第二章：自動控制系統的數學模型第二章自動控制系統的數學模型系統的數學模型：描述系統中各個變量之間關系的數學形式和方法—數學表達式變量之間關系靜態關系動態關系控制理論研究的對象時域模型—微分方程復頻域模型—傳遞函數框圖，信流圖頻域模型—頻率特性、Bode圖數學模型基礎第二章自動控制系統的數學模型建模方法:分析法(理論建模)實驗法(系統辨識)分析法適用于對系統中各元件的物理、化學等性質比較清楚的情況。根據系統的實際結構參數，從系統各元件所依據的物理、化學等規律出發建立系統的數學模型如果不了解系統的運動規律，則應使用實驗法建立數學模型，即：在系統或元件的輸入端加入一定形式的輸入信號，再根據測量的輸出響應建立其數學模型著重介紹數學模型----------物理模型第二章自動控制系統的數學模型第一節控制系統的時域數學模型-----微分方程的建立一、微分方程的建立1.線性定常微分方程的一般形式控制系統中的輸出量和輸入量通常都是時間t的函數。很多常見的元件或系統的輸出量和輸入量之間的關系都可以用一個微分方程表示，方程中含有輸出量、輸入量及它們各自對時間的導數或積分。這種微分方程又稱為動態方程、運動方程或動力學方程。微分方程的階數一般是指方程中最高導數項的階數，又稱為系統的階數。第二章自動控制系統的數學模型2.建立系統微分方程的一般步驟或方法1）分析元件的工作原理和在系統中的作用，確定元件的輸入量和輸出量（必要時還要考慮擾動量），并根據需要引入中間變量2）根據各元件在工作過程中所遵循的物理或化學定律，忽略次要因素，并考慮相鄰元件的彼此影響，列寫微分方程。常用定律：電路系統的基爾霍夫定律、力學的牛頓定律和熱力學定律等

3）消去中間變量，得到描述輸出量與輸入量（包括擾動量）關系的微分方程，即元件的數學模型4）標準化。通常將微分方程寫成標準形式，即將與輸入量有關的各項寫在方程的右邊，與輸出量有關的各項寫在方程的左邊方程兩邊各導數項均按降階順序排列。5）并將各項系數歸一化為具有一定物理意義的形式第二章自動控制系統的數學模型3.舉例1）電氣系統

電氣系統中最常見的裝置是由電阻、電感、電容、運算放大器等元件組成的電路，又稱電氣網絡。電阻、電感、電容這類本身不含有電源的器件稱為無源器件，運算放大器這種本身包含電源的器件稱為有源器件。僅由無源器件組成的電氣網絡稱為無源網絡。如果電氣網絡中包含有源器件或電源，就稱為有源網絡。基本定律：基爾霍夫電壓、電流定律歐姆定律第二章自動控制系統的數學模型例一：列寫下圖的運動方程RCi(t)u1(t)u2(t)第二章自動控制系統的數學模型例二：如圖RLC電路，試列寫以U1(t)為輸入量，U2(t)為輸出量的網絡微分方程RLCi(t)u1(t)u2(t)第二章自動控制系統的數學模型2）機械系統機械系統指的是存在機械運動的裝置，它們遵循物理學的力學定律。機械運動包括直線運動（相應的位移稱為線位移）和轉動（相應的位移稱為角位移）兩種基本定律：力學定律牛頓第二定律牛頓轉動定律第二章自動控制系統的數學模型例1：試列寫質量m在外力F作用下位移y(t)的運動方程。

