第三章

連續信號的頻譜——傅里葉變換

本章的主要內容：1、周期信號的傅里葉級數分析2、典型周期信號的傅里葉級數3、傅里葉變換4、典型非周期信號的傅里葉變換5、沖激函數和階躍函數的傅里葉變換6、傅里葉變換的基本性質7、卷積特性（卷積定理）8、周期信號的傅里葉變換9、抽樣信號的傅里葉變換10、抽樣定理

第一節

引言

傅里葉分析發展史從本章開始由時域分析轉入頻域分析。傅里葉變換是在傅里葉級數正交函數展開的基礎上發展而產生的。傅里葉分析的研究與應用經歷了一百余年。1822年法國數學家傅里葉（J.Fourier,1768-1830）在研究熱傳導理論時發表了“熱的分析理論”著作，提出并證明了將周期函數展開為正弦級數的原理，奠定了傅里葉級數的理論基礎。泊松（Poisson）、高斯（Gauss）等人把這一成果應用到電學中去。伴隨電機制造、交流電的產生與傳輸等實際問題的需要，三角函數、指數函數以及傅里葉分析等數學工具已得到廣泛的應用。直到19世紀末，制造出電容器。20世紀初，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列問題的解決為正弦函數與傅里葉分析的在通信系統中的應用開辟了廣闊的前景。從此，在通信與控制系統的理論研究和實際應用之中，采用頻率域（頻域）的分析方法比經典的時間域（時域）方法有許多突出的優點。當今，傅里葉分析方法已成為信號分析與系統設計不可缺少的重要工具。20世紀70年代，出現的各種二值正交函數（沃爾什函數），它對通信、數字信號處理等技術領域的研究提供了多種途徑和手段。使人們認識到傅里葉分析不是信息科學與技術領域中唯一的變換域方法。但傅里葉分析始終有著極其廣泛的應用，它是研究其他變換方法的基礎。而且出現了”快速傅里葉變換（FFT）”它給傅里葉分析這一數學工具增添了新的生命力。傅里葉分析方法不僅應用于電力工程、通信和控制領域之中，而且在力學、光學、量子物理和各種線性系統分析等許多有關數學、物理和工程技術領域中得到廣泛的應用。本章討論的路線：傅里葉級數正交函數——傅里葉變換，建立信號頻譜的概念；通過典型信號頻譜以及傅里葉變換性質的研究，掌握傅里葉分析方法的應用。對于周期信號而言，進行頻譜分析可用傅里葉級數或傅里葉變換；傅里葉級數相當于傅里葉變換的一種特殊表達形式。最后對研究周期信號與抽樣信號的傅里葉變換，并介紹抽樣定理，抽樣定理奠定了數字通信的理論基礎。

第二節

周期信號的傅里葉級數分析

一、三角函數形式的傅里葉級數

1、一種三角函數形式的傅里葉級數

為了積分方便，通常取積分區間為：三角函數集是一組完備函數集。2、另一種三角函數形式的傅里葉級數

3、傅里葉級數展開的充分條件通常所遇到的周期性信號都能滿足此條件，因此，以后除非特殊需要，一般不再考慮這一條件。4、基波、諧波

通常把頻率為：稱為基波。頻率為：稱為二次諧波。頻率為：稱為三次諧波。頻率為：稱為三次諧波。可見，直流分量的大小以及基波與各次諧波的幅度、相位取決于周期信號的波形。5、幅度譜、相位譜

