可靠性試驗及數據處理方法東北大學孫志禮可靠性試驗及數據處理方法

可靠性試驗及分類

分布類型的假設檢驗

指數分布的分析法

正態及對數正態分布的分析法

威布爾分布的分析法一、可靠性試驗及分類可靠性試驗就是為了提高和證實產品的可靠性水平而進行的各種試驗的總稱

可靠性試驗是為了獲得統計數據，所用時間較長、所花的費用較大。但從提高和保證產品的質量角度來講是值得的，費效比是較高的。壽命試驗是可靠性試驗的重要組成部分，是評價、分析產品壽命可靠性特征量所進行的試驗。下面列出幾種壽命試驗的分類

按試驗場所分：現場試驗和實驗室試驗兩種。現場試驗是產品在使用條件下觀測到的壽命數據。最能說明產品的可靠性水平，是最終的客觀標準。，收集現場數據重要。但會遇到很多困難，需要的時間較長、工作情況難以一致，要有詳細的產品使用記錄，很難獲得比較準確的數據實驗室試驗是模擬現場情況的試驗。它將現場重要的應力條件搬到實驗室，并加以人工控制。還可設法縮短試驗時間以加速取得試驗結果

一、可靠性試驗及分類按試驗截止情況分：分為全數試驗和截尾試驗兩種全數試驗是當試樣全部失效才停止的試驗這種試驗方式可獲得較完整的試驗數據，統計分析結果也較好。但這種試驗所需時間較長，有時甚至難以實現一、可靠性試驗及分類截尾試驗又可分為定數和定時截尾試驗兩種定數截尾試驗就是試驗到規定的失效數即停止的試驗定時截尾試驗就是試驗到規定的時間，此時不管試樣失效多少都停止的試驗根據試驗中試樣失效后是否用新試樣替換繼續試驗，還可分為有替換和無替換兩種一、可靠性試驗及分類一般可歸納為如下四種試驗：⑴有替換定時截尾壽命試驗；⑵有替換定數截尾壽命試驗；⑶無替換定時截尾壽命試驗；⑷無替換定數截尾壽命試驗。全數壽命試驗也可看成是截尾數是n的無替換定數截尾壽命試驗。此外，尚有分組最小壽命試驗、序貫壽命試驗、有中止的壽命試驗等一、可靠性試驗及分類二、分布類型的假設檢驗分布類型的判斷有理論法和統計法兩種理論法是根據失效機理制定的數學模型或根據某種分布的性質推導出來的例如，失效率為常數的壽命分布為指數分布；失效由“最弱”環節決定的壽命分布為極值分布；受很多獨立隨機因素和的影響，且沒有一個因素起主導作用，這種分布為正態分布等。統計法是根據大量試驗數據經統計求得的。很多同類性能在以往大量試驗的基礎上已經驗證了其分布例如，幾何尺寸、材料性能、硬度等多服從正態分布；金屬的疲勞壽命則服從對數正態分布或威布爾分布等下面僅介紹統計法在使用統計法時：對分布不明的情況應做大樣本的試驗以判定其分布類型；對已有經驗參考的情況則可做較小樣本的試驗，假設其分布類型再進行相應的擬合性檢驗

下面給出通用的檢驗法和K-S檢驗法。二、分布類型的假設檢驗檢驗法一般只用于大樣本

計算理論頻數與實際頻數間的差異，將檢驗統計量的觀測值與臨界值滿足下列條件，接受原假設；否則，拒絕原假設

比較二、分布類型的假設檢驗式中n——樣本大小k——分組數，按樣本大小宜取ｋ＝７～１４

νｉ——第ｉ組的實際頻數，νｉ≥５

ｐｉ——第ｉ組的理論頻數（概率）

ｍ——未知參數的數目

α——顯著性水平——臨界值，查表二、分布類型的假設檢驗例1：220個某產品的失效時間記錄列于表中。試檢驗該產品的壽命是否服從指數分布。

某產品失效時間的數據記錄時間t/h0~100~200~300~400~500~600~700~800~900失效數ri3950353228181242二、分布類型的假設檢驗解假設該產品的壽命服從指數分布，參數λ未知。取組中值作為該組時間的代表值ti,則λ的點估計

h

1/h二、分布類型的假設檢驗假設H0：為了使用首先按規定分組。由于每組中實際頻數不宜少于5，故將前7段時間各作為一組，最后兩段時間合為一組。總計組數k=8，正好在7~14范圍內

