC=？(1)I=I0cost(I0

和為常量),ABC

不動。22xbABCaI(2)若I為常量,ABC以速度向右平移，求AB邊與長直導線相距x時，ABC=？23xbABCaI(3)若

I=Iocost,

ABC以速度向右平移，求AB邊與長直導線相距x時，ABC=？24xbABCaII=Iocost25§12.2感應電動勢

感應電動勢：①動生電動勢：回路的整體或局部在不隨時間變化的磁場中運動。②感生電動勢：回路不動而磁場隨時間變化。兩種情況同時存在，則總的電動勢是它們的疊加。一.動生電動勢1.產生機理產生電動勢的非靜電力是什么？abB--++26abB--++導體ab在磁場中運動，則導體中的電子在a端出現負電荷，b端出現正電荷。當電場力與洛淪茲力相等時，導體兩端的電荷分布保持穩定，導體ab相當于一個電源。引入非靜電場強：根據電動勢的定義，導體ab上的動生電動勢：產生電動勢的非靜電力-----洛淪茲力。27(1)若i>0,則i沿方向，即ab的方向；若i<0,則i與的方向相反，即ba的方向。(2)動生電動勢只存在于運動導體內，無論導體是否構成閉合回路，只要導體在磁場中運動并且切割磁場線。說明abB--++(3)上式不僅適用于導線在恒定磁場中運動的情況，也適用于導線在變化磁場中運動的情況。28動生電動勢是由洛倫茲力做功引起的。洛倫茲力對運動電荷不做功。矛盾？29電源內部的某電子，其速度包括兩部分：隨導體向右的速度；沿導體向下的uabB--++u2.動生電動勢過程中的能量轉換電子所受洛倫茲力也分為兩部分：與v相應的部分：與u相應的部分:方向：向下方向：向左合力與合速度垂直，洛倫茲力不做功。30即分力作為產生動生電動勢的非靜電力做正功，而分力(它在宏觀上表現為安培力)做負功。abB--++u兩個力具有不同作用：●

f與導線平行，為電源中非靜電力，積分表現為動生電動勢；●

f’與導線垂直，宏觀上表現為ab受到的安培力。兩個功代數和為零。31動生電動勢是由洛倫茲力做功引起的。洛倫茲力對運動電荷不做功。不矛盾32推廣：任意形狀的導線在勻強磁場中勻速平移時例12-4

直導線在均勻磁場中勻速平動，求動生電動勢。解：方向：i>0，與l同向；

i<0，與l反向。ababBldl33Bab=Blabbc=Blcos

=-Bl

,cbcos,bac解：例12-5導線在勻強磁場中運動，

B。求

ua-uc=?

(1)ab=bc=l,abc(1)la點的電位高于c點

在勻強磁場中,彎曲導線平移時所產生的動生電動勢等于從起點到終點的直導線所產生的動生電動勢。ababBldll34∴

ua-uc=ac=ac方向ac(2)45o45oRcao(2)a點的電位低于c點=Bldabc課堂練習：dabc35此結論可作為公式記住:例12-6

一條金屬細直棒op(長為l)繞o點以角速度在垂直于勻強磁場B的平面內勻速轉動,求uo-up=?opBxdx解:因轉動導線上各處的線速度不同，任取一線元,則適用于在垂直于磁場平面內繞導線一端勻速轉動的直導線。負號說明：i的方向由p指向o，即的方向，o點電勢高。36Ao=l1,

oC=l2，uA-uC=ACo若l1>l2,

則A點電勢高；若l1<l2,

則C點電勢高。棒op=l,繞豎直軸oo轉動。uo-up=op=op=op的方向由o指向p。BACo

oopBl

uA-uC=?poo37

連接bd組成一個三角形回路bcd。m=BScos

(t+o)

由于bd段不產生電動勢，所以回路中的電動勢就是導線bcd中電動勢的。例12-7

一導線彎成角形(bcd=60o,bc=cd=a)，在勻強磁場B中繞oo′軸轉動，轉速每分鐘n轉,t=0時如圖所示，求導線bcd中的i。cBoo′bd解:38例12-8一長直電流I與直導線ab(ab=l)共面，如圖所示。ab以速度沿垂直于長直電流I的方向向右運動，求圖示位置時導線ab中的動生電動勢。Iabd解,(dlsin=dr)由于ab>0,所以ab的方向由a指向b，b點電勢高。dlr39例12-9