周期信號的主要特點：二、指數形式的傅里葉級數

1、指數形式的傅里葉級數的形式

2.指數形式的傅里葉級數中各個量之間的關系

3.指數形式表示的信號頻譜--復數頻譜Fn一般是復函數，所以稱這種頻譜為復數頻譜。幅度譜與相位譜合并正、負頻率相應項成對合并，才是實際頻譜函數。4.周期信號的功率特性—時域和頻域能量守恒定理周期信號的平均功率P：在一個周期內求平方再求積分。帕塞瓦爾定理1.函數的對稱性三、函數的對稱性與傅里葉系數的關系要將信號f(t)展開為傅里葉級數，如果f(t)是實函數，且它波形滿足某種對稱性，則在其傅里葉級數中有些項為0，留下的各項系數的表示式也比較簡單。波形對稱性有兩類：（1）對整周期對稱。即偶函數和奇函數。（2）對半周期對稱。即奇諧函數、偶諧函數。2.傅里葉級數的系數求解(1)偶函數信號例如：周期三角波信號是一偶函數其傅里葉級數表達式為：其傅里葉級數表達式為：例如：周期鋸齒波信號是一奇函數（2）奇函數信號（3）奇諧函數信號（半波對稱函數）奇諧函數信號：若波形沿時間軸平移半個周期并相對于該軸上下反轉，此時波形并不發生變化，即滿足：00a=例子例如：奇諧函數四、傅里葉有限級數與最小方均誤差實際應用中，經常采用有限項級數來代替無限項級數。顯然，有限項數是一種近似的方法，所選項數愈多，有限項級數愈逼近原函數，其方均誤差愈小。例子以下為對稱方波，注意不同的項數，有限級數對原函數的逼近情況，并計算由此引起的方均誤差。只取基波分量一項解：其傅里葉級數表達式為：從上面例子看出：（1）n愈大，則愈逼近原信號f(t)。(2)當信號f(t)是脈沖信號時，其高頻分量主要影響脈沖的跳變沿；低頻分量影響脈沖的頂部。f(t)波形變化愈劇烈，所含的高頻分量愈豐富；f(t)變化愈緩慢，所含的低頻分量愈豐富。(3)當信號中任一頻譜分量的幅度或相位發生相對變化時，輸出波形一般要發生失真。取基波分量和三次諧波分量取基波、三次諧波分量和五次諧波分量當選取傅里葉有限級數的項數N很大時，該峰起值趨于一個常數，它大約等于總跳變值的9%，并從不連續點開始以起伏振蕩的形式逐漸衰減下去。此現象稱為吉布斯現象。五、吉布斯（Gibbs）現象舉例3.1：解：舉例3.2：作業P1603-1，3-2，3-3，3-8

第三節

典型周期信號的傅里葉級數

典型周期信號的傅里葉級數典型周期信號的頻譜分析可利用：傅里葉級數或傅里葉變換介紹的典型周期信號有如下：1、周期矩形脈沖信號2、周期鋸齒脈沖信號3、周期三角脈沖信號4、周期半波余弦信號5、周期全波余弦信號1、周期矩形脈沖信號(1)周期矩形脈沖信號的傅里葉級數求解周期矩形脈沖：脈寬為，脈沖幅度為E，周期為T1。解：（2）周期矩形脈沖信號的幅度、相位譜幅度譜相位譜復數頻譜：實數頻譜：幅度譜與相位譜合并周期對稱方波信號是周期矩形信號的一種特殊情況，對稱方波信號有兩個特點：a.是正負交替的信號，其直流分量a0等于零。b.它的脈寬恰等于周期的一半，即t=T1/2（3）舉例：周期對稱方波信號的傅里葉級數解：幅度譜相位譜(2)周期鋸齒脈沖信號的傅里葉級數求解周期鋸齒脈沖信號，是奇函數。解：它是奇函數可求出傅里葉級數的系數bn,留給同學們做。其傅里葉級數表達式為：此信號的頻譜只包含正弦分量，諧波的幅度以1/n的規律收斂。(3)周期三角脈沖信號的傅里葉級數求解周期三角脈沖信號，是偶函數。解：它是偶函數可求出傅里葉級數的系數a0,an,留給同學們做。此信號的頻譜只包含直流、基波及奇次諧波分量，諧波的幅度以1/n2的規律收斂。其傅里葉級數表達式為：(4)周期半波余弦信號的傅里葉級數求解周期半波余弦信號，是偶函數。解：它是偶函數可求出傅里葉級數的系數a0,an,留給同學們做。此信號的頻譜只包含直流、基波及偶次諧波分量，諧波的幅度以1/n2的規律收斂。其傅里葉級數表達式為：(5)周期全波余弦信號的傅里葉級數求解周期全波余弦信號，是偶函數。解：令余弦信號為此信號的頻譜只包含直流、基波及偶次諧波分量，諧波的幅度以1/n2的規律收斂。其傅里葉級數表達式為：則，全波余弦信號為：作業P1603-4，3-6，3-7，3-10，3-11(a)，3-12，