檢驗法二、分布類型的假設檢驗表2-2例2-1的列表計算組號inpi=220piνi

-npi123456783950353228181260.28270.20550.14610.10390.07380.05250.03730.091762.19445.21032.14022.85816.23611.5508.20620.174-23.1944.7902.8609.14211.7646.4503.794-14.174537.96222.9448.18083.576138.39241.60314.394200.908.6500.5070.2543.6568.5243.6021.7549.958∑36.905二、分布類型的假設檢驗二、分布類型的假設檢驗取顯著性水平，由查表由于故拒絕原假設，既不能認為該產品的壽命服從指數分布。K-S檢驗法（亦稱d檢驗法）適用于小樣本的情況

K-S檢驗法要求所檢驗的分布中不含未知參數。當指定分布中含有未知參數時，對某些分布應該用專門的臨界值表二、分布類型的假設檢驗K-S檢驗法是將n個試驗數據由小到大的次序排列。根據假設的分布，計算每個數據對應的F0(xi)，將其與經驗分布函數Fn(xi）相比較。其中，差的最大絕對值就是檢驗統計量Dn的觀測值。將Dn與臨界值Dn,α比較。滿足下列條件，接受原假設；否則，拒絕原假設F0（x）——原假設的分布函數；Fn（x）——經驗分布函數二、分布類型的假設檢驗——臨界值，查表

二、分布類型的假設檢驗例2某合金9個試件測得的強度極限為453，436，429，419，405，416，432，423，440N/mm2。檢驗該合金的強度極限是否服從均值μ=28N/mm2，標準差σ=15N/mm2的正態分布。二、分布類型的假設檢驗解令該合金的強度極限σb=X，將數據按由小到大次序排列。假設X服從正態分布，分布函數式中的查表。計算結果見表

由上述中計算結果知，Dn的觀測值按前式求二、分布類型的假設檢驗取顯著性水平α=0.10，由表2-3查得由于故接受原假設，即認為該合金的強度極限服從μ=28N/mm2，σ=15N/mm2的正態分布二、分布類型的假設檢驗序號ixi14050.06300.0000.1110.030124160.21190.1110.2220.100934190.27430.2220.3330.058744230.37070.3330.4440.073354290.52790.4440.5560.083964320.60640.5560.6670.060674360.70910.6670.7780.076184400.78810.7780.8890.100994530.95250.8891.0000.0635二、分布類型的假設檢驗K-S檢驗臨界值表0.200.100.050.020.0110.900000.950000.975000.990000.9950020.683770.776390.841890.900000.9292930.564810.636040.707600.784560.8290040.492650.565220.623940.688870.7342450.446980.509450.563280.627180.6685360.410370.467990.519260.577410.6166170.381480.436070.483420.538440.5758180.358310.409620.454270.506540.5417990.339100.387460.430010.479600.51332100.322600.368660.409250.456620.48893αn

回歸分析法：回歸分析法就是圖解分析法的解析。在直角坐標紙上描得幾個試驗點（x1，y1），（x2，y2），．．．，（ｘn，yn），如圖2-1所示。按最小二乘原理確定直線二、分布類型的假設檢驗它反映出試驗點散布狀態的一條最佳直線，稱為回歸直線。斜率稱為回歸系數，截距

為常數項。二、分布類型的假設檢驗各試驗點是否在一直線上，即是否具有線性相關的關系，可用相關系數檢驗法進行檢驗。相關系數二、分布類型的假設檢驗當，則認為具有線性相關的關系。是顯著性水平為時的相關系數起碼值，查表。查表時取自由度

對于可靠性分析中常用的概率分布，其分布函數與自變量之間一般在直角坐標上并不成線性關系，因此應先進行適當的變換。幾種常用概率分布的變換關系列于下表中

二、分布類型的假設檢驗相關系數起碼值0.100.050.020.010.00150.66940.75450.83290.87450.950760.62150.70670.78870.83430.924970.58220.66640.74980.79770.898280.54940.63190.71550.76460.872190.52140.60210.68510.73480.8471100.49730.57600.65810.70790.8233αν名稱yxBA指數分布tλ0威布爾分布k正態分布t對數正態分布lnt分布函數二、分布類型的假設檢驗在使用回歸分析法時，首先將試驗獲得的n個數據按由小到達的次序排列，即t1<t2<…<tn，取中位秩作為各試驗點相應的分布函數，即假設一種分布，按上表進行變換后即可用前式進行計算。若相關系數檢驗通過則接受原假設。估計得B、A后再按上表關系估計原分布函數的參數