一長直導線中通有直流電流I，旁邊有一與它共面的矩形線圈，長為l，寬為(b-a)，線圈共有N匝，以速度v離開直導線。求線圈中的感應電動勢的大小和方向。解法一：bavIABCDlB用動生電動勢公式計算方向:由B指向A其方向由C指向D線圈中總的動生電動勢為方向為順時針方向。b+vta+vtvIABCDOB40任意時刻t每匝線圈中的磁通量用法拉第電磁感應定律計算若t=0，即圖示位置解法二：bavIABCDlBb+vta+vtvIABCDOBrdr41線圈內的感應電動勢為方向為順時針方向。若t=0即圖示位置bavIABCDl42RabcdB

i=BlIi例12-10

有一很長的U形導軌,與水平面成角,裸導線ab可在導軌上無摩擦地下滑,導軌位于磁感應強度為B的垂直向上的均勻磁場中。設導線ab的質量為m,長度為l,導軌上串接有一電阻R，導軌和導線ab的電阻略去不計,t=0,=0;試求:導線ab下滑的速度與時間t的函數關系。解導線ab在安培力和重力作用下，沿導軌斜面運動。sin(+90°)由43IiRabcdB安培力：

沿斜面方向應用牛頓第二定律：

dt×BmgFmFm=IilB方向水平向右。44

dt45

導體不動,磁場隨時間變化,在導體中產生感應電動勢。二.

感生電動勢

感應電場1.感生電動勢2.原因產生感生電動勢的非靜電力是什么？I(t)Ii46麥克斯韋認為：無論有沒有回路存在，變化的磁場要在其周圍的空間激發一種電場,叫做感應電場(渦旋電場)Ei。帶電粒子處于此電場中，無論運動與否都要受到該電場的作用，這一作用力就是產生感生電動勢的非靜電力。47感應電場與靜電場相同點：對電荷都有作用力不同點：1靜電場是存在于靜止電荷周圍空間，而感應電場則是由變化磁場所激發，而非由電荷所激發；2靜電場電場線起自正電荷，終止于負電荷，而感應電場則是閉合的。48根據電動勢的定義，導體上的感生電動勢：若導體為閉合回路，則感生電動勢：根據法拉第電磁感應定律重要！式中m是通過閉合回路所圍面積的磁通量，即49上式給出了感應電場與變化磁場之間的一般關系。感應電場是非保守場,電場線是閉合曲線(1)討論(2)感應電場是無源場50(3)式中負號說明感應電場與的方向呈左手螺旋。感應電場的方向也可根據楞次定律確定。51由上式可求出感應電場的大小(4)當均勻磁場分布在圓柱形空間內，且磁場沿軸線方向，則磁場變化產生的感應電場線是圓心在軸線上的一系列同心圓，且圓上各點的大小相等。取圓心在軸線上，半徑為r的圓為閉合路徑，則方向由楞次定律判定。BIa52(5)當空間的電場既有電荷產生的電場，又有感應電場時。53兩種電場小結靜止電荷變化磁場有源，保守場無源，非保守場(渦旋)不能脫離源電荷存在可以脫離“源”在空間傳播作為產生感生電動勢的非靜電力，可以引起導體中電荷堆積，從而建立起靜電場。起源性質特點對場中電荷的作用聯系靜電場感應電場543.感生電動勢的計算

(1)

由電動勢定義求(已知或易求)一段導體：閉合導體回路：(2)若導體為閉合回路，可直接由法拉第定律求若導體不閉合，需加輔助線構成閉合回路。55例題12-11

一半徑為R的圓柱形空間區域內存在著由無限長通電螺線管產生的均勻磁場,磁場方向垂直紙面向里。當磁感應強度以dB/dt的變化率均勻減小時,求圓柱形空間區域內、外各點的感應電場。感應電場的方向：順時針Rr=Ei·2rr<R:解由由問題的對稱性知，感應電場線是在垂直于軸線平面內，以軸線為中心的一系列同心圓。56r>R:Ei·2rEi·2rr<R:Rr說明：只要有變化磁場，整個空間就存感生電場。處但r57解由楞次定律判定，感生電場的方向是逆時針的。例12-12

