總復習數字圖象基礎數字圖象處理基礎數字圖象分析數字圖象壓縮數字圖象與互聯網11.1圖像退化與復原1.圖像退化

數字圖像在獲取的過程中，由于光學系統的像差、光學成像衍射、成像系統的非線性畸變、攝影膠片的感光的非線性、成像過程的相對運動、大氣的湍流效應、環境隨機噪聲等原因，圖像會產生一定程度的退化。因此，必須采取一定的方法盡可能地減少或消除圖像質量的下降，恢復圖像的本來面目，這就是圖像復原，也稱為圖像恢復。

2.圖像復原

圖像復原是利用退化現象的某種先驗知識，建立退化現象的數學模型，再根據模型進行反向的推演運算，以恢復原來的景物圖像。因而，圖像復原可以理解為圖像降質過程的反向過程。建立圖像復原的反向過程的數學模型，就是圖像復原的主要任務。3.圖像降質的數學模型

原始圖像f(x,y)經過一個退化算子或退化系統H(x,y)的作用，再和噪聲n(x,y)進行疊加，形成退化后的圖像g(x,y)。圖像的退化模型圖像退化的過程可以用數學表達式寫成如下的形式： g(x,y)=H［f(x,y)］+n(x,y)

一幅連續圖像f(x,y)可以看作是由一系列點源組成的。因此，f(x,y)可以通過點源函數的卷積來表示。即式中，δ函數為沖擊函數，表示空間上的點脈沖。在不考慮噪聲的一般情況下，連續圖像經過退化系統H后的輸出為h(x-α,y-β)為該退化系統的沖激響應函數。它表示系統對坐標為(a,β)處的沖激函數δ(x-α,y-β)的響應。也就是說，只要系統對沖激函數的響應為已知，那么就可以清楚圖像退化是如何形成的。在頻域上，可以寫成其中，G(u,v)、F(u,v)、N(u,v)分別是退化圖像g(x,y)、原圖像f(x,y)、噪聲信號n(x,y)的傅立葉變換；H(u,v)是系統的點沖激響應函數h(x,y)的傅立葉變換，稱為系統在頻率域上的傳遞函數。

11.1.2離散圖像退化的數學模型1.一維離散退化模型

設f(x)為具有A個采樣值的離散輸入函數，h(x)為具有B個采樣值的退化系統的沖激響應函數，則經退化系統后的離散輸出函數g(x)為輸入f(x)和沖激響應h(x)的卷積，即g(x)=f(x)*h(x)

為了避免上述卷積所產生的各個周期重疊（設每個采樣函數的周期為M），分別對f(x)和h(x)用添零延伸的方法擴展成周期M=A+B-1的周期函數，即輸出為式中，x=0,1,2,…,M-1。

因為fe(x)和he(x)已擴展成周期函數，故ge(x)也是周期性函數，用矩陣表示為因為he(x)的周期為M，所以he(x)=he(x+M)，即M×M階矩陣H可寫為

2.二維離散模型

設輸入的數字圖像f(x,y)大小為A×B，點擴展函數h(x,y)被均勻采樣為C×D大小。為避免交疊誤差，仍用添零擴展的方法，將它們擴展成M=A+C-1和N=B+D-1個元素的周期函數。

則輸出的降質數字圖像為式中：x=0,1,2,…,M-1；y=0,1,2,…,N-1。11.2非約束復原11.2.1逆濾波

由前式可得

逆濾波法是指在對n沒有先驗知識的情況下，可以依據這樣的最優準則，即尋找一個，使得在最小二乘方誤差的意義下最接近g，即要使n的模或范數（norm）最小：

極小值為

如果我們在求最小值的過程中，不做任何約束，稱這種復原為非約束復原。由極值條件解出為作傅立葉變換，得

11.2.2非約束圖像復原的病態性質

當某點或區域H(u,v)很小或等于零時，就會導致不穩定解。因此，即使沒有噪聲，一般也不可能精確地復原f(x,y)。如果考慮噪聲項N(x,y)，則出現零點時，噪聲項將被放大，零點的影響將會更大，對復原的結果起主導地位，這就是無約束圖像復原模型的病態性質。解決方法：（1）利用有約束圖像復原；（2）利用噪聲一般在高頻范圍，衰減速度較慢，而信號的頻譜隨頻率升高下降較快的性質，在復原時，只限制在頻譜坐標離原點不太遠的有限區域內運行，而且關心的也是信噪比高的那些頻率位置。11.3最小二乘類約束復原

由于傳遞函數存在病態問題，復原只能局限在靠近原點的有限區域內進行，這使得非約束圖像復原具有相當大的局限性。最小二乘類約束復原是指除了要求了解關于退化系統的傳遞函數之外，還需要知道某些噪聲的統計特性或噪聲與圖像的某些相關情況。根據所了解的噪聲的先驗知識的不同，采用不同的約束條件，可得到不同的圖像復原技術。在最小二乘類約束復原中，要設法尋找一個最優估計，使得形式為 的函數最小化。求這類問題的最小化，常采用拉格朗日乘子算法。也就說，要尋找一個，使得準則函數為最小。式中,Q為的線性算子，α為一常數，稱為拉格朗日乘子。對上式求導得求解得到

式中，γ=1/α，這個常數必須調整到約束被滿足為止。求解上式的關鍵就是如何選用一個合適的變換矩陣Q。選擇的Q的形式不同，就可得到不同類型的有約束的最小二乘類圖像復原方法。11.3.1維納濾波

