數學哲學

PilosophyofMathematics江蘇省張家港市常青藤實驗中學什么是數學哲學？

數學哲學的歷史發展概況本門課程的主要內容主要內容什么是數學哲學？

數學哲學，就其最為直接的意義而言，即是關于數學的哲學分析，也即是以數學作為直接研究對象的哲學理論。從更為深入的層次看，我們應特別強調這樣一點：數學哲學有一個逐步成長、發展和演變的過程。特別是，數學哲學曾在很長時間內完全屬于一般哲學，而只是在19世紀后期才逐步獲得了相對的獨立性，從而形成一門相對獨立的哲學分支，而所說的獨立性的標志在于，這時的數學哲學已有了自己研究的特殊問題，而不再局限于一般哲學的研究問題。數學哲學的歷史發展概況數學哲學的發展在不同時期有不同的重點，呈現出階段性。數學哲學的早期發展（1890年以前）數學基礎研究（1890-1940年）數學哲學的現代發展（1940年以后）一、數學哲學的早期發展（1890年以前）一、數學哲學的早期發展（1890年以前）一、數學哲學的早期發展（1890年以前）一、數學哲學的早期發展（1890年以前）一、數學哲學的早期發展（1890年以前）一、數學哲學的早期發展（1890年以前）一、數學哲學的早期發展（1890年以前）一、數學哲學的早期發展（1890年以前）一、數學哲學的早期發展（1890年以前）二、數學哲學的形成時期（1890年-1960年）二、數學哲學的形成時期（1890年-1960年）三、數學哲學的現代發展（1960年-至今）為什么要學習數學哲學？為什么要學習數學哲學？什么是數學：本體論和認識論相關問題探討數學解題：一種哲學觀點哲學分析方法的應用：案例研究本學期內容安排（三課時）

第一講：數學是什么？互動研討1：你認為符號“1”是真實存在的嗎？——柏拉圖VS亞里士多德

——實在論VS反實在論對數學本體論認識的爭論，并未停止。不同的數學家從不同的角度闡述了自己的各種觀點。思考下列數學家所持的是實在論還是反實在論？

第一講：數學是什么？

我認為，數學的實在存在于我們之外。我們的職責是發現它或是遵循它，那些被我們所證明并被我們夸大為是我們“發明”的定理，其實僅僅是我們觀察的記錄而已。(G.Hardy)我們凝神沉思純數學內的絕對真理，這些絕對真理在晨星們齊聲歡唱之前已存在于神的頭腦之中，當最后一顆晨星的耀眼光輝從天幕中消失的時候，它們繼續存在于神的頭腦之中。(E.Everett)數學是人類的發明，這一點是最純粹的自明之理，是稍微觀察一下就能發現的事實。(P.Bridgman)數學是所有人類活動中最完全自主的。它是最純的藝術。(J.Sullivan)弗雷格：“如果我們相信數學的客觀性，那就沒有任何理由反對我們借助于數學對象來進行思維，也沒有任何理由反對關于數學對象的這樣一幅圖景：它們是早已存在著的，并等待著人們去發現。”

第一講：數學是什么？互動研討2：你認為是什么推動了數學的發展？（你認為數學發展的動力是什么？）?

古希臘的三大幾何作圖難題推動了古希臘幾何學的發展；希爾伯特的23個問題（1900，世界數學家大會）推動了現當代數學學科的發展；?

危機也能推動數學的發展。

第一講：數學是什么？案例1：哥尼斯堡七橋問題

第一講：數學是什么？案例2：數學史上的三次數學危機簡介

?

第一次數學危機（無理數的產生）；?

第二次數學危機（無窮小量）；?

第三次數學危機（羅素悖論）。

第一講：數學是什么？互動研討3：既然說是問題推動了數學的發展，那么你認為問題從何而來？?

生產、生活實踐中產生的問題（應用數學）；?

其他學科的發展需要利用數學工具；?

數學內部產生的問題（純粹數學）。

案例3：數系的擴充

自然數——整數——有理數——實數——復數——四元數（哈密頓數）——？

第一講：數學是什么？互動研討4：你認為數學具有哪些特征？?嚴謹性?抽象性?應用廣泛性

第一講：數學是什么？?嚴謹性案例6：證明：銳角三角形的內角和為180°.