第四節

傅里葉變換

一、傅里葉變換（非周期信號）1.傅里葉變換引入

由于周期信號的周期T1，譜線的間隔w10，則離散譜變成連續譜。由于周期信號的周期T1，譜線的長度F(nw1)趨于零，則其頻譜失去應有的意義。但從物理意義上講，既然是一個信號，那么必然有能量，無論如何分解，必須存在頻譜分布。2.頻譜密度的概念

對非周期信號不能采用周期信號的頻譜定義方式。而必須引入一個新的量。頻譜密度函數：在T1，譜線的間隔w10,不趨于零，而趨近于有限值，且變成一個連續函數，簡稱為頻譜函數。3.傅里葉變換定義由：得：4.非周期信號的幅度頻譜與相位頻譜頻譜函數F(w)：一般是復函數。：是F(w)的模，它代表信號中各頻率分量的相對大小。：是F(w)的相位函數，它代表信號中各頻率分量的相位關系。人們習慣上也把：：為非周期信號的幅度頻譜；：為非周期信號的相位頻譜。5.傅里葉變換形式的三角形式6.傅里葉變換的特點非周期信號和周期信號一樣，可以分解成許多不同頻率的正、余弦分量。由于非周期信號的周期趨于無限大，基波趨于無限小，于是它包含了從零到無限高的所有頻率分量。由于周期趨于無限大，因此，對任一能量有限（功率無限）的信號（如單脈沖信號），在各頻率點的分量幅度趨于零。非周期信號的頻譜用頻譜密度來表示。看出：周期信號其頻譜為離散譜；（傅里葉級數）非周期信號其頻譜為連續譜；（傅里葉變換）周期信號與非周期信號，傅里葉級數與傅里葉變換，離散譜與連續譜，在一定條件下可以互相轉化并統一起來。7.傅里葉變換的存在充分條件傅里葉變換存在的充分條件是在無限內滿足絕對可積條件：借助奇異函數（如沖激函數）的概念，可使許多不滿足絕對可積條件的信號，如周期信號、階躍信號、符號函數等存在傅里葉變換。

第五節

典型非周期信號的傅里葉變換

典型非周期信號的傅里葉變換

本節主要介紹以下幾種典型的非周期信號的頻譜。1、單邊指數信號2、雙邊指數信號3、奇雙邊指數信號4、矩形脈沖信號5、鐘形脈沖信號6、符號函數7、升余弦脈沖信號一、單邊指數信號的傅里葉變換

其傅里葉變換為：代入傅里葉變換定義公式中解：單邊指數信號的頻譜如下：時域波形頻域頻譜二、雙邊指數信號的傅里葉變換

其傅里葉變換為：代入傅里葉變換定義公式中解：雙邊指數信號的頻譜如下：頻域頻譜時域波形相位等0三、奇雙邊指數信號的傅里葉變換

頻域頻譜時域波形四、矩形脈沖信號的傅里葉變換

時域有限的矩形脈沖信號，在頻域上是無限分布。通常，認為信號占有頻率范圍（頻帶）為五、鐘形脈沖信號的傅里葉變換（高斯脈沖）

其傅里葉變換為：因為鐘形脈沖信號是一正實函數，所以其相位頻為零。六、符號函數的傅里葉變換

其傅里葉變換為：

這種信號不滿足絕對可積條件，但它卻存在傅里葉變換。采用符號函數與雙邊指數衰減函數相乘，求出奇雙邊指數的頻譜，再取極限，從而求得符號函數的頻譜。七、升余弦脈沖信號的傅里葉變換

升余弦脈沖信號：其傅里葉變換為：

它的頻譜是由三項構成的，他們都是矩形脈沖的頻譜，只是有兩項沿頻率軸左、右平移了代入傅里葉變換定義公式中解：化簡得：作業P1643-15，3-16，3-17，3-18，3-19，3-20，3-21，3-22，3-23，3-24，3-25，3-26，3-27，3-28，3-29，