二、分布類型的假設檢驗例3某合金材料在某應力水平做疲勞壽命試驗，10個試件的疲勞壽命分別為211，229，272，276，295，303，332，354，382，409千次。試進行分布類型的判斷并進行參數估計。解一般金屬疲勞壽命多較好地服從對數正態分布，故先假設該材料疲勞壽命服從對數正態分布。按表二、分布類型的假設檢驗序號Ni12115.3520.067-1.50028.6422.250-8.02822295.4340.162-0.98529.5250.970-5.35232725.6060.295-0.64531.4250.416-3.61642765.6200.356-0.37031.5890.137-2.08052955.6870.452-0.12032.3420.014-0.68263035.7140.5480.12032.6470.0140.68673325.8050.6440.37033.7000.1372.14883545.8690.7410.64534.4450.4163.78693825.9450.8380.98535.3480.9705.856104096.0140.9331.50036.1652.2509.02157.0460325.8287.5741.739二、分布類型的假設檢驗計算結果見表

相關系數檢驗：

二、分布類型的假設檢驗由表，當查得，故接受疲勞壽命服從對數正態分布的假設

二、分布類型的假設檢驗估計分布參數μ和σ，由表2-6知：二、分布類型的假設檢驗三、指數分布的分析法擬合性檢驗

這種檢驗法適用于截尾試驗、全數試驗和有中止的試驗

計算檢驗統計量滿足下列條件則接受指數分布的假設，否則拒絕指數分布的假設三、指數分布的分析法

——總累積試驗時間；——第ｋ（ｋ=1，2，．．．，ｒ）次失效時的累積試驗時間t0——指定的定時截尾時間tr——指定的定數截尾時間

——顯著性水平；——自由度為２d的分布的分位數，查表

三、指數分布的分析法總累積的試驗時間是所有投入試驗的試樣（包括失效的、中止的、截尾未失效的）試驗到規定時間的試驗時間總和。當開始投入n個試樣同時試驗，試驗中有b個中止，中止時間為（j=1，2，．．．，ｂ）；有r個失效，失效時間為ｔi（i=1，2，．．．，r）。規定試驗到t0停止試驗，則試驗總累積時間

三、指數分布的分析法無替換：有替換：第k次失效時的累積試驗時間無替換：有替換：第k（k=1，2，．．．，r）個失效的時間三、指數分布的分析法例4抽取某產品10個進行壽命試驗，失效5個即停止試驗。試驗結果為：76，143，152，275，326h。檢驗該產品壽命是否服從指數分布。解假設該產品的壽命服從指數分布。這是無替換定數截尾、無中止的壽命試驗。總累積試驗時間三、指數分布的分析法第k次失效時的累積試驗時間

三、指數分布的分析法本例

取顯著性水平α=0.10，由表查得滿足故接受原假設，即認為該產品的壽命服從指數分布。三、指數分布的分析法參數估計和可靠度估計全數試驗

截尾試驗式中

——總累積試驗時間r-——觀測失效數，當r=0進行λ的點估計時，建議取。三、指數分布的分析法區間估計

區間估計種類定時截尾定數截尾

單側置信下限

雙側置信下限雙側置信上限三、指數分布的分析法參數λ的區間估計先由上表計算平均壽命的置信限

λ的置信下限

λ的置信上限可靠度的點估計可靠度的置信下限

三、指數分布的分析法例5

某產品壽命服從指數分布，抽取11個進行壽命試驗。在試驗到500h式中止1個，900h時失效1個，其它試樣達到1000h均未失效即停止試驗。求平均壽命、失效率及工作到100h時可靠度的點估計。若要求置信水平求平均壽命的單側置信下限、失效率的單側置信上限及工作到100h時可靠度的單測置信下限。三、指數分布的分析法解這是n=11，失效數r=1，中止數b=2，截尾時間t0=1000h的無替換定時截尾壽命試驗