Fy(t)kfm解:阻尼器的阻尼力:彈簧彈性力:整理得:第二章自動控制系統的數學模型比較上2例可見，雖然它們為兩種不同的物理系統，但它們的數學模型的形式卻是相同的，我們把具有相同數學模型的不同物理系統稱為相似系統，例如RLC串聯網絡系統和彈簧-質量-阻尼器系統即為一對相似系統。在相似系統中，占據相應位置的物理量稱為相似量。相似系統揭示了不同物理現象之間的相似性，可以進行仿真研究。第二章自動控制系統的數學模型4.非線性系統的線性化（小偏差線性化）原則上講，實際物理系統都是非線性系統兩個基本假設：（1）系統中的變量在某一工作點附近作微小變化；（2）非線性特性在該工作點可導.定義：將非線性微分方程轉化為線性微分方程的方法稱為小偏差線性化.方法：其非線性特性曲線可以用該工作點的切線代替第二章自動控制系統的數學模型線性化的方法1)將非線性函數在工作點X0附近展成臺勞級數，略去高次項，得到一個以增量為變量的線性函數2)由于很小，其二次方及二次方以上各項可略去，得：第二章自動控制系統的數學模型3)兩個自變量：y=f(x1，x2)靜態工作點：y0=f(x10，x20)在y0=f(x10，x20)附近展開成泰勒級數，即函數變化與自變量變化成線性比例關系注意：①適用于不太嚴重的非線性系統，其非線性函數可利用泰勒級數展開②實際運行情況是在某個平衡點附近，且變量只能在小范圍內變化③k值隨靜態工作點而變④只適用于無間斷點、折斷點的單值函數

第二章自動控制系統的數學模型例：某一電加熱爐，輸入量為電壓u，輸出量為溫度T，求系統數學模型電阻為R的電爐絲產生熱量電爐絲產熱速率單位為卡/秒設電爐絲每秒向周圍散熱速率為Фs,

Фs=K(T-Te)實際每秒使電爐升溫熱量為Ф-

Фs，令電爐熱容量為C，單位為卡/℃則：第二章自動控制系統的數學模型在u0處把u2展成泰勒級數Δu為電路控制電壓的增量得到一階微分方程第二章自動控制系統的數學模型第二節線性常微分方程的解求解方法：經典法；拉氏變換法。零狀態響應；零輸入響應。拉氏變換法求解步驟：

1.考慮初始條件，對微分方程中的每一項分別進行拉氏變換，得到變量s的代數方程；

2.求出輸出量拉氏變換函數的表達式；

3.對輸出量拉氏變換函數求反變換，得到輸出量的時域表達式，即為所求微分方程的解。第二章自動控制系統的數學模型第三節控制系統的復頻域數學模型-----傳遞函數

一個控制系統性能的好壞，取決于系統的內在因素，即系統的結構參數，而與外部施加的信號無關。因而，對于一個控制系統品質好壞的評價可以通過對系統結構參數的分析來達到，而不需要直接對系統輸出響應進行分析。傳遞函數是在拉氏變換基礎之上引入的描述線性定常系統或元件輸入、輸出關系的函數。它是和微分方程一一對應的一種數學模型，它能方便地分析系統或元件結構參數對系統響應的影響。當初始條件為零時，線性定常系統或元件輸出信號c（t）的拉氏變換式與輸入信號r（t）的拉氏變換式之比，稱為該系統或元件的傳遞函數，記為G（s）微分方程求解---復雜，引入傳遞函數一、傳遞函數的概念和定義第二章自動控制系統的數學模型定義：線性定常系統在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為傳遞函數第二章自動控制系統的數學模型二、傳遞函數的幾點說明1、傳遞函數和微分方程一樣，表示系統的運動特性，是系統數學模型的一種表示形式，它與系統的運動方程一一對應。即傳遞函數與微分方程有相通性，t---S，可經簡單置換而轉換2、傳遞函數是由Laplace變換導出的，它只適用于線性定常系統，且只能反映零初始條件下的全部運動規律3、傳遞函數只適合單輸入、單輸出系統。若某系統選擇不同變量作為輸入輸出信號，得到傳遞函數不同。若系統由多個輸入，除了一個有關輸入外，其他輸入為04、傳遞函數不能反映系統或元件的物理結構，許多物理性質截然不同的系統或元件，它們可以有相同形式的傳遞函數；同一物理系統，由于描述不同端口關系，傳遞函數可能不同。5、傳遞函數只取決于系統和元件的結構，與輸入信號無關第二章自動控制系統的數學模型6、在實際物理系統中，系統的輸出不能立即復現輸入信號，只有經過一定時間后輸出量才能達到輸入量所要求數值，因而有：n≥m7、傳遞函數還可以用下式表達Kg為零極點形式傳遞函數的增益，-zi分子多項式M(S)=0的根，稱為零點；-pj分母多項式N(S)=0的根，稱為極點，分母多項式的階次代表系統傳遞函數的階次。－zi、－pi可為實數、虛數、或復數。若為虛數、或復數，必為共軛虛數、或共軛復數。分母多項式N（s）=0是控制系統的特征方程式，其根為特征根，特征根就是傳遞函數的極點。注意，只有當上式中的分子及分母多項式間沒有公因子時，傳遞函數的零、極點才會和系統的零、極點完全相同；分母多項式的階次才代表系統的階次傳遞函數。第二章自動控制系統的數學模型三、傳遞函數的求法1、直接計算法對于元件或簡單系統，首先建立描述元件或系統的微分方程式，然后在零初始條件下，對方程式進行拉氏變換，即可按傳遞函數的定義求得元件或系統的傳遞函數2、求取無源網絡或電子調節器的傳遞函數，采用阻抗法求取更為方便。下表列出了電路中電阻、電容和電感的阻抗傳遞函數元件名稱電路形式元件微分方程阻抗傳遞函數電阻R