一半徑為R的圓柱形空間區域內存在著均勻磁場,磁場方向垂直紙面向里；磁感應強度以dB/dt的變化率均勻增加.一細棒AB=2R,中點與圓柱形空間相切，求細棒AB中的感生電動勢，并指出哪點電勢高。r>R:RABordlli>0，由A指向B，B點電勢高。58另法：

由楞次定律知，回路電動勢方向為逆時針，因此導線AB中的感生電動勢由A指向B。B點電勢高。

由于oA和oB不產生電動勢,故回路電動勢就是導線AB中的電動勢。=0RABo連接oA、oB組成回路。59o.(填>、<或=)連接oA、oB組成回路,由得知答案。AB

(2)如圖所示的長直導線中的感生電動勢:o.R問題:圓柱形空間區域內存在著均勻磁場，(1)對直導線AB和彎曲的導線AB：60

4.應用實例

大型電磁鐵的兩極間安放一個環形真空室。電磁鐵用強大的交變電流來勵磁,使環形真空室處于交變的磁場中，從而在環形室內感應出很強的渦旋電場。用電子槍將電子注入環形室,它們在洛侖茲力的作用下沿圓形軌道運動，同時又被渦旋電場加速,能量可達到幾百Mev。這種加速器常用在醫療、工業探傷中。(1)電子感應加速器1947年世界第一臺70MeV100MeV可將電子加速0.999986C61I(2)渦電流渦電流的磁效應電磁阻尼電磁制動器渦電流的熱效應根據電流的熱效應，可利用渦電流產生熱量，如冶煉特種鋼及電磁爐等。熱量危害：能量損失，設備發熱片狀鐵芯粉末狀62§12.3自感和互感

變化的電流變化磁場感應電動勢直接聯系1.自感現象自感系數63自感現象:由于回路自身電流變化，引起回路的磁通量變化，而在回路中激起感應電動勢的現象。相應的電動勢叫做自感電動勢。64NΦ

mI

設回路有N匝線圈，通過線圈面積上的磁通量為m,則通過線圈的磁通鏈數:式中比例系數L,叫做線圈的自感系數,簡稱自感。NΦ

m=LI在非鐵磁介質的情況下,自感系數L與電流無關，僅與線圈的大小、幾何形狀、匝數及周圍磁介質有關。

自感L的單位：亨利（SI制）,簡稱亨(H)。65根據法拉第電磁感應定律，自感電動勢為

如果線圈自感系數L為常量,則若電流I增加，L的方向與電流方向相反；若電流I減小，L的方向與電流方向相同。負號說明：

L總是阻礙I的變化。L有使回路保持原有電流不變的性質，稱為“電磁慣性”NΦ

m=LI66計算自感系數的方法：即：當線圈中通有單位電流時，穿過線圈的磁通鏈數。(1)即：當線圈中電流變化率為一個單位時，線圈中自感電動勢的大小。(2)計算步驟設

分布

求67

例12-13

一單層密繞、長為l、截面積為S的長直螺線管,單位長度上的匝數為n,管內充滿磁導率為的均勻磁介質。求該長直螺線管的自感系數。解設在長直螺線管中通以電流I，則B=

nINm=NBS=NnIS

Sl=V最后得68例12-14

一矩形截面螺線環，共N匝，求它的自感。解drr692.互感現象互感系數

由于一個線圈中電流發生變化而在附近的另外一個線圈中產生感應電動勢的現象叫做互感現象。這種感應電動勢叫做互感電動勢。線圈1中產生變化變化變化變化線圈2中產生70實驗證明，M21=M12=M令在非鐵磁介質的情況下,互感系數M與電流無關，僅僅與兩線圈的形狀大小、相對位置及周圍的磁介質有關。在鐵磁質中,M將受線圈中電流的影響。M