總累積試驗時間平均壽命的點估計失效率的點估計

三、指數分布的分析法t=100h時可靠度的點估計

由表查得

故平均壽命的單側置信下限失效率的單側置信上限

t=100h時可靠度的單側置信下限四、正態及對數正態分布的分析法擬合性檢驗

假設

與K-S檢驗法類似，滿足下列條件則接受原假設，否則拒絕原假設

經驗分布函數四、正態及對數正態分布的分析法——臨界值，查表

0.200.150.100.050.0150.2850.2990.3150.3370.40580.2330.2440.2610.2850.331100.2150.2240.2390.2580.294150.1770.1870.2010.2200.257200.1600.1660.1740.1900.231300.1310.1360.1440.1610.187αn四、正態及對數正態分布的分析法例6

對某鋼材進行靜強度試驗，9個試件的強度極限按由小到大次序分別為625，650，656，659，661，662，663，668，672N/mm2。檢驗該鋼材強度極限是否服從正態分布。

四、正態及對數正態分布的分析法解假設該鋼材的強度極限服從正態分布。由于分布參數未知，故先進行估計

=13.69四、正態及對數正態分布的分析法假設：列表計算

由計算結果知

取顯著性水平α=0.10

因為故接受原假設，即認為該鋼材的強度極限服從正態分布

四、正態及對數正態分布的分析法完全樣本的參數估計

點估計

區間估計α——顯著性水平，1—α為置信水平；n——樣本大小；ν——自由度。當標準差σ已知，sx用σ代替，則ν=∞；當標準差為點估計sx，則ν=n—1；

四、正態及對數正態分布的分析法ν——自由度。當均值μ已知時，ν=n；當μ未知時，ν=n—1。若隨機變量y服從對數正態分布，即Y~Ln（μ，σ2），則lnY~N（μ，σ2），故取四、正態及對數正態分布的分析法截尾壽命試驗的參數估計

極大似然估計

失效時間

四、正態及對數正態分布的分析法式中

查表。四、正態及對數正態分布的分析法最佳線性無偏估計

式中n——樣本大小；r——失效數；j——壽命由小到大排列的次序；xj——第j個壽命值；——μ的最佳線性無偏估計系數——σ的最佳線性無偏估計系數四、正態及對數正態分布的分析法簡單線性無偏估計

式中nkr,n——系數查表

E（Yr,n）——系數，查表

其余同前四、正態及對數正態分布的分析法可靠壽命和可靠度的估計

指定可靠度R，可靠壽命的點估計

指定壽命x的可靠度R的點估計四、正態及對數正態分布的分析法指定可靠度RL的可靠壽命置信下限

zRγ——單側置信限系數，按指定的可靠度和置信水平由下式求取

zγ——按指定的置信水平查表

四、正態及對數正態分布的分析法指定壽命xL的可靠度置信下限式中應該指出，這里的x并不限于壽命，也可以是服從正態分布的其它特性值，例如材料的機械強度等

四、正態及對數正態分布的分析法

極大似然估計用表（正態及對數正態分布）0.010.100.300.500.700.900.990.020.1198030.1282830.1340060.1373230.1398330.1419190.1427660.040.1584280.1745150.1858090.1925420.1977370.2021280.2039290.060.1844410.2075840.2243590.2345880.2426120.2494890.252337r/nD

最佳線性無偏估計用表（正態及對數正態分布）nrjC’(n,r,j)D’(n,r,j)nrjC’(n,r,j)D’(n,r,j)521-1.4971-0.7411751-0.43700.04655221.49711.7411752-0.19430.1072四、正態及對數正態分布的分析法

簡單線性無偏估計用表（正態及對數正態分布）nrE(yr,n)nkr,nnrE(yr,n)nkr,n204-0.92101.6431355-1.112302.02138-0.31494.906510-0.60435.5602120.18709.669415-0.215110.2049160.745417.2531200.142816.2884250.520824.6235225-0.81532.2796300.997937.573110-0.16996.7158四、正態及對數正態分布的分析法

zR與可靠度R的關系（正態分布）R0.9100.9200.9300.9400.9500.9600.9700.9800.9900.9100zR1.2822.3263.0903.7194.6254.7535.1995.6125.9976.36R0.91100.91200.91300.91400.91500.91600.91700.91800.91900.9200zR6.707.037.347.657.948.228.498.759.019.26不同置信水平γ時的zγγ0.500.600.700.800.900.950.990.9950.999zγ0.000.25340.52440.84161.2821.6452.3262.5763.090四、正態及對數正態分布的分析法例

