2021-2022高考數學模擬試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．是虛數單位，則（）A．1 B．2 C． D．2．已知函數滿足=1，則等于（）A．- B． C．- D．3．已知無窮等比數列的公比為2，且，則（）A． B． C． D．4．在等腰直角三角形中，，為的中點，將它沿翻折，使點與點間的距離為，此時四面體的外接球的表面積為（）.A． B． C． D．5．的展開式中的系數是（）A．160 B．240 C．280 D．3206．若，則的虛部是A．3 B． C． D．7．胡夫金字塔是底面為正方形的錐體，四個側面都是相同的等腰三角形．研究發現，該金字塔底面周長除以倍的塔高，恰好為祖沖之發現的密率．設胡夫金字塔的高為，假如對胡夫金字塔進行亮化，沿其側棱和底邊布設單條燈帶，則需要燈帶的總長度約為A． B．C． D．8．集合，，則()A． B． C． D．9．如圖所示，網格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該幾何體的各個面中最大面的面積為（）A． B． C． D．10．設為自然對數的底數，函數，若，則()A． B． C． D．11．已知復數滿足，且，則（）A．3 B． C． D．12．某校團委對“學生性別與中學生追星是否有關”作了一次調查，利用列聯表，由計算得,參照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正確結論是()A．有99%以上的把握認為“學生性別與中學生追星無關”B．有99%以上的把握認為“學生性別與中學生追星有關”C．在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認為“學生性別與中學生追星無關”D．在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認為“學生性別與中學生追星有關”二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．展開式中的系數為_________.（用數字做答）14．在平面直角坐標系xOy中，直角三角形ABC的三個頂點都在橢圓上，其中A（0，1）為直角頂點．若該三角形的面積的最大值為，則實數a的值為_____．15．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積是______.16．在四棱錐中，是邊長為的正三角形，為矩形，，.若四棱錐的頂點均在球的球面上，則球的表面積為_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，.（1）若對于任意實數，恒成立，求實數的范圍；（2）當時，是否存在實數，使曲線：在點處的切線與軸垂直？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.18．（12分）已知函數.（1）當時，解不等式；（2）設不等式的解集為，若，求實數的取值范圍.19．（12分）如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側面為正三角形，且面面，分別為棱的中點.（1）求證：平面；（2）（文科）求三棱錐的體積；（理科）求二面角的正切值.20．（12分）已知函數u（x）＝xlnx，v（x）x﹣1，m∈R．（1）令m＝2，求函數h（x）的單調區間；（2）令f（x）＝u（x）﹣v（x），若函數f（x）恰有兩個極值點x1，x2，且滿足1e（e為自然對數的底數）求x1?x2的最大值．21．（12分）為了解網絡外賣的發展情況，某調查機構從全國各城市中抽取了100個相同等級地城市，分別調查了甲乙兩家網絡外賣平臺（以下簡稱外賣甲、外賣乙）在今年3月的訂單情況，得到外賣甲該月訂單的頻率分布直方圖，外賣乙該月訂單的頻數分布表，如下圖表所示.訂單：（單位：萬件）頻數1223訂單：（單位：萬件）頻數402020102（1）現規定，月訂單不低于13萬件的城市為“業績突出城市”，填寫下面的列聯表，并根據列聯表判斷是否有90%的把握認為“是否為業績突出城市”與“選擇網絡外賣平臺”有關.業績突出城市業績不突出城市總計外賣甲外賣乙總計（2）由頻率分布直方圖可以認為，外賣甲今年3月在全國各城市的訂單數（單位：萬件）近似地服從正態分布，其中近似為樣本平均數（同一組數據用該區間的中點值作代表），的值已求出，約為3.64，現把頻率視為概率，解決下列問題：①從全國各城市中隨機抽取6個城市，記為外賣甲在今年3月訂單數位于區間的城市個數，求的數學期望；②外賣甲決定在今年3月訂單數低于7萬件的城市開展“訂外賣，搶紅包”的營銷活動來提升業績，據統計，開展此活動后城市每月外賣訂單數將提高到平均每月9萬件的水平，現從全國各月訂單數不超過7萬件的城市中采用分層抽樣的方法選出100個城市不開展營銷活動，若每按一件外賣訂單平均可獲純利潤5元，但每件外賣平均需送出紅包2元，則外賣甲在這100個城市中開展營銷活動將比不開展營銷活動每月多盈利多少萬元？附：①參考公式：，其中.參考數據：0.150.100.050.0250.0100.0012.7022.7063.8415.0246.63510.828②若，則，.22．（10分）近幾年一種新奇水果深受廣大消費者的喜愛，一位農戶發揮聰明才智，把這種露天種植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的經濟效益．根據資料顯示，產出的新奇水果的箱數x（單位：十箱）與成本y（單位：千元）的關系如下：x13412y51．522．58y與x可用回歸方程（其中，為常數）進行模擬．（Ⅰ）若該農戶產出的該新奇水果的價格為150元/箱，試預測該新奇水果100箱的利潤是多少元．|．（Ⅱ）據統計，10月份的連續11天中該農戶每天為甲地配送的該新奇水果的箱數的頻率分布直方圖如圖所示．（i）若從箱數在內的天數中隨機抽取2天，估計恰有1天的水果箱數在內的概率；（ⅱ）求這11天該農戶每天為甲地配送的該新奇水果的箱數的平均值．（每組用該組區間的中點值作代表）參考數據與公式：設，則0.541.81.530.45線性回歸直線中，，．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

