誤差理論與數據處理知識總結誤差理論與數據處理知識總結14/14誤差理論與數據處理知識總結第一章緒論1.1探討誤差的意義探討誤差的意義為：1）正確相識誤差的性質，分析誤差產生的緣由，以消退或減小誤差2）正確處理測量和試驗數據，合理計算所得結果，以便在確定條件下得到更接近于真值的數據3）正確組織試驗過程，合理設計儀器或選用儀器和測量方法，以便在最經濟條件下，得到志向的結果。1.2誤差的基本概念誤差的定義：誤差是測得值及被測量的真值之間的差。確定誤差：某量值的測得值之差。相對誤差：確定誤差及被測量的真值之比值。引用誤差：以儀器儀表某一刻度點的示值誤差為分子，以測量范圍上限值或全量程為分母，所得比值為引用誤差。誤差來源：1）測量裝置誤差2）環境誤差3）方法誤差4）人員誤差誤差分類：依據誤差的特點，誤差可分為系統誤差,隨機誤差和粗大誤差三類。系統誤差：在同一條件下，多次測量同一量值時，確定值和符號保持不變，或在條件改變時，按確定規律變化的誤差為系統誤差。隨機誤差：在同一測量條件下，多次測量同一量值時，確定值和符號以不可預定方式變化的誤差稱為隨機誤差。粗大誤差：超出在規定條件下預期的誤差稱為粗大誤差。1.3精度精度：反映測量結果及真值接近程度的量，成為精度。精度可分為：1）精確度：反映測量結果中系統誤差的影響程度2）精密度：反映測量結果中隨機誤差的影響程度3）精確度：反映測量結果中系統誤差和隨機誤差綜合的影響程度，其定量特征可用測量的不確定度來表示。1.4有效數字及數據運算有效數字：含有誤差的任何近似數，假如其確定誤差界是最末位數的半個單位，則從這個近似數左方起的第一個非零的數字，稱為第一位有效數字。從第一位有效數字起到最末一位數字止的全部數字，不論是零或非零的數字，都叫有效數字。測量結果應保留的位數原則是：其最末一位數字是不牢靠的，而倒數第二位數字應是牢靠的。數字舍入規則：保留的有效數字最末一位數字應按下面的舍入規則進行湊整：1）若舍去部分的數值，大于保留部分的末位的半個單位，則末位加一2）若舍去部分的數值，小于保留部分的末位的半個單位，則末位不變3）若舍去部分的數值，等于保留部分的末位的半個單位，則末位湊成偶數。數據運算規則：1）在近似數加減運算時，運算數據以小數位數最少的數據位數為準2）在近似數乘除運算,平方或開方運算時，運算數據以有效位數最少的數據位數為準3）在對數運算,三角函數運算時，數據有效位數應查表得到。第二章誤差的基本性質及處理2.1隨機誤差隨機誤差的產生緣由：1）測量裝置方面的因素2）環境方面的因素3）人員方面的因素。隨機誤差一般具有以下幾個特性：對稱性，單峰性，有界性，抵償性。正態分布：聽從正態分布的隨機誤差均具有以上四個特征，由于多數隨機誤差都聽從正態分布，因而正態分布在誤差理論中占有非常重要的地位。算術平均值：在系列測量中，被測量的n個測得值的代數和除以n而得到的值稱為算術平均值。殘余誤差：一般狀況下，被測量的真值為未知，可用算術平均值代替被測量的真值進行計算：,υi為li的殘余誤差。算術平均值的計算校核：算術平均值及其殘余誤差的計算是否正確，可用求得的殘余誤差代數和來校核。其規則為1）合殘余誤差代數和應符：當，求得的為非湊整的精確數時，為零；當，求得的為湊整的非精確數時，為正，其大小為求是的余數；當，求得的x為湊整的非精確數時，為負，其大小為求x是的虧數。2）殘余誤差代數和確定值應符合：當n為偶數時，；當n為奇數時，。測量的標準差：測量的標準偏差簡稱為標準差，也可稱之為方均根誤差。單次測量的標準差σ是表征同一被測量的n次測量的測得值的分散性的參數，可作為測量列中單次測量不牢靠性的評定標準。在等精度測量列中單次測量的標準差按下式計算：貝塞爾公式：據此式可由殘余誤差求的單次測量的標準差的估計值。評定單次測量不牢靠性的參數還有或然誤差和平均誤差。