第二課時正、余弦函數的單調性與最值

同步導學方案課后強化演練1．借助圖象理解正弦函數、余弦函數在[0,2π]上的性質(單調性、最值、圖象及與x軸的交點等)．2．能利用性質解決一些簡單問題．正、余弦函數的性質函數名稱圖象與性質性質分類y＝sinxy＝cosx相同處定義域值域周期性(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)[－1,1][－1,1]T＝2πT＝2π正、余弦函數的所有性質都是針對自變量x本身而言的．正弦函數y＝sinx(x∈R)的圖象關于原點成中心對稱，其圖象在對稱中心和對稱軸處對應的分別為函數的零點和最值點．正弦函數有單調區間，但并不是定義域上的單調函數，即：它在整個定義域內并不單調．余弦函數的對稱軸和對稱中心，同正弦函數一樣，也分別對應余弦函數的最值點和零點．正弦曲線和余弦曲線都既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．比較正弦函數與余弦函數的圖象，我們可以看出，其實二者是完全一樣的，只是位置有所變動，這就決定了余弦函數與正弦函數有著許多相似的性質．甚至，二者之間有著相似的解題方法和技巧，這對幫助我們學好余弦函數是很有利的．求函數y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)的單調區間，一般將ωx＋φ視作整體，代入y＝sinx或y＝cosx相關的單調區間所對應的不等式，解之即得．這里實際上采用的是整體的思想，這是研究三角函數性質的重要數學思想，一般地，ω<0時，y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)變形為y＝－Asin(－ωx－φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)變形為y＝Acos(－ωx－φ)，再求函數的單調區間．所有的這些變形都是為了使x前面的系數為正值．同時要注意A<0時單調區間的變化. 三角函數的單調性【名師點撥】求三角函數y＝Asin(ωx＋φ)(A、ω≠0)或y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)的單調區間，一定要注意到函數中A與ω的符號．如果ω<0，一般利用誘導公式將x的系數化為正數，再求解． 比較三角函數值的大小【思路探索】

利用誘導公式將異名三角函數轉化為同名三角函數，非同一單調區間的角，轉化到同一單調區間上，再利用函數的單調性比較．(2)∵sin2012°＝sin(360°×5＋212°)＝sin212°＝－sin32°，cos157°＝cos(90°＋67°)＝－sin67°，∵0°<32°<67°<90°，∴sin32°<sin67°，∴－sin32°>－sin67°，即sin2012°>cos157°.【名師點撥】比較兩個三角函數值的大小，一般應先化為同名三角函數，并運用誘導公式把角化在同一個單調區間上，利用三角函數的單調性比較大小． 正、余弦函數的最值問題求下列函數的值域．【思路探索】

對于(1)，(2)利用函數的圖象求解；對于(3)可用換元法求解．(3)∵sin2x＋cos2x＝1，∴cos2x＝1－sin2x，∴y＝cos2x＋2sinx－2＝－sin2x＋2sinx－1.設sinx＝t，－1≤t≤1，則原函數可化為y＝－t2＋2t－1，對稱軸為t＝1.∴當t＝1時，ymax＝－1＋2－1＝0，當t＝－1時，ymin＝－1－2－1＝－4，∴函數y＝cos2x＋2sinx－2的值域為[－4,0]．【名師點撥】(1)對于形如y＝a＋bsinx或y＝a＋bcosx類型的函數求值域時，主要是利用三角函數的圖象求解，在解題時一定要注意函數的定義域．(2)對于形如y＝Asin2x＋Bsinx＋C或y＝Acos2x＋Bcosx＋C類型的函數求值域時，可采用換元法求解．1.下列函數在區間[0，π]上是單調函數的是(

)A．y＝sinx

B．y＝cos2xC．y＝sin2x