第六節

沖激函數和階躍函數的傅里葉變換

（1）沖激函數的傅里葉正變換

f(t)=d(t)一、沖激函數的傅里葉變換

單位沖激函數的頻譜等于常數，即：在整個頻率范圍內頻譜是均勻分布的。在時域中變化異常劇烈的沖激函數包含幅度相等的所有頻率分量。稱此頻譜為“均勻譜”或“白色譜”。其傅里葉變換為：（2）沖激函數的傅里葉反變換

其傅里葉變換為：直流信號f(t)=E求f(t)沖激函數的頻譜等于常數。反過來，直流信號的頻譜是沖激函數。求解直流信號的傅里葉變換解：采用寬度為的矩形脈沖的極限而求得。當時，矩形脈沖成為直流信號f(t)=E,其傅氏變換為：若令比較上兩式可得到：當E=1時，二、沖激偶信號的傅里葉變換

沖激偶函數：其傅里葉變換為：推導：解：

兩邊求導：得：推廣：：

三、階躍信號的傅里葉變換

階躍函數：階躍函數u(t)不滿足絕對可積條件，但它仍存在傅里葉變換。可見：單位階躍函數u(t)的頻譜在w=0點存在一個沖激函數，即：u(t)含有直流分量。此外：由于u(t)不是純直流信號，它在t=0點有跳變，因此在頻譜中還存在其他頻率分量。第七節

傅里葉變換的基本性質

傅里葉變換的性質傅里葉變換建立了時間函數f(t)與頻譜函數F(w)之間的對應關系。其中，一個函數確定之后，另一函數隨之被唯一地確定。1、對稱性2、線性（疊加性）3、奇偶虛實性4、反折5、共軛性能6、尺度變換特性7、時移特性8、頻移特性9、微分特性10、積分特性傅里葉變換的性質TT傅里葉變換的性質TTT其中，a1,a2為常數傅里葉變換的性質為復函數傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質當信號在時域中壓縮（a>0)，等效于在頻域中擴展。當信號在時域中擴展（a<0)，等效于在頻域中壓縮。當信號在時域中沿縱軸反折（a=-1)，說明信號在時域中沿縱軸反折等效于在頻域中頻譜也沿縱軸反折。即：信號的波形壓縮a倍，信號隨時間變化加快a倍，則它所包含的頻率分量增加a倍。即頻譜展寬a倍。根據能量守恒定律，各頻率分量的大小必然減小a倍。在通信系統中，通信速度與占用頻帶寬度是一對矛盾。傅里葉變換的性質信號在時域中延時t-t0（沿時間軸右移），等效于在頻域中相位產生偏差（-wt0),其幅度譜不變。例3-2求下列所示三脈沖信號的頻譜。解：令f0(t)表示矩形單脈沖信號由時移特性可得：其頻譜如下：例3-3求雙Sa信號的頻譜。解：令f0(t)表示為Sa信號波形由時移特性得：已知F0(w)表示為Sa信號頻譜可得幅度譜：雖然單Sa信號的頻譜最為集中，但它含有直流分量，使得它在實際傳輸過程中帶來不便，而雙Sa信號的頻譜能消去直流分量。傅里葉變換的性質頻譜搬移技術在通信中應用廣泛。如調幅、同步解調、變頻等過程都是在頻譜搬移的基礎上完成的。頻域上右移w0,等效時域中信號調制。即乘以因子例3-4已知矩形調幅信號如圖所示其中G(t)為矩形脈沖，脈幅為E，脈寬為，試求其頻譜。解：G(t)矩形脈沖的頻譜為：根據頻移特性：f(t)的頻譜F(w)為其頻譜圖為：例3-5已知余弦信號利用頻移定理求其頻譜。解：已知直流信號的頻譜是位于w=0點的沖激函數，即利用頻移定理，可求得其頻譜位于0,頻譜圖如下：余弦、正弦信號即為單頻信號。傅里葉變換的性質例子已知單位階躍信號u(t)的傅里葉變換利用時域微分定理，求(t)及’(t)。解：例3-6已知三角脈沖信號利用微分特性求其頻譜F(w).解：f(t)的波形如右求導再求導求其頻譜最后求出f(t)的頻譜F(w).將f(t)取一階與二階導數：求出二階導數的頻譜F2(w).求得f(t)的頻譜為：其頻譜圖例3-7求下列截平斜變信號的頻譜解：利用積分特性求y(t)的頻譜Y(w).已知：矩形脈沖信號f(t)，其積分就是y(t)求積分通過積分特性求其頻譜最后求出y(t)的頻譜Y(w).已知矩形脈沖信號f(t)的頻譜根據積分特性求出y(t)的頻譜Y(w).時移時移作業P1683-20，3-21，3-22，3-23，3-24，3-25，3-26，3-27，3-28，3-29，3-30，第八節