在一般情況下，圖像信號可近似地認為是平穩隨機過程，維納濾波將原始圖像f和對原始圖像的估計看作為隨機變量。假設Rf和Rn為f和n的自相關矩陣，其定義為式中，E{·}代表數學期望運算。

定義QTQ=R-1fRn，得11.3.2約束最小平方濾波

約束最小平方復原是一種以平滑度為基礎的圖像復原方法。如前所述，在進行圖像恢復計算時，由于退化算子矩陣H［·］的病態性質，多數在零點附近數值起伏過大，使得復原后的圖像產生了多余的噪聲和邊緣。約束最小平方復原仍然是以最小二乘方濾波復原公式為基礎，通過選擇合理的Q，并優化‖Qf‖2，從而去掉被恢復圖像的這種尖銳部分，即增加圖像的平滑性。我們知道，圖像增強的拉普拉斯算子，它具有突出邊緣的作用，然而則恢復了圖像的平滑性，因此，在作圖像恢復時可將其作為約束。在離散情況下，拉普拉斯算子可用下面的差分運算實現：利用f(x,y)與下面的模板算子進行卷積可實現上面的運算：在離散卷積的過程中，可利用延伸f(x,y)和p(x,y)來避免交疊誤差。延伸后的函數為Pe(x,y)。建立分塊循環矩陣，將平滑準則表示為矩陣形式：…………式(11-42)中每個子矩陣Cj(j=0,1,…,M-1)是Pe(x,y)的第j行組成的N×N循環矩陣。即Cj如下表示：根據循環矩陣的對角化可知，可利用前述的矩陣W進行對角化，即式中，E為對角矩陣，其元素為i≠k

i=k

E(k,i)是C中元素Pe(x,y)的二維傅立葉變換。并且，可以將 寫成fTCTCf，定義Q=C，則fTCTCf=‖Qf‖2。如果要求約束條件‖g-Hf‖=‖n‖2得到滿足，在Q=C時，有式(11-46)兩邊同乘以W-1，得式中，D*為D的共軛矩陣。所以式中，u,v=0,1,…,N-1，而且|H(u,v)|2=H*(u,v)H(u,v)。本濾波器也稱為最小平方濾波器。11.4非線性復原方法11.4.1最大后驗復原

最大后驗復原是一種統計方法，它把原圖像f(x,y)和退化圖像g(x,y)都作為隨機場，在已知g(x,y)的前提下，求出后驗條件概率密度函數P(f(x,y)/g(x,y))。若 使式最大，則 就代表已知退化圖像g(x,y)時，最可能的原始圖像f(x,y)。這種圖像方法稱之為最大后驗圖像復原方法。11.4.2最大熵復原

最大熵復原方法是通過最大化某種反映圖像平滑性的準則函數來作約束條件，以解決圖像復原中反向濾波法存在的病態問題。熵的定義為

式中，P(x)為隨機變量x的概率密度。對于離散信號，熵的定義為

熵是表征隨機變量集合的隨機程度的量度。當所有隨機變量等可能性時，也就是說P1=P2=…=Pm時熵最大。

在二維數字圖像中，熵的定義為

最大熵復原的原理是將f(x,y)寫成隨機變量的統計模型，然后在一定的約束條件下，找出用隨機變量形式表示的熵的表達式，運用求極大值的方法，求得最優估計解 。最大熵復原的含義是對 的最大平滑估計。11.4.3投影復原

投影復原法是用代數方程組來描述線性和非線性退化系統的。該系統可用下式描述：g(x,y)=D［f(x,y)］+n(x,y)其中：f(x,y)是原始圖像，g(x,y)是退化圖像，n(x,y)是系統噪聲，D是退化算子，表示對圖像進行某種運算。在使用投影復原法進行圖像復原時，引進一些先驗信息附加的約束條件，可改善圖像復原效果。11.5其他圖像復原技術11.5.1幾何畸變校正

數字圖像在獲取過程中，由于成像系統的非線性，成像后的圖像與原景物圖像相比，會產生比例失調，甚至扭曲，我們把這類圖像退化現象稱之為幾何畸變。幾種典型的幾何失真(a)原圖像；(b)梯形失真；(c)枕形失真；(d)桶形失真

一般，幾何畸變校正要對失真的圖像進行精確的幾何校正，通常是先確定一幅圖像為基準，然后去校正另一幅圖像的幾何形狀。因此，幾何畸變校正一般分兩步來做：第一步是圖像空間坐標的變換；第二步是重新確定在校正空間各像素點的取值。

1.空間幾何坐標變換

根據兩幅圖像的一些已知對應點對(也稱為控制點對)建立起函數關系式，將失真圖像的x-y坐標系變換到標準圖像u-v坐標系，從而實現失真圖像按標準圖像的幾何位置校正，使f(x,y)中的每一像點都可在g(u,v)中找到對應像點。

2.三角形線性法

圖像的幾何失真在一個局部小區域內可近似認為是線性的，基于這一假設，將標準圖像和被校正圖像之間的對應點對劃分成一系列小三角形區域，三角形頂點為三個控制點，在三角形區內滿足以下線性關系：

若三對控制點在兩個坐標系中的位置分別為(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)和(u1,v1)、(u2,v2)、(u3,v3)，則可建立兩級方程組：

解方程組可求出a,b,c,d,e,f六個系數。從而實現該三角形區內其他像點的坐標變換。

3.灰度值的確定

圖像經幾何位置校正后，在校正空間中各像點的灰度值等于被校正圖像對應點的灰度值。一般校正后的圖像某些像素點可能擠壓在一起，或者分散開，不會恰好落在坐標點上，因此常采用內