某鋼材的強度極限服從正態分布，11個試件測得的強度極限為608，622，630，638，642，648，652，660，673，688N/mm2。求均值和標準差的點估計和置信水平γ=80﹪的雙側置信限，失效概率為0.10時強度極限的點估計和置信水平為90﹪的單側置信下限。四、正態及對數正態分布的分析法解本例為完全樣本試驗。均值μ的點估計，按式標準差的點估計，按式四、正態及對數正態分布的分析法均值的雙側置信限，按式并由表查得故得

四、正態及對數正態分布的分析法標準差的雙側置信限，按式并由表查得故得

四、正態及對數正態分布的分析法失效概率F=0.10的強度極限，可借用可靠壽命與可靠度的關系式。這時相當于R=1-F=0.90時的強度極限。點估計可用式來求，并由R=0.90查表2-15得zR=1.28，故

四、正態及對數正態分布的分析法失效概率F=0.10，置信水平γ=90﹪強度極限的單側置信下限可用式來求，并由R=1-F=0.90查表得zRγ=2.01129，故五、威布爾分布的分析法擬合性檢驗樣本大小為n，截尾壽命試驗得t1≤t2≤···≤tr。檢驗統計量觀測值式中即取括號內整數部分E(zi)——查表中的E(zi，n)

五、威布爾分布的分析法滿足下式條件則接受兩參數威布爾分布的假設，否則拒絕兩參數威布爾分布的假設

式中α——顯著性水平

——自由度為ν1=2(r-r0-1)，ν2-=2r0的F分布的分位數，查表

五、威布爾分布的分析法參數估計

矩法估計

樣本均值樣本標準差

樣本偏態系數五、威布爾分布的分析法根據kk值由表查得形狀參數k的點估計同時可查得系數ka、kb，故

尺度參數b的點估計位置參數a的點估計五、威布爾分布的分析法若位置參數a已知（例如兩參數威布爾分布a=0），則求根據kc值由表查得形狀參數k的點估計

同時查得kb，再由式求尺度參數b的點估計

五、威布爾分布的分析法極大似然估計五、威布爾分布的分析法最佳線性無偏估計和簡單線性無偏估計先做如下變換：

原分布函數令：即

即

即

五、威布爾分布的分析法則原分布函數變為式中，參數μ和σ的最佳線性無偏估計五、威布爾分布的分析法當樣本容量較大時，μ和σ用簡單線性無偏估計。μ和σ的簡單線性無偏估計s，nkr,n，E(zr,n)——查表

五、威布爾分布的分析法形狀參數k的點估計按式求得后，為得到k的無偏估計再加以修正得式中gr,n——修偏系數，查表

尺度參數的點估計五、威布爾分布的分析法可靠度和可靠壽命的估計

指定壽命t時可靠度R的點估計指定可靠度R時可靠壽命t(R)的點估計

五、威布爾分布的分析法指定置信水平、可靠度的置信下限對于全數試驗的兩參數威布爾分布，可按可靠度的極大似然點估計查表

對于截尾壽命試驗，其可靠度的置信下限可查表。五、威布爾分布的分析法可靠壽命的單側置信下限式中gr,n，Br,n，VRγ——查表五、威布爾分布的分析法

威布爾分布形狀參數和各參數點估計系數0.604.5932.6451.5051.7583.100.1360.4130.8950.3530.703.4981.8510.2661.4623.200.1060.3070.8960.3430.802.8151.4281.1331.2603.300.0780.2980.8970.333五、威布爾分布的分析法

最佳線性無偏估計系數（威布爾分布）nrjC(n,r,j)D(n,r,j)nrjC(n,r,j)D(n,r,j)521-0.8963-0.95995330.79861.29615220.89631.9599541-0.2730-0.0154531-0.4343-0.2101542-0.24990.0520532-0.3642-0.0860543-0.14910.15215440.67210.81137660.57190.5791五、威布爾分布的分析法簡單線性無偏估計系數（威布爾分布）nrsE(zr,n)nkr,ngr,nnrsE(zr,n)nkr,ngr,n2655-1.66874.21180.7592402525-0.062129.99360.96561010-0.798910.09210.900030300.280539.24950.97301515-0.216417.02920.939835350.671251.79230.977620200.310325.99020.959340360.766156.49230.9798五、威布爾分布的分析法最佳線性無偏估計和置信下限系數（威布爾分布）nrE(zr,n