卷積特性（卷積定理）

卷積特性是傅里葉變換性質之一，由于它在通信系統和信號處理中的重要地位－－應用最廣。所以單獨以一節來講。共分二個定理：時域卷積定理頻域卷積定理卷積特性１、時域卷積定理

給定兩個時間函數已知：則：時域卷積

頻域相乘。即：兩個時間函數卷積的頻譜等于各個時間函數頻譜的乘積。證明：

根據卷積定義則：２、頻域卷積定理

給定兩個時間函數已知：則：頻域卷積

時域相乘。即：兩個時間函數頻譜的卷積等效于各個時間函數的乘積（乘以系數）。例3-８已知余弦脈沖信號解：把余弦脈沖信號看成是矩形脈沖信號Ｇ(t)與周期余弦信號相乘。利用卷積定理求其的頻譜。乘以等于時域：頻域：卷積等于已知：化簡得：例3-９題目同例３－６已知三角脈沖信號利用卷積定理求其頻譜F(w).解：兩個同樣矩形脈沖的卷積即為三角脈沖。如下：卷積等于時域卷積等于頻域相乘。乘以等于即求出三角脈沖的頻譜F(w).補充例子3.１：請同學們畫出頻譜圖用ＭＡＴＬＡＢ畫出頻譜圖：補充3.２：已知f(t)=g2(t)cos(500t)，求其頻譜函數cos(100t)cos(1000t)

解：頻譜圖補充例子3.３：頻譜圖：補充例３.４：補充例3.５：頻譜圖：作業P1693-31，3-32，3-33，3-34，第九節

周期信號的傅里葉變換

一、周期信號的傅里葉變換

周期信號-------傅里葉級數非周期信號-------傅里葉變換周期無窮大求和變求積分

周期信號不滿足絕對可積條件，但在允許沖激函數存在并認為它有意義的前提下，絕對可積條件就成為不必要的限制。也就有周期信號的傅里葉變換。目的：把周期信號與非周期信號的分析方法統一起來，使傅里葉變換得到廣泛應用。1.正弦、余弦周期信號的傅里葉變換

頻譜例子其頻譜圖為：有限長的余弦信號

有限長余弦信號f0(t)的寬度增大時，頻譜F0()越來越集中到1的附近，當，有限長余弦信號就變成無窮長余弦信號，此時頻譜在1處成為無窮大，而在其他頻率處均為零。即此時頻譜變為位于1的兩個沖激函數。2.一般周期信號的傅里葉變換

令周期信號f(t)的周期為T1，角頻率為1=2f1其中：2.單脈沖信號的傅里葉變換

單脈沖信號：從周期脈沖信號f(t)中截取一個周期，得到單脈沖信號。單脈沖的傅里葉變換F0():為非周期信號直接用傅里葉變換定義公式。3.利用單脈沖信號求周期信號的傅里葉變換

周期信號的傅里葉級數的系數Fn等于單脈沖信號的傅里葉變換F0()在n1頻率點的值乘以1/T1。或寫成周期信號與單脈沖信號的關系：可利用單脈沖的傅里葉變換方便求出周期性信號的傅里葉級數的系數。例3-10求周期單位沖激序列的傅里葉級數與傅里葉變換。解：畫波形單位沖激函數的間隔為T1，用符號T(t)表示周期單位沖激序列：FS可見，在周期單位沖激序列的傅里葉級數中只包含位于=0,1,21,n1,的頻率分量，且分量大小相等，均等于1/T1。FTT(t)是周期函數，求其傅里葉級數：求T(t)的傅里葉變換。可見，在周期單位沖激序列的傅里葉變換中只包含位于=0,1,21,n1,頻率處的沖激函數，其強度大小相等，均等于1。例3-11求周期矩形脈沖信號的傅里葉級數和傅里葉變換。解：先求矩形單脈沖信號f0(t)的傅里葉變換F0(w)……再求周期矩形脈沖信號的傅里葉級數Fn……求得周期矩形脈沖信號的傅里葉級數：最后求周期矩形脈沖信號的傅里葉變換F(w)。看出：周期信號頻譜是離散的；非周期信號的頻譜是連續。第十節