由復數除法的運算法則求出，再由模長公式，即可求解.【詳解】由.故選:C.【點睛】本題考查復數的除法和模，屬于基礎題.2．C【解析】

設的最小正周期為，可得，則，再根據得，又，則可求出，進而可得.【詳解】解：設的最小正周期為，因為，所以，所以，所以，又，所以當時，，，因為，整理得，因為，，，則所以.故選：C.【點睛】本題考查三角形函數的周期性和對稱性，考查學生分析能力和計算能力，是一道難度較大的題目.3．A【解析】

依據無窮等比數列求和公式，先求出首項，再求出，利用無窮等比數列求和公式即可求出結果。【詳解】因為無窮等比數列的公比為2，則無窮等比數列的公比為。由有，，解得，所以，，故選A。【點睛】本題主要考查無窮等比數列求和公式的應用。4．D【解析】

如圖，將四面體放到直三棱柱中，求四面體的外接球的半徑轉化為求三棱柱外接球的半徑，然后確定球心在上下底面外接圓圓心連線中點，這樣根據幾何關系，求外接球的半徑.【詳解】中，易知，翻折后,，，設外接圓的半徑為，，，如圖：易得平面，將四面體放到直三棱柱中，則球心在上下底面外接圓圓心連線中點，設幾何體外接球的半徑為，，四面體的外接球的表面積為.故選：D【點睛】本題考查幾何體的外接球的表面積，意在考查空間想象能力，和計算能力，屬于中檔題型，求幾何體的外接球的半徑時，一般可以用補形法，因正方體，長方體的外接球半徑容易求，可以將一些特殊的幾何體補形為正方體或長方體，比如三條側棱兩兩垂直的三棱錐，或是構造直角三角形法，確定球心的位置，構造關于外接球半徑的方程求解.5．C【解析】

首先把看作為一個整體，進而利用二項展開式求得的系數，再求的展開式中的系數，二者相乘即可求解.【詳解】由二項展開式的通項公式可得的第項為，令，則，又的第為，令，則，所以的系數是.故選：C【點睛】本題考查二項展開式指定項的系數，掌握二項展開式的通項是解題的關鍵，屬于基礎題.6．B【解析】

因為，所以的虛部是.故選B．7．D【解析】

設胡夫金字塔的底面邊長為，由題可得，所以，該金字塔的側棱長為，所以需要燈帶的總長度約為，故選D．8．A【解析】

解一元二次不等式化簡集合A，再根據對數的真數大于零化簡集合B，求交集運算即可.【詳解】由可得，所以，由可得,所以,所以，故選A．【點睛】本題主要考查了集合的交集運算，涉及一元二次不等式解法及對數的概念，屬于中檔題.9．B【解析】

根據三視圖可以得到原幾何體為三棱錐，且是有三條棱互相垂直的三棱錐，根據幾何體的各面面積可得最大面的面積．【詳解】解：分析題意可知，如下圖所示，該幾何體為一個正方體中的三棱錐，最大面的表面邊長為的等邊三角形，故其面積為，故選B．【點睛】本題考查了幾何體的三視圖問題，解題的關鍵是要能由三視圖解析出原幾何體，從而解決問題．10．D【解析】