電感L電容C

第二章自動控制系統的數學模型3、利用框圖求取傳遞函數對于復雜系統，應先求出元件的傳遞函數，再利用框圖和框圖運算法則，可方便地求解系統的傳遞函數。該方法將在后面討論。4、利用梅遜公式求取傳遞函數該方法將在后面討論。5、由線性系統的齊次性和疊加性可知：作用于線性定常系統的多個輸入信號（它們可以作用于不同的輸入端）的總的響應等于各個輸入信號單獨作用時產生的響應的代數和。線性系統的這兩個重要性質使得線性定常系統的傳遞函數的求法大為簡化。第二章自動控制系統的數學模型例一、求下圖的傳遞函數解：列回路電壓方程：取拉式變換，令初始條件為零消去中間變量，得：第二章自動控制系統的數學模型四、基本環節及其傳遞函數

若通過微分方程的最簡單形式（如一階或二階微分方程式）描述元件或其中一部分的動態性能時，通常稱這種簡單形式為典型環節（TypicalElements）

控制系統中有許多結構性質不同的元件，只要它們的數學模型的形式相同，則其動態性能也必然存在內在的聯系，因而可以把它們歸成一類，以有利于研究系統內部各單元之間的動態關系控制系統可視為由若干典型環節按一定方式組合而成。同時，基于環節的定義，一個元件可能是一個典型環節，但也可能包含數個典型環節，或者由數個典型環節構成一個環節典型環節都可以用功能框（FunctionBlock）表示。功能框是用帶框的圖形符號（包含輸入、輸出信號間的功能關系）來表示功能相關的元件的組合體第二章自動控制系統的數學模型1．比例環節

比例環節又稱為放大環節，其輸出量與輸入量之間的關系成正比關系，既它的輸出量能夠無失真、無滯后地，按一定的比例復現輸入量。其傳遞函數為:第二章自動控制系統的數學模型積分環節的傳遞函數為

2．積分環節積分環節的輸出量是輸入量對時間的積分，即K為比例系數，K與時間量綱有關。當輸入量和輸出量為相同的物理量時，K的量綱為s-1，故可將積分環節的系數（積分時間常數）寫成第二章自動控制系統的數學模型3．慣性環節慣性環節又稱非周期環節，其輸出量和輸入量之間的關系可用以下的微分方程描述對應的傳遞函數為式中T——時間常數

K——比例系數第二章自動控制系統的數學模型5．一階微分環節該環節的輸出等于輸入與其一階導數的加權和，其傳遞函數為比例微分環節為比例環節和理想微分環節的疊加。比例-微分環節與慣性環節的傳遞函數互為倒數4．純微分環節理想微分環節的特點是，其輸出量與輸入量的一階微分成正比τ—時間常數。其傳遞函數為當τ?1時，才能近似地得到第二章自動控制系統的數學模型