證明：29是質數.類似的案例還有很多：初中幾何全等、相似的證明；高中必修1中函數單調性、函數奇偶性的證明等等。

第一講：數學是什么？?抽象性案例1：哥尼斯堡七橋問題——圖論學科的發展

第一講：數學是什么？?抽象性案例7：“三角形的內角和為180°”這個命題不好。

你如何認識這個觀點？互動研討5：數學的抽象方式有哪些？（1）源自現實原型（平行線）；（2）源自邏輯建構（質數）。

第一講：數學是什么？?應用的廣泛性案例9：公司經理準備招聘一名秘書，n個人報名應聘。經理將一個個進行單獨面試。應聘者要求經理當場表態是否錄用，以便到另一崗位應聘。經理應該采取什么策略，才能從n個人中挑選到最好的或者較好的人選。

第一講：數學是什么？?應用的廣泛性

案例9類似的問題：一個男子的一生會遇到很多個女子，那么，他應該選擇哪一位女子作為自己的人生伴侶呢？

第一講：數學是什么？

第一講：數學是什么？

第一講：數學是什么？

第一講：數學是什么？

第一講：數學是什么？

第一講：數學是什么？

第一講：數學是什么？

第一講：數學是什么？互動研討6：你們認為數學是相對真理還是絕對真理？案例11：函數概念的發展；（何睦，2013）

第一講：數學是什么？每個數學概念和公式的背后都有著它的故事：或許源于一個靈感；或許是幾代人甚至是幾個世紀人的共同努力使之完善的過程；更或許是中外數學家的一些共同思考。應該指出的是，數學概念發展的整個歷史進程中，經歷了無數數學家“一次次的提出概念、一次次的推翻概念”的探究過程，不斷的引發更多的數學家關于數學概念和數學本質問題上進行更深層次的思考.這是必然現象，因為人類在探索自然規律的過程中必然有各種假設，雖然后來發現某些假設是錯誤的，但正是前人的失敗才使后人的思考走上了正確的道路。（何睦，2014）第一講：數學是什么？案例12：歐氏幾何與非歐幾何。

歐幾里得幾何把一切科學公有的真理叫公理為某一門科學所接受的第一性原理稱作公設公理1：等于同量的量彼此相等公理2：等量加等量，和相等公理3：等量減等量差相等公理4：彼此重合的圖形是全等的公理5：整體大于部分第一講：數學是什么？

歐氏幾何公設1：通過兩點只能作一條直線；公設2：一條直線可不斷延長；公設3：以任意中心和直徑可以畫圓；公設4：凡直角都彼此相等；公設5：通過一給定點只能引一條直線與已知直線平行（歐幾里得公設）。第一講：數學是什么？

對第五公設的質疑長期以來，人們也希望能從其他公理出發推出公設5，因為它的陳述和內容不象其他公設那樣簡潔明了，人們不能憑經驗而一目了然，因此人們懷疑它不像一個公設而更像是一個定理。兩千多年來無數數學家試圖證明第五公設的努力都失敗了。第一講：數學是什么？第一個系統地闡明了非歐幾何理論，并且始終堅定地捍衛自己新思想的，是被譽為“幾何學上的哥白尼”的俄國青年數學家羅巴契夫斯基。他在保留了前4個公設的前題下，引進一個與第5公設相悖的假設：“通過一給定點能引兩條直線與已知直線平行。”由此推出許多新命題定理，例如：三角形內角之和小于兩直角的和；如果兩個三角形的三個內角相等，它們就全等.

（羅巴契夫斯基幾何（羅氏幾何））

——直白的說，凹面三角形（雙曲線型面）的內角和小于180。第一講：數學是什么？羅巴契夫斯基幾何的一系列命題同人們傳統概念和樸素直覺是不相容的，新幾何的誕生遭到了許多人的群起而攻之。最先理解非歐幾何全部意義的是黎曼，他發展論了羅巴契夫斯基等人的思想，建立了另外一個非歐幾何--黎曼幾何。黎曼在承認前4個公設的前提下，把第5個公設修改為：“通過直線外一定點不能作任何直線與已知直線平行。”（即通過直線外一定點只能作零條直線與已知直線平行。）由此出發，黎曼也推出了一套新的幾何學命題。例如：三角形內角之和大于兩個直角之和。(黎曼幾何也就是球面幾何）第一講：數學是什么？黎曼幾何的創立，不僅是對已經出現的羅巴契夫斯基幾何的承認，而且顯示了創造其他非歐幾何的可能性。兩點啟示：羅巴契夫斯基為什么能毫不動搖的捍衛自己的不合常理的數學結果-----羅氏幾何，他