第三章泊松過程2目錄

Poisson過程與Poisson過程相聯系的若干分布Poisson過程的推廣3.1泊松過程3.1.1泊松簡介3.1.2泊松分布和泊松定理3.1.3

泊松過程3.1.1泊松簡介泊松，法國著名數學家。1781年6月21日生于法國盧瓦雷省的皮蒂維耶，1840年4月25日卒于法國索鎮。泊松生平：1798年入巴黎綜合工科學校深造。1806年接替J.-B.-J.傅里葉任該校教授。1812年當選為巴黎科學院院士。1800年畢業后留校任教1802年任副教授1808年任法國經度局天文學家1809年任巴黎理學院力學教授。畢業時，因優秀的研究論文而被指定為講師。受到P.-S.拉普拉斯、J.-L.拉格朗日的賞識。泊松貢獻：泊松的科學生涯開始于研究微分方程及其在擺的運動和聲學理論中的應用。他工作的特色是應用數學方法研究各類力學和物理問題，并由此得到數學上的發現。他對積分理論、行星運動理論、熱物理、彈性理論、電磁理論、位勢理論和概率論都有重要貢獻。3.1.2.泊松分布和泊松定理 設隨機變量X所有可能取的值為0,1,2,…,而取各個值得概率為泊松分布：其中λ>0是常數，則稱X服從參數為λ的泊松分布，記為X～p（λ）泊松定理:設λ>0是一個常數，n是任意正整數，設，則對于任一固定的非負整數k，有例如：電話交換機在一段時間內接到的呼叫次數；火車站某段時間內購買車票的旅客數；機器在一段時間內發生故障的次數；

泊松過程是一類時間連續狀態離散的隨機過程103.1.3泊松過程定義1隨機過程{N(t)，t0

}稱為計數過程，如果N(t)表示從0到t時刻某一特定事件事件A發生的次數，它具備以下兩個特點(1)N(t)

0

，且N(t)取整數；(2)當s<t時，則N(s)N(t),且N(t)-N(s)表示在時間(s,t]時間內事件A發生的次數.11Poisson過程例對觀察事件出現的次數感興趣，可以用計數過程描述。一段時間內某商店購物的顧客數。經過公路上某一路口的汽車數量。保險公司接到的索賠次數。Poisson過程Poisson過程是以法國數學家泊松的名字命名的泊松過程是隨機過程的一種，是以事件的發生時間來定義的。一個泊松過程是在每個有界的時間區間，賦予一個隨機的事件數，使得在一個時間區間內的事件數，和另一個互斥（不重疊）的時間區間的事件數，這兩個隨機變量是獨立的。在每一個時間區間內的事件數是一個隨機變量，遵循泊松分布。1213獨立增量計數過程:對于t1<t2<<tn(n>3)，N(t2)-N(t1),N(t3)-N(t2),,N(tn)-N(tn-1)相互獨立.平穩增量計數過程:在(t,t+s]內(s>0)，事件A發生的次數N(t+s)-N(t)僅與時間間隔s有關，而與初始時刻t無關.14定義2

計數過程{N(t)，t0

}稱為參數為（>0）的泊松過程,如果(1)N(0)=0，(2)過程有獨立增量(3)在任一長度為t的時間區間中事件A發生的次數服從均值為t

的泊松分布，即對任意s0,t>0，有15注：(1)泊松過程是平穩獨立增量過程;(2)E[N(t)]=t,表示單位時間內事件A發生的平均次數，一般稱為過程的強度或速率.例在(0,t]內接到服務臺咨詢電話的次數N(t)，在(0,t]內到某火車站售票處購買車票的旅客數N(t)等都是泊松變量，

{N(t),t0

}是一個泊松過程.16例（Poisson過程在排隊論中的應用）隨機服務系統中排隊現象，可以用Poisson過程描述。例如，到達電話總機呼叫數目、到達車站顧客數等等。以車站售票處為例，上午8：00開始，連續售票，乘客10人/h的速度到達，從9：00-10：00這1小時內最多5名乘客到來的概率？10：00-11：00之間沒人來的概率？解設8:00為0時刻，9：00為1時刻，參數17（事故的發生次數和保險公司接到的索賠數）