叫做兩線圈的互感系數,簡稱互感。71當M不變時，互感電動勢為：由上可得計算互感系數的方法：

21=N1

21=MI212=N212=MI1（1）（2）計算步驟：設I1

I1的磁場分布穿過回路2的72例12-15

一無限長直導線與一矩形線框在同一平面內，如圖所示。當矩形線框中通以電流I2=Iocost(式中Io和為常量)時，求長直導線中的感應電動勢。解先求互感系數M假定長直導線中通以電流I1,則drrcbaI273問題：兩線圈怎樣放置，M=0？drrcbaI2b=cM=074N2例12-16

一長直磁棒上繞有自感分別為L1和L2的兩個線圈，如圖所示。在理想耦合的情況下，求它們之間的互感系數。解設自感L1的線圈長l1、N1匝，L2的線圈長l2、N2匝1234I1Sl1l1n1在

L1

中通以電流I1。在理想耦合的情況，有75同理，若在

L2

中通以電流I2，則有前已求出得必須指出,只有在理想耦合的情況下,才有的關系;一般情形時,,1234I2而0≤k≤1,k稱為耦合系數,視兩線圈的相對位置而定。76

1.將2、3端相連接，這個線圈的自感是多少？

設線圈中通以電流I，則穿過線圈面積的磁通鏈:

2.將2、4端相連接，這個線圈的自感是多少？12341234問題77§12.4磁場能量1.通電線圈中的儲能

當開關K→1后,回路方程為電源發出的總功電源反抗自感的功電阻上的焦耳熱1278

電源反抗自感作功過程，也是線圈中磁場的建立的過程。可見，電源克服自感電動勢所作的功，就轉化為線圈L中的儲能:2.磁場能量

設螺線管單位長度上n匝，總體積為V，其中充滿磁導率為μ的均勻磁介質,L=μn2V,B=μnI=

μH79

因為長直螺線管內磁場是均勻的,所以磁場能量的分布也是均勻的。于是磁場能量密度為

上式雖然是從載流長直螺線管為例導出的,但可以證明該式適用于一切磁場(鐵磁質除外)。非均勻磁場：80電場能量與磁場能量比較電容器儲能自感線圈儲能電場能量密度磁場能量密度能量法求能量法求電場能量磁場能量電場能量磁場能量81首先，求解磁場的分布，接著，求磁場的能量密度分布，最后，通過磁場的能量密度分布求解磁場的總能量。計算磁場儲能的方法：計算自感系數的方法：定義法，能量法82例12-17

一根長直同軸電纜由兩個同軸薄圓筒構成,其半徑分別為R1和R2,流有大小相等、方向相反的軸向電流I,兩筒間為真空。試計算電纜單位長度所儲存的磁能和自感系數。解(R1<r<R2)由IIR2R11drr得單位長度的自感系數83例12-18

設有自感分別為L1和L2的兩個相鄰線圈，分別通以電流I1、I2。求(1)兩線圈的儲能；(2)證明M21=M12。解(1)兩線圈中的儲能是電流從0達到穩態的過程中，由電源克服自感和互感電動勢作功而得。先給線圈1通電：0I1線圈1的電源克服自感電動勢作功：再給線圈2通電：0I2線圈2的電源克服自感電動勢作功：R1L1MK1

1R2L2K2

2I1I2線圈1的電源克服互感電動勢作功：84在上述兩過程中，電源作功轉化為磁場能的總值為(2)證明M21=M12如果先讓線圈2通以電流I2，然后保持I2不變，再給線圈1通電流I1，則同樣的方法可以得到系統儲存的總能量為顯然，兩種情況下最終的狀態完全相同，因而儲能相同，即R1L1MK1

1R2L2K2

2I1I285變化的磁場激發電場(渦旋電場)。§12.5位移電流

安培環路定律：式中,I內是穿過以閉合回路l為邊界的任意曲面S的傳導電流的代數和。1.問題的提出那么，變化的電場是否也會激發磁場？麥克斯韋在研究了安培環路定律應用于交流電路中出現的矛盾以后，又提出了一重要假設——位移電流。86適用條件：安培環路定理僅僅適用于恒定電流產生的恒定磁場，恒定電流本身總是閉合的，因此安培環路定理僅僅適用于閉合的載流導線。IRI87I(圓面S1)0(曲面S2)kIlE非穩恒電路：矛盾！出現矛盾的原因：(I流入S1，不流出S2)傳導電流不連續的后果：S2S1以電容器充電為例非穩恒電路中傳導電流不連續。電荷在極板上堆積，從而在極板間出現變化電場

。88kIlE+q-q尋找傳導電流與極板間變化電場之間的關系解決問題思路：傳導電流強度：兩極板間：即：二者方向如何？89充電放電充電時：與同向則與同向，與同向則與反向，放電時：結論90位移電流密度：位移電流強度：即:電場中某點的位移電流密度等于該點電位移矢量對時間的變化率；通過電場中某曲面的位移電流強度等于通過該曲面的電位移通量對時間的變化率。

把變化的電場看作是一種電流，這就是麥克斯韋位移電流的概念。kIlE+q-q

2.位移電流的概念

91全電流=全電流總是連續的。

因此,安培環路定律的一般形式:傳導電流位移電流kIlES2S1Id=I

(曲面S2)I(圓面S1)傳導電流+位移電流不矛盾！上式可寫為又稱為全電流安培環路定理。92

麥克斯韋指出：位移電流(變化的電場)與傳導電流一樣，也要在周圍的空間激發磁場。3.位移電流的磁場若空間磁場僅由位移電流產生，則根據全電流安培環路定理感應電場的環流上述兩方程非常類似。93傳導電流與位移電流的比較起源特點共同點傳導電流I0位移電流Id自由電荷宏觀定向運動變化電場和極化電荷的微觀運動產生焦耳熱只在導體中存在無焦耳熱，在導體、電介質、真空中均存在都能激發磁場94例12-19

給電容為C的平行板電容器充電，電流i=0.2e-t

(SI),t=0時電容器極板上無電荷，求：(1)極板間的電壓；(2)兩板間的位移電流強度。(忽略邊緣效應)解(1)由所以

(2)由全電流的連續性，得kIS2S1l+q-q95例12-20

如圖所示,一電量為q的點電荷,以勻角速度作半徑R的圓周運動。設t=0時，q所在點的坐標為(R,0),求圓心o處的位移電流密度。解

xyRoqt96例12-21

一圓形極板的平行板電容器,極板半徑R=0.1m,板間為真空。給電容器充電的過程中,板間電場對時間的變化率dE/dt=1.0×1013V/m.s,求:(1)兩板間的位移電流強度；(2)離中心r(r<R)處的磁感應強度。解(1)位移電流密度的大小為R兩板間的位移電流強度：=2.78A由于E，所以位移流密度與E的方向相同，即從正極流向負極。97B2r=μoJd.r2(2)電流呈柱形分布，磁場的分布具有軸對稱性,磁感應線如圖中的圓周。由安培環路定律得Rr98麥克斯韋在總結前人成就的基礎上,再結合他極富創見的渦旋電場和位移電流的假說,建立起系統完整的電磁場理論,理論的核心就是麥克斯韋方程組。

§12.6麥克斯韋方程組(靜)電場渦旋電場空間任一點的電場：電場電荷變化磁場在一般情況下，

99=qo(自由電荷代數和)(渦旋電場的電場線是閉合曲線)電場的環流:電場的高斯定理:0其中100在一般情況下，空間任一點的磁場：則磁場的高斯定理：(磁場線是閉合曲線)傳導電流(運動電荷)位移電流(變化電場)磁場101磁場的環流：(傳導電流的代數和)(位移電流的代數和)其中102于是就得麥克斯韋方程組：(積分形式)103利用矢量場的高斯定理和斯托克斯定理，可推導出麥克斯韋方程組的微分形式原則上，根據麥克斯韋微分方程組，從已知的邊界條件和初始條件，就能求解任一時刻空間任一點的電磁量。電磁性質方程：電磁力：1