利用與的關系，求得的值.【詳解】依題意，所以故選：D【點睛】本小題主要考查函數值的計算，屬于基礎題.11．C【解析】

設,則,利用和求得,即可.【詳解】設,則,因為,則,所以,又,即,所以,所以,故選:C【點睛】本題考查復數的乘法法則的應用,考查共軛復數的應用.12．B【解析】

通過與表中的數據6.635的比較，可以得出正確的選項.【詳解】解:，可得有99%以上的把握認為“學生性別與中學生追星有關”，故選B.【點睛】本題考查了獨立性檢驗的應用問題，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．210【解析】

轉化，只有中含有，即得解.【詳解】只有中含有，其中的系數為故答案為:210【點睛】本題考查了二項式系數的求解，考查了學生概念理解，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.14．3【解析】

設直線AB的方程為y＝kx+1，則直線AC的方程可設為yx+1，（k≠0），聯立方程得到B（，），故S，令t，得S，利用均值不等式得到答案.【詳解】設直線AB的方程為y＝kx+1，則直線AC的方程可設為yx+1，（k≠0）由消去y，得（1+a2k2）x2+2a2kx＝0，所以x＝0或x∵A的坐標（0，1），∴B的坐標為（，k?1），即B（，），因此AB?，同理可得：AC?.∴Rt△ABC的面積為SAB?AC?令t，得S.∵t2，∴S△ABC.當且僅當，即t時，△ABC的面積S有最大值為.解之得a＝3或a.∵a時，t2不符合題意，∴a＝3.故答案為：3.【點睛】本題考查了橢圓內三角形面積的最值問題，意在考查學生的計算能力和轉化能力.15．【解析】

先由三視圖在長方體中將其還原成直觀圖，再利用球的直徑是長方體體對角線即可解決.【詳解】由三視圖知該幾何體是一個三棱錐，如圖所示長方體對角線長為，所以三棱錐外接球半徑為，故所求外接球的表面積.故答案為：.【點睛】本題考查幾何體三視圖以及幾何體外接球的表面積，考查學生空間想象能力以及基本計算能力，是一道基礎題.16．【解析】

做中點，的中點，連接，由已知條件可求出，運用余弦定理可求，從而在平面中建立坐標系，則以及的外接圓圓心為和長方形的外接圓圓心為在該平面坐標系的坐標可求，通過球心滿足，即可求出的坐標，從而可求球的半徑，進而能求出球的表面積.【詳解】解：如圖做中點，的中點，連接，由題意知，則設的外接圓圓心為，則在直線上且設長方形的外接圓圓心為，則在上且.設外接球的球心為在中，由余弦定理可知，.在平面中，以為坐標原點，以所在直線為軸，以過點垂直于軸的直線為軸，如圖建立坐標系，由題意知，在平面中且設，則，因為，所以解得.則所以球的表面積為.故答案為:.【點睛】本題考查了幾何體外接球的問題，考查了球的表面積.關于幾何體的外接球的做題思路有：一是通過將幾何體補充到長方體中，將幾何體的外接球等同于長方體的外接球，求出體對角線即為直徑，但這種方法適用性較差；二是通過球的球心與各面外接圓圓心的連線與該平面垂直，設半徑列方程求解；三是通過空間、平面坐標系進行求解.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）不存在實數，使曲線在點處的切線與軸垂直.【解析】

（1）分類時，恒成立，時，分離參數為，引入新函數，利用導數求得函數最值即可；（2），導出導函數，問題轉化為在上有解．再用導數研究的性質可得．【詳解】解：（1）因為當時，恒成立，所以，若，為任意實數，恒成立.若，恒成立，即當時，，設，，當時，，則在上單調遞增，當時，，則在上單調遞減，所以當時，取得最大值.，所以，要使時，恒成立，的取值范圍為.（2）由題意，曲線為：.令，所以，設，則，當時，，故在上為增函數，因此在區間上的最小值，所以，當時，，，所以，曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程在上有實數解.而，即方程無實數解.故不存在實數，使曲線在點處的切線與軸垂直.【點睛】本題考查不等式恒成立，考查用導數的幾何意義，由導數幾何把問題進行轉化是解題關鍵．本題屬于困難題．18．（1）或；（2）【解析】