N(t)表示(0,t]時間內發生事故的次數。Poisson過程就是{N(t)，t0

}很好的一種近似。考慮保險公司每次賠付都是1，每月平均4次接到索賠要求，一年中他要付出的平均金額為多少？ 由定義2可知，為了確定一個任意的計數過程實際上是一個泊松過程，必須證明它同時滿足定義中的（1）、（2）、（3）三個條件，其中條件（1）只是說明事件的計數過程是從時刻t=0開始的，條件（2）根據我們對計數過程了解的情況直接驗證，而對于條件（3）我們全然不知道如何去滿足。

因此，給出另一個泊松過程的定義是就顯得很有必要，接下來介紹泊松過程的另一個定義：

在此之前，首先熟悉一個函數f是o(h)的概念（高階無窮小）即：若對于一個函數f，滿足：

則稱函數f是o(h).20定義2'計數過程{N(t)，t0}是泊松過程，如果N(t)滿足

(1)N(0)=0，

(2)N(t)是平穩獨立增量過程，(3)存在>0，當h↘0

時，有（4）當h↘0時，分析定義2'可知，其中條件(3),(4)說明，在充分小的時間間隔內，最多有一個事件發生，而不能有兩個或兩個以上事件同時發生。這種假設對于很多物理現象較容易得到滿足。

22例事件A的發生形成強度為的Poisson過程

{N(t)，t0},如果每次事件發生時以概率p能夠被記錄下來，并以M(t)表示到t時刻被記錄下來的事件總數，則

{M(t)，t0}為一個強度為p的Poisson過程。

23解：首先M(0)=0，

M(t)具有平穩獨立增量，接下來只需驗證M(t)服從均值為

pt的泊松分布.即對任意t>0,下邊將用到全概率公式，二項分布的背景、公式，以及泰勒展式24例若每條蠶的產卵數服從泊松分布，強度為，而每個卵變為成蟲的概率為p，且每個卵是否變為成蟲彼此間沒有關系，求在時間[0,t]內每條蠶養活k只小蠶的概率例觀察資料表明，天空中星體數服從泊松分布，其參數為V，這里V是被觀察區域的體積。若每個星球上有生命存在的概率為p，則在體積為V的宇宙空間中有生命存在的星球數服從參數為pV的泊松分布273.2與Poisson過程相聯系的若干分布Poisson過程的一條樣本路徑是跳躍度為1的階梯函數。N(t)3210Poisson過程的樣本路徑。符號說明Home顯然Xn表示第n次與第n-1次事件發生的時間間隔.Ｔn表示第n次事件發生的時刻(n

1)，規定Ｔ0=0定理1Home

和的分布。且都服從參數為的指數分布定理2Home31參數為n與的分布又稱愛爾蘭分布，它是n個相互獨立且都服從于參數為的指數分布的隨機變量之和的分布．32計數過程{N(t),t

0}是參數的Poisson過程，如果每次事件發生的事件間隔相互獨立，且服從同一參數為的指數分布。泊松過程的另一種定義33例1（顧客接受服務問題）設從早8:00開始就有許多人排隊等候某項服務，只有一名服務員，每個人接受服務的時間是獨立的且服從于均值為20min的指數分布．(1)問到中午12:00為止平均有多少人已經離去？(2)求已有9人接受服務的概率．34解：設早8:00為零時刻,并以N(t)表示在時間(0,t]內離去的顧客數,則{N(t),t0}是泊松過程．由題設,顧客以每小時3人的平均速率接受服務,即

人/小時.35泊松過程中事件發生時刻的條件分布

事實上，當N(t)=1時，若s

<t

，假設到時刻t為止,泊松過程{N(t),t0}中的事件A已經發生了n次,現在考察這n次事件發生的時刻Ｔ1

,Ｔ2

,…,Ｔn的聯合分布.36在N(t)＝1的條件下，事件A發生時刻Ｔ1

在[0,t]區間上是均勻分布的.37定理3

在已知N(t)＝n(n

2)的條件下,事件發生的n個時刻T1

,T2

,…,Tn的聯合分布密度為它是在區間[0,t]上均勻分布的n個獨立隨機變量U1

,U2

,…,Un的順序統計量U

(1)

,U(2)

，…，U(n)

