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文檔簡介
§4.6函數的凹向，拐點
（一）上凹、下凹的定義（二）凹性的性質及判定（三）拐點2/4/20231問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于切線的下方，由大變小圖形上任意弧段位于切線的上方，由小變大2/4/20232（一）凹性定義定義4.2如果在某區間內，曲線弧位于其上任意一點切線的上方，則稱曲線在這個區間內是上凹的；如果在某區間內，曲線弧位于其上任意一點切線的下方，則稱曲線在這個區間內是下凹（或凸）的。2/4/20233等價定義：圖形上任意弧段在弦的下方圖形上任意弧段在弦的上方2/4/20234遞增上凹函數的切線斜率隨著自變量增加遞增2/4/20235（二）上（下）凹性的判定定理1：(用一階導數判定)2/4/20236略2/4/20237定理2：(用二階導數判定函數的凸性)2/4/20238例
判定曲線y=lnx
的上凹，下凹性.解因為所以在函數的定義域所以，曲線是下凹的.2/4/20239解注意到,2/4/202310（三）拐點結論：（拐點必要條件）定義:連續曲線上凹和下凹分界點.2/4/202311例1求曲線的拐點解解方程得2/4/202312例2.求曲線的拐點.
解:不存在上凹下凹點(0,0)
為曲線的拐點.2/4/202313求凹凸區間與拐點的步驟:1）求出的點和不存在的點每個區間上判斷的符號從而判斷凹凸性.拐點.2）以為分界點把定義域劃分成幾個區間,2/4/202314例3解上凹下凹上凹拐點拐點2/4/202315止2/4/202316例4問曲線是否有拐點？解顯然，只有x=0是方程的根.但當因此點(0,0)不是這曲線的拐點.曲線沒有拐點，它在內是上凹的.止2/4/202317思考題2/4/202318思考題解答例2/4/202319例5：（用凹性證明不等式）證明：
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