（1）使用零點分段法，討論分段的取值范圍，然后取它們的并集，可得結果.（2）利用等價轉化的思想，可得不等式在恒成立，然后解出解集，根據集合間的包含關系，可得結果.【詳解】（1）當時，原不等式可化為.①當時，則，所以；②當時，則，所以；⑧當時，則，所以.綜上所述：當時，不等式的解集為或.（2）由，則，由題可知：在恒成立，所以，即，即，所以故所求實數的取值范圍是.【點睛】本題考查零點分段求解含絕對值不等式，熟練使用分類討論的方法，以及知識的交叉應用，同時掌握等價轉化的思想，屬中檔題.19．（1）見解析（2）（文）（理）【解析】

（1）證明：取PD中點G，連結GF、AG，∵GF為△PDC的中位線，∴GF∥CD且，又AE∥CD且，∴GF∥AE且GF=AE，∴EFGA是平行四邊形，則EF∥AG，又EF不在平面PAD內，AG在平面PAD內，∴EF∥面PAD；（2）（文）解：取AD中點O，連結PO，∵面PAD⊥面ABCD，△PAD為正三角形，∴PO⊥面ABCD，且，又PC為面ABCD斜線，F為PC中點，∴F到面ABCD距離，故；（理）連OB交CE于M，可得Rt△EBC≌Rt△OAB，∴∠MEB=∠AOB，則∠MEB+∠MBE=90°，即OM⊥EC．連PM，又由（2）知PO⊥EC，可得EC⊥平面POM，則PM⊥EC，即∠PMO是二面角P-EC-D的平面角，在Rt△EBC中，，∴，∴，即二面角P-EC-D的正切值為．【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、二面角的求法、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面.本題（1）是就是利用方法①證明的.20．（1）單調遞增區間是（0，e），單調遞減區間是（e，+∞）（2）【解析】

（1）化簡函數h（x），求導，根據導數和函數的單調性的關系即可求出（2）函數f（x）恰有兩個極值點x1，x2，則f′（x）＝lnx﹣mx＝0有兩個正根，由此得到m（x2﹣x1）＝lnx2﹣lnx1，m（x2+x1）＝lnx2+lnx1，消參數m化簡整理可得ln（x1x2）＝ln?，設t，構造函數g（t）＝（）lnt，利用導數判斷函數的單調性，求出函數的最大值即可求出x1?x2的最大值．【詳解】（1）令m＝2，函數h（x），∴h′（x），令h′（x）＝0，解得x＝e，∴當x∈（0，e）時，h′（x）＞0，當x∈（e，+∞）時，h′（x）＜0，∴函數h（x）單調遞增區間是（0，e），單調遞減區間是（e，+∞）（2）f（x）＝u（x）﹣v（x）＝xlnxx+1，∴f′（x）＝1+lnx﹣mx﹣1＝lnx﹣mx，∵函數f（x）恰有兩個極值點x1，x2，∴f′（x）＝lnx﹣mx＝0有兩個不等正根，∴lnx1﹣mx1＝0，lnx2﹣mx2＝0，兩式相減可得lnx2﹣lnx1＝m（x2﹣x1），兩式相加可得m（x2+x1）＝lnx2+lnx1，∴∴ln（x1x2）＝ln?，設t，∵1e，∴1＜t≤e，設g（t）＝（）lnt，∴g′（t），令φ（t）＝t2﹣1﹣2tlnt，∴φ′（t）＝2t﹣2（1+lnt）＝2（t﹣1﹣lnt），再令p（t）＝t﹣1﹣lnt，∴p′（t）＝10恒成立，∴p（t）在（1，e]單調遞增，∴φ′（t）＝p（t）＞p（1）＝1﹣1﹣ln1＝0，∴φ（t）在（1，e]單調遞增，∴g′（t）＝φ（t）＞φ（1）＝1﹣1﹣2ln1＝0，∴g（t）在（1，e]單調遞增，∴g（t）max＝g（e），∴ln（x1x2），∴x1x2故x1?x2的最大值為．【點睛】本題考查了利用導數求函數的最值和最值，考查了函數與方程的思想，轉化與化歸思想，屬于難題21．（1）見解析，有90%的把握認為“是否為業績突出城市”與“選擇網絡外賣平臺”有關.（2）①4.911②100萬元.【解析】

（1）根據頻率分布直方圖與頻率分布表，易得兩個外賣平臺中月訂單不低于13萬件的城市數量，即可完善列聯表.通過計算的觀測值，即可結合臨界值作出判斷.（2）①先根據所給數據求得樣本平均值，根據所給今年3月訂單數區間，并由及求得，.結合正態分布曲線性質可求得，再由二項分