算術平均值的標準差是表征同一被測量的各個獨立測量列算術平均值分散性的參數，可作為算術平均值不牢靠性的評定標準。在n此測量的等精度測量列中，算術平均值的標準差為單次測量標準差的，當測量次數n愈大時，測量精度越高。標準差的其他計算方法：1）別捷爾斯法2）極差法3）最大誤差法極限誤差：測量的極限誤差是極端誤差，測量結果的誤差不超過該極端誤差的概率為P。單次測量的極限誤差：。算術平均值的極限誤差：正態分布：；t分布：。不等精度測量：不同的測量條件,不同的儀器,不同的測量方法,不同的測量次數和不同的測量者。權：各測量結果的牢靠程度可用一數值來表示，這個數值即為權。單位權化：使權數不同的不等精度測量列轉化為具有單位權的等精度測量列。隨機誤差的其他分布：勻稱分布,反正弦分布,三角形分布,x分布,t分布,F分布等。2.2系統誤差系統誤差的產生緣由：系統誤差是由固定不變的或按確定規律變化的因素所造成的。這些因素可以是1）測量裝置方面的因素2）環境方面的因素3）測量方法的因素4）人員方面的因素。系統誤差的特征：在同一條件下，多次測量同一量值時，誤差的確定值和符號保持不變，或者在條件改變時，誤差按確定的規律變化。系統誤差的種類：不變的系統誤差，線性變化的系統誤差，周期性變化的系統誤差。系統誤差的發覺：單次測量多次測量試驗對比法改變產生系統誤差的條件進行不同條件的測量，用于發覺不變的系統誤差計算數據比較法若，則兩組結果之間不存在系統誤差殘余誤差視察法依據測量列殘余誤差大小和符號的變化規律，直接由誤差數據或曲線圖形來推斷系統誤差，用于發覺有規律變化的系統誤差秩和檢驗法將獨立測得的兩組數據，混合后按大小依次重新排列，取測量次數較少的一組，數出它的測得值混合后的次序，相加的秩和T。查表推斷是否存在系統誤差。殘余誤差校核法馬利科夫準則用于發覺線性系統誤差：若顯著不為零，則有理由認為測量列存在線性系統誤差t檢驗法查表，若則無依據懷疑兩組間由系統誤差。阿卑-赫梅特準則用于發覺周期性系統誤差：若，則認為測量列存在周期性系統誤差不同公式計算標準差比較法4），若，則懷疑測量列存在系統誤差。2.3粗大誤差粗大誤差的產生緣由：測量人員的主觀緣由，客觀外界條件的緣由。判別粗大誤差的準則3σ準則（萊以特準則）假如在測量列中發覺有大于3σ的殘余誤差測得值，則可認為它含有粗大誤差。羅曼諾夫斯基準則首先剔除一個可疑的測得值，然后按t分布檢驗被剔除的測量值是否含有粗大誤差。若，則剔除正確。格羅布斯準則當x聽從正態分布時，將按大小依次排列，得到，，若，則判別該測得值含有粗大誤差。狄克松準則的統計量，，，及及各統計量的臨界值比較（查表），若大于臨界量，則認為含有粗大誤差。第三章誤差的合成及安排3.1函數誤差函數誤差概念：間接測量的量是直接測量所得到的各個測量值的函數，而間接測量誤差則是各個直接測得值誤差的函數，稱為函數誤差。函數系統誤差計算公式：函數隨機誤差計算公式：相關系數：誤差間的線性相關關系是指它們具有線性依靠的關系，，這種關系的強弱有相關系數ρ來反映。相關系數的確定方法：直接推斷法，試驗視察和簡略計算法，理論計算法。3.2隨機誤差的合成標準差的合成：極限誤差的合成：3.3系統誤差的合成已定系統誤差的合成：未定系統誤差的合成：1）標準差的合成：2）極限誤差的合成：3.4系統誤差及隨機誤差的合成按極限誤差合成：按標準差合成：3.5誤差安排誤差安排步驟：1）按等作用原則安排誤差即或2）按可能性調整誤差3）驗算調整后的總誤差3.6微小誤差的取舍準則對于隨機誤差和未定系統誤差，微小誤差舍去準則是被舍去的誤差必需小于或等于測量結果總標準差的1/3-1/10。3.7最佳測量方案的確定選擇最佳函數誤差公式：選取包含直接測量值最少的公式。使誤差傳遞系數等于零或為最小：由函數誤差公式可知，若使各個測量值對函數的誤差傳遞系數為零或最小，則函數誤差可相應減小。