的聯合分布.38

在已知(0,t]時間內發生了n次事件的條件下,如果不考慮次序,各次事件發生的時刻T1

,T2

,…,Tn

可看作n個獨立同分布于區間[0,t]上均勻分布的隨機變量U1

,U2

,…,Un.從而39例2

設乘客以強度為的泊松過程{N(t),t0

}來到某火車站，火車在時刻t啟程

．計算在(0,t]時間內到達的乘客的等待時間的總和的期望值.解：以Tn記第n個乘客的來到時刻，則所求為40

習題設在[0,t]內事件A已經發生n次，且0<s<t，對于0<k<n，求在[0,s]內事件A發生k次的概率。

解：42習題設{N1(t),t

0},{N2(t),t0}相互獨立,且分別是強度為

2,

2的泊松過程.試證:隨機過程{N(t)=N1(t)+N2(t),t0}是強度為λ1

+λ2的泊松過程.43例設事件A在s時刻被記錄的概率是，若以表示到t時刻被記錄的事件數，還是一個Poisson過程么？44解：由于被記錄到的概率為P(s)

與事件A發生的時間s有關，因而M(t)不再具有平穩增量,不能形成泊松過程．但是對任意t>0,M(t)仍然服從泊松分布,均值為

pt.其中453.3泊松過程的推廣非齊次泊松過程當泊松過程{N(t),t0}的強度不再是常數,而與時間t有關時,稱為非齊次泊松過程．

這種過程一般不具有平穩增量．46定義3

計數過程{N(t)，t0

}稱為強度是(t)的非齊次泊松過程．如果滿足

(1)N(0)=0，

(2)N(t)具有獨立增量，(3)N(t)滿足下列兩式：當h↘0

時，．47(3)對任意s,t0，在時間段(t,t+s]

事件A發生的次數N(t+s)-N(t)

服從泊松分布，參數為定義3'

計數過程{N(t),t0

}稱為強度是(t)的非齊次泊松過程．如果滿足

(1)N(0)=0，

(2)N(t)具有獨立增量，48

稱為非齊次泊松過程{N(t),t0}的強度函數或均值函數．定理(1)設{N(t),t0

}是強度為(t)的非齊次泊松過程．對任意t0，令則{N*(t),t0}是強度為1

的泊松過程．49(2)設{N*(t),t0}是強度為=1

的泊松過程．若給定強度函數{(t),t0}，對任意t0

，令則{N(t),t0

}是強度為(t)的非齊次泊松過程．50例1設某設備的使用期限為10年，在前5年內他平均2.5年需要維修一次，后5年平均2年需維修一次。試求他在使用期內只維修過一次的概率。用非齊次Poisson過程考慮，強度函數51例2

某鎮上有一小商店，營業時間為8點-20點．顧客平均到達率有如下規律：

8-11點，由5人線性增加到20人；11-13點，每小時為20人；13-20點，由20人線性減少到6人．假定在不相重疊的時間間隔內到達商店的顧客數相互獨立.求從9-12點無顧客到達商店的概率及這三小時內平均到達商店的顧客數．52解：設早0點為零時刻,以N(t)表示在時間(0,t]內到達商店的顧客數,則{N(t),t0

}是非齊次泊松過程.且

5354復合泊松過程定義4

設{N(t)，t0

}是一個泊松過程，{Yn}

是一族獨立同分布的隨機變量序列，且與{N(t)，t0

}獨立．如果對t0，

則稱{X(t)，t0

}

為復合泊松過程.55例1

保險公司接到的索賠次數是一個泊松過程{N(t),t0

},每次的賠付金額{Yn}

是一族獨立隨機變量序列，且有相同分布F,索賠數額與它發生的時刻無關．則在時間(0,t]內保險公司賠付的總金額為{X(t),t0

}就是一個復合泊松過程.56例2（顧客成批到達的排隊系統）設顧客到達某服務系統的批數是一個泊松過程{N(t)，t0

}.每個時刻Tn可以有多名顧客到達，以Yn表示時刻Tn到達的顧客人數.假定{Yn}相互獨立，同分布，且與{Tn}獨立．則在(0,t]時間內到達服務系統的顧客總人數為{X(t)，t0

}也是一個復合泊松過程.2023/2/557例3

設N(t)是在時間段(0，t]內來到某商店的顧客人數，{N(t)，t≥0}

是泊松過程。若Yk是第k個顧客在商店所花的錢數，則{Yk，k=1,2,…}是一列獨立同分布隨機變量序列，且與{N(t)，t≥0}

獨立。記X(t)為該商店在內的營業額，則X(t)是一個復合泊松過程。58定理5

設是一個復合