2023/2/511、模擬濾波器的設計

2、數字濾波器的結構

3、IIR數字濾波器的設計

4、FIR數字濾波器的設計

數字濾波器及其設計2023/2/521

模擬濾波器的設計有關基本概念：

1．無失真條件2023/2/532023/2/54幅頻響應是一常數，表明信號通過系統后，各頻率分量的相對大小保持不變，沒有幅度失真；相頻響應是頻率的線性函數（線性相位），說明系統對各頻率分量的延遲時間相同，這就保證了各頻率分量的相對位置不變，沒有相位失真；但是在實際濾波器中，同時得到理想的幅頻響應和理想的線性相位是不可能的。此外，當幅頻響應特性有所改進的時候，相頻響應經常就要變壞，或者相反。2023/2/55通帶p阻帶s2023/2/56

從頻率響應的模方函數求濾波器的傳輸函數H(s)2023/2/57利用濾波器頻率響應的模方函數可以求得傳輸函數H(s)（轉移函數、傳遞函數），如果能由濾波器的設計參數（技術指標）得到其頻率響應的模方函數，就為濾波器的結構設計提供了條件；因此，模擬濾波器的設計實際上就是由給定的設計參數確定濾波器傳輸函數H(s)的過程；由于高通、帶通、帶阻濾波器的傳輸函數都能經過頻率變換從低通濾波器的傳輸函數求得，所以把低通濾波器稱為原型低通濾波器。2023/2/581、原型低通濾波器的4個設計參數通帶上限（臨界）角頻率Ωp阻帶下限（臨界）角頻率Ωs通帶最大允許衰減αp

，單位是dB阻帶最小衰減αs

，單位是dB濾波器的對數幅頻響應在Ωp和Ωs處分別達到αp

和αs定義衰減函數：則有2023/2/59

上述四種濾波器是設計低通濾波器時常用的、最能夠接近理想濾波器頻率響應特性的四種原型濾波器Chebyshev-II型Chebyshev-I型Butterworth型橢圓濾波器10總結以上，低通巴特沃斯模擬濾波器的設計步驟如下：根據技術指標wp,p,ws,s，求出濾波器的階數N。(2)求出歸一化極點pk，得到歸一化傳輸函數H(p)。

(3)將H(p)去歸一化。將p=s/wc代入H(p)，得到實際的濾波器傳輸函數H(s)。11

模擬高通濾波器的設計步驟如下：A、確定高通濾波器的技術指標：通帶下限頻率wp’，阻帶上限頻率ws’，通帶最大衰減p，阻帶最小衰減s。B、確定相應低通濾波器的設計指標，將高通濾波器的邊界頻率轉換成低通濾波器的邊界頻率，各項設計指標為：①低通濾波器通帶截止頻率wp=1/wp’；②低通濾波器阻帶截止頻率ws=1/ws’；③通帶最大衰減仍為p，阻帶最小衰減仍為s。12C、設計歸一化低通濾波器G(p)。D、求模擬高通的H(s)。將G(p)先轉換成歸一化高通H(q)，再去歸一化，得H(s)：13模擬帶通的設計步驟A、確定模擬帶通濾波器的技術指標，即：帶通上限頻率wu，帶通下限頻率wl下阻帶上限頻率ws1,上阻帶下限頻率ws2

通帶中心頻率w02=wlwu，通帶寬度B=wu-wl與以上邊界頻率對應的歸一化邊界頻率如下：14B、確定歸一化低通技術要求：

λs與-λs的絕對值可能不相等，一般取絕對值小的λs，這樣保證在較大的λs處更能滿足要求。通帶最大衰減仍為p，阻帶最小衰減亦為s。C、設計歸一化低通G(p)。D、將G(p)轉換成帶通H(s)。15設計帶阻濾波器的步驟A、確定模擬帶阻濾波器的技術要求：下通帶截止頻率wl，上通帶截止頻率wu阻帶下限頻率ws1，阻帶上限頻率ws2阻帶中心頻率w02=wuwl，阻帶寬度B=wu-wl它們相應的歸一化邊界頻率為