抽樣信號的傅里葉變換

一、抽樣、抽樣信號的概念1.抽樣

抽樣：利用抽樣脈沖序列p(t)從邊續信號f(t)中“抽取”一系列的離散樣值的過程，稱之。2.抽樣信號

抽樣信號：經抽取后的一系列的離散信號稱之。請同學們注意區別：抽樣信號與抽樣函數Sa(t)=sint/t是完全不同的兩個含義。抽樣也稱為“采樣”或“取樣”。二、實現抽樣的原理及框圖1.原理

抽樣原理：連續信號經抽樣成抽樣信號，再經量化、編碼變成數字信號。將這種數字信號經傳輸，進行上述逆過程，就可恢復出原連續信號。2.框圖

抽樣量化編碼抽樣過程方框圖連續信號f(t)抽樣信號數字信號fs(t)抽樣脈沖p(t)三、抽樣后，提出的問題抽樣后，有兩個問題要解決：1.抽樣信號fs(t)的傅里葉變換？它和未經抽樣的原連續信號f(t)的傅里葉變換有什么聯系？（本節討論的內容）

２.連續信號被抽樣后，它是否保留了原信號f(t)的全部信息？即在什么條件下，可從抽樣信號fs(t)中無失真地恢復出原連續信號f(t)？（下節討論）

四、抽樣方式抽樣有兩種方式：1.時域抽樣

２.頻域抽樣五、時域抽樣設連續信號抽樣脈沖信號抽樣后信號fs(t)若采用均勻抽樣，抽樣周期為Ts，抽樣頻率為抽樣過程：通過抽樣脈沖序列p(t)與連續信號f(t)相乘。即：p(t)是周期信號，其傅里葉變換其中是p(t)的傅里葉級數的系數根據頻域卷積定理：化簡結論：信號時域抽樣：（1）其頻譜Fs(w)是連續信號頻譜F(w)是原信號頻譜的周期延拓；（2）其周期為抽樣頻率ws，（3）其幅度被Pn加權。由于Pn僅是n的函數，所以其形狀不會發生變化。六、抽樣脈沖序列的形狀可采用不同的抽樣脈沖進行抽樣，討論兩種典型的抽樣脈沖序列：1.矩形脈沖抽樣(自然抽樣）

２.沖激抽樣（理想抽樣）1.矩形脈沖抽樣(自然抽樣）抽樣脈沖p(t)是矩形，它的脈沖幅度為E，脈寬為，抽樣角頻率為s(抽樣間隔為Ts)，頻譜……頻譜頻譜相乘頻譜卷積求得頻譜包絡幅度：得到矩形抽樣信號的頻譜：說明：矩形抽樣在脈沖頂部不是平的，而是隨f(t)變化的，故稱之“自然抽樣”。2.沖激抽樣(理想抽樣）若抽樣脈沖p(t)是沖激序列頻譜頻譜…………得到沖激抽樣信號的頻譜：頻譜相乘頻譜卷積求得頻譜包絡幅度：……不管矩形脈沖抽樣或沖激抽樣，其抽樣后的信號其頻譜是離散周期的信號，其頻譜的周期為：結論：對于矩形脈沖抽樣，其頻譜的幅度隨Sa函數變化。對于沖激抽樣，其頻譜的幅度為常數。沖激抽樣是矩形脈沖抽樣的一種極限情況。實際抽樣為矩形脈沖抽樣。例子

鐘形連續信號：用間隔矩形脈沖p(t)進行抽樣則抽樣信號其抽樣信號的頻譜為其頻譜為：抽樣信號的傅里葉變換

七、頻率抽樣

設連續信號若已知連續信號頻譜則抽樣后的頻譜:其中理想抽樣信號為:即在頻域上抽樣:對