第四章測量不確定度4.1測量不確定度的基本概念測量不確定度定義：測量不確定度是指測量結果變化的不愿定，是表征被測值的真值在某個量值范圍的一個估計，是測量結果含有的一個參數，用以表示被測量值的分散性。測量不確定度及誤差的聯系：誤差是不確定度的基礎，只有對誤差的分布規律,性質,相互聯系及對測量結果的誤差傳遞關系等有了充分的相識和了解，才能更好的估計各不確定度重量，正確得到測量結果的不確定度。用不確定度代替誤差表示測量結果，易于理解便于評定，具有合理性和好用性。測量不確定度及誤差的區分：1）從定義上，誤差是測量結果及真值之差，它以真值或約定真值為中心；而測量不確定度是以被測量的估計值為中心，因此誤差是一個志向概念，難以定量；而測量不確定度是反映人們對測量相識不足的程度，是可以定量評定的。2）從分類上，誤差按自身特征和性質分為系統誤差,隨機誤差和粗大誤差，并可實行不同的措施來減小或消退各類誤差對測量的影響。但各類誤差之間并不存在確定的界限，故在分類判別和誤差計算時不易精確駕馭；測量不確定度不按性質分類，而是按評定方法分為A類評定和B類評定，不考慮不確定度因素的來源和性質，從而簡化了分類，便于評定和計算。4.2標準不確定度的評定標準不確定度：用標準差表征的不確定度。4.2.2A類評定：A類評定用統計分析法評定，其標準不確定度u等同于由系列觀測值獲得的標準差來評定標準差并得到標準不B類評定：B類評定不用統計分析法，而是基于其他方法估計概率分布或分布假設確定度。。自由度：將不確定度計算表達式中總和所包含的項數減去各項之間存在的約束條件數，所得差值稱為不確定度的自由度。自由度的確定：A類：依據標準差計算方法和n，查表可獲得自由度。B類：。4.3測量不確定度的合成合成標準不確定度：當測量結果受多重因素影響形成了若干個不確定度重量時，測量結果的標準不確定度用各標準不確定度重量合成后所得的合成標準不確定度表示。展伸不確定度：展伸不確定度由合成標準不確定度乘以包含因子k得到，記為U。其中k由t分布的臨界值給出，是合成標準不確定度的自由度。不確定度的報告：當測量不確定度用合成標準不確定度表示時，應給出合成標準不確定度及其自由度；當測量不確定度用展伸不確定度表示時，除給出展伸不確定度U外，還應說明計算式所依據的合成標準不確定度,自由度,置信概率P和包含因子k。第五章線性參數的最小二乘法處理5.1最小二乘法原理最小二乘法原理：測量結果的最可信任值應在殘余誤差平方和為最小的條件下求出。線性參數的誤差方程式：5.2正規方程最小二乘法可以將誤差方程轉化為有確定解的代數方程組，這些有確定解得代數方程組成為最小二乘法估計的正規方程。等精度測量線性參數最小二乘法處理的正規方程：可表示為矩陣形式：，則：，。不等精度測量線性參數最小二乘法處理的正規方程：可表示為矩陣形式：，則：，。最小二乘原理及算術平均值原理的關系：最小二乘原理及算術平均值原理是一樣的，算術平均值原理可以看作是最小二原理的特例。5.3精度估計測量數據的精度估計：等精度測量數據的精度估計：，不等精度測量數據的精度估計：最小二乘估計量的精度估計：等精度測量：，不等精度測量：5.4組合測量的最小二乘法處理組合測量是通過直接測量待測參數的各種組合量，然后對這些數據進行處理，從而求的待測參數的估計量，并給出其精度估計。第六章回來分析6.1回來分析的基本概念人們通過實踐，發覺變量之間的關系分為兩類：函數關系和相關關系，二者并無嚴格的界限。回來分析：回來分析就是應用數學的方法，對大量的觀測數據進行處理，從而得出比較符合事物內部規律的數學表達式。回來分析及最小二乘法的異同：聯系：回來分析是基于最小二乘法原理，回來方程系數的求解及最小二乘法有確定的相像性。區分：最小二乘法只對閱歷公式待求參數的估計量的精