ηl=wl/B,ηu=wu/B,ηs1=ws1/B,ηs2=ws2/B,η20=ηuηl以及通帶最大衰減p和阻帶最小衰減s。16B、確定歸一化模擬低通技術要求，取λs和-λs的絕對值較小的λs；通帶最大衰減為p，阻帶最小衰減為s。C、設計歸一化模擬低通G(p)D、將G(p)轉換成帶阻濾波器H(s)2023/2/517

數字濾波器的實現方法，即運算結構，可用方框圖表示（信號流圖）。運算結構的不同，將會影響系統的許多重要性能。無限沖激響應濾波器IIR與有限沖激響應濾波器FIR在結構上有各自不同的特點。2數字濾波器的結構

2023/2/5181、用信號流圖表示濾波器（網絡）結構基本流圖表示：數字信號處理中有三種基本算法：乘法、加法和單位延遲。支路、箭頭、支路增益、網絡節點、運算單元構成整個運算結構。2023/2/5192、IIR數字濾波器的結構IIRdigitaltransferfunctionischaracterizedby(N+M+1)uniquecoefficients,andingeneral,requires(N+M+1)multipliersand(N+M)two-inputaddersforimplementation直接型DirectformIIRfilters:Filterstructuresinwhichthemultipliercoefficientsarepreciselythecoefficientsofthetransferfunction2023/2/520（1）直接I型IIR數字濾波器

傳輸函數：對應的差分方程為

對應上式的網絡是一個反饋網絡，這種結構形式稱為直接I型。2023/2/521直接I型IIR濾波器結構的信號流圖

整個直接I型IIR數字濾波器硬件是由兩個網絡相級聯：第一個網絡實現H(z)的零點，而第二個網絡實現H(z)的極點。2023/2/522（2）直接II型IIR數字濾波器：可把H(z)視為兩個子系統的級聯其中第一子系統實現零點，為對應的差分方程為2023/2/523第二子系統實現極點為差分方程為

從數字濾波器的輸入和輸出關系來看，更換它所包含的兩個子網絡相級聯的次序不會影響它的總特性，于是可以得到另一種網絡圖形，先按H(z)的極點實現一個子網絡，然后再按H(z)的零點實現另一個子網絡，即對圖2的直接I型交換次序：2023/2/524合并后的信號流圖－－直接II型（M＝N的情況）這種形式含有傳輸延遲的支路數目最少，因而實現數字濾波器傳輸函數H(Z)所需用延遲寄存器的數目也最少。但是系數和乘法器的舍入誤差有積累效應，輸出誤差較大。2023/2/525（3）級聯（cascade）型IIR數字濾波器系統函數H（z）中分子、分母均為多項式，且多項式的系數一般為實數，現將分子、分母多項式分別進行因式分解，得到：

式中A是常數，Cr和dr分別表示零點和極點。由于多項式的系數是實數，Cr和dr是實數或者是共軛成對的復數，將共軛成對的零點（極點）放在一起，形成一個二階多項式，其系數仍為實數。再將分子、分母均為實系數的二階多項式放在一起，形成一個二階子網絡或一階子網絡：

2023/2/526得到級聯型IIR數字濾波器。2023/2/527（4）并聯（parallel）型IIR數字濾波器如果將數字濾波器的轉移函數H(z)展開成部分分式和，則得到IIR并聯型結構

式中，通常為一階網絡或二階網絡，二階網絡的系統函數一般為

其中，系數β0i,β1i,α1i,

α2i都是實數，如果α2i＝0，則構成一階網絡。2023/2/5283、FIR數字濾波器的結構FIR的結構特點是沒有反饋支路，其單位脈沖響應是有限長的。設FIR數字濾波器的單位脈沖響應h(n)為一個N點序列，0≦n≦N-1，則FIR濾波器的系統函數為系統函數中只有零點，沒有極點。對應的差分方程為29（1）直接型FIR的結構：

系統的差分方程為顯然，這就是LSI系統的卷積和公式，也是x(n)的延時鏈的橫向結構，稱為橫截型結構或卷積型結構，也稱為直接型結構：直接型信號流圖2023/2/530（2）級聯型FIR的結構：

將系統函數H(z)進行因式分解，并將孤立零點放在一起，形成一個系數為實數的一階節；將共軛成對的零點放在一起，形成一個系數為實數的二階節。這樣級聯型網絡結構就是由這些一階和二階網絡構成的級聯結構，即：2023/2/531FIR數字濾波器級聯型結構和信號流圖：每個一階節、二階節可用FIR濾波器直接型結構實現,構成的級聯型結構如圖所示：這種結構的每一節控制一個零點（一階節）或一對零點（二階節），調整零點位置比直接型方便，因而在需要控制傳輸零點時，可以采用它。但是這種結構所需要的系數比直接型要多，因而所需的乘法器也比直接型的要多。另外，當H(z)的階次高時，不易分解，因此普遍應用的是直接型。2023/2/532（3）線性相位FIR數字濾波器的結構：FIR濾波器的線性相位是非常重要的，因為數據傳輸以及圖像處理都要求系統具有線性相位。所謂線性相位就是指濾波器對不同頻率的正弦波所產生的相移和正弦波的頻率成直線關系。而FIR濾波器由于它的脈沖響應是有限長的，因而有可能做成嚴格的線性相位。

如果FIR濾波器的單位脈沖響應為實數，且滿足以下條件：

偶對稱奇對稱也就是說，其對稱中心在處，則這種FIR濾波器就具有嚴格線性相位。

2023/2/533當N為奇數時H(z)可以分解為：2023/2/534N為奇數時線性相位FIR濾波器的直接型結構圖：2023/2/535當N為偶數時H(z)可以分解為：2023/2/536N為偶數時線性相位FIR濾波器的直接型結構圖：2023/2/5374數字濾波器技術指標通帶：1-p

|H(ej)|1+p,0||p阻帶：|H(ej)|s,s

||p

通帶臨界頻率s

阻帶臨界頻率p

通帶最大紋波s

阻帶最大紋波s-p

過渡帶寬|H(ej)|為歸一化幅頻響應，是角頻率的偶函數2023/2/538常用對數幅頻特性：H()=20lg|H(ej)|dB通帶最大紋波：p=20lg(1-p)dB阻帶最小衰減：s=20lg(s) dB實際設計指標經常給出線頻率f（Hz），需要進行轉換：Ts

是采樣周期2023/2/539設計流程：（1）數字域指標轉換為模擬域指標：（2）設計模擬濾波器（利用低通原型）（3）利用沖激響應不變法或雙線性變換法完成從S平面到Z平面的轉換：

1、IIR數字濾波器的設計通用的方法是利用模擬濾波器的設計技術設計IIR數字濾波器：S平面到Z平面的映射：＝采樣周期數字濾波器的技術指標:H(z),H(ejω)

模擬濾波器的技術指標：H(s),H(jΩ)

Ωp，Ωs，

αp

，αsωp，ωs，αp

，αs2023/2/5401沖激響應不變法（標準z變換法）上式結果使得H(z)中的z以對數形式出現，難以處理考慮：數字系統的h(n)是模擬系統h(t)的采樣若：則是一階系統，有：得ω和Ω成線性關系：求Z變換2023/2/541若是二階系統，則有：符合：沖激響應不變法：設法把H(s)分解成多個一階或二階系統的并聯或級聯，分別轉換！得求Z變換2023/2/542ImpulseinvarianceIIRfilterdesignh(t)toh[n]=h(nTs)特點：ω和Ω成線性關系；但是由于S平面虛軸上jΩ每隔2π/Ts就映射到Z平面單位圓上一周，引起頻域混疊，所以如果采樣頻率不夠高，或H(s)不是帶限的（高通、帶阻）時，就不能使用。2023/2/5432、雙線性變換法雙線性變換：為了避免頻率混疊，放棄頻率的線性轉換關系，找新的關系：令：則有：2023/2/544這種映射關系利用了正切函數的非線性關系，采用非線性頻率壓縮方法，將頻率范圍進行壓縮雙線性變換的頻率映射關系為：2023/2/545

可以使得S平面的虛軸jΩ只映射為Z平面的單位圓一周避免了頻率混疊??！雙線性變換法：頻率呈非線性關系，不混疊又稱為頻率的預畸變（pre-warping)。使得高頻時DF的幅頻特性和AF的幅頻特性不一致。但只要保證了DF的技術要求即可。對比沖激響應不變法：頻率呈線性關系，但會出現混疊2023/2/547雙線性變換法設計IIR數字濾波器的步驟：（1）按給定的數字濾波器技術指標ωp，ωs

，αp

，αs進行頻率預畸變得到模擬濾波器（低通、高通、帶通、帶阻）的技術指標Ωp，Ωs

，αp

，αs：（2）對模擬濾波器的設計參數Ωp，Ωs，αp

，αs通過頻率變換及歸一化得到模擬低通原型的設計參數λp,λs,αp

，αs，N；2023/2/548（3）利用模方函數得到模擬低通原型的傳輸函數H(p)，（4）對低通原型的傳輸函數H(p)進行頻率變換，得到對應模擬濾波器（低通、高通、帶通、帶阻）的傳輸函數H(s),（5）雙線性變換得到數字濾波器的系統函數H(z):2023/2/5492、FIR數字濾波器的設計FIR數字濾波器是全零點系統，總是可實現的和穩定的，既可按非遞歸結構實現，又可按遞歸結構實現。非遞歸結構的FIR濾波器的運算量化噪聲較小。FIR濾波器具有一定對稱性，容易實現線性相位特性。但是，FIR濾波器要取得好的頻率特性，需要較高的階數，運算量較大，一般要借助計算機。設計思路：對理想濾波器的頻率響應作某種近似，近似設計方法有窗口設計法（窗函數法）、頻率抽樣法、最佳一致逼近法。2023/2/550FIR濾波器的線性相位是非常重要的，因為數據傳輸以及圖像處理都要求系統具有線性相位。FIR濾波器由于它的單位抽樣響應是有限長的，因而有可能做成嚴格的線性相位。

1、FIR系統的線性相位特性FIR數字濾波器的傳輸函數：其頻率響應（DTFT）為：幅度函數：是頻率ω的實函數，可以取正或負相位函數：是頻率ω的實函數2023/2/551根據h(n)的對稱特性和N的奇偶特性，FIR數字濾波器的頻率響應可能具有以下4種特性：（1）h(n)偶對稱（第一類線性相位），N為奇數：2023/2/5522023/2/553Hg(ω)在ω＝0處偶對稱2023/2/5542023/2/555（2）h(n)偶對稱（第一類線性相位），N為偶數：2023/2/5562023/2/557（3）h(n)奇對稱（第二類線性相位），N為奇數：對上式第三項，作n=N-1-n變換，并利用奇對稱：2023/2/5582023/2/5592023/2/560（4）h(n)奇對稱（第二類線性相位），N為偶數：2023/2/561總結FIR數字濾波器為線性相位的充要條件：（1）h(n)是實數；（2）h(n)滿足以n=(N-1)/2為中心的偶對稱或奇對稱。第一類線性相位FIR濾波器（h(n)偶對稱），具有嚴格線性相位，有(N-1)/2個采樣點的群延遲；第二類線性相位FIR濾波器（h(n)奇對稱），具有初始相位90o的線性相位，有(N-1)/2個采樣點的群延遲；類型1：h(n)偶對稱N為奇數，可以用作各類濾波器；類型2：h(n)偶對稱N為偶數，只能用作低通和帶通濾波器；類型3：h(n)奇對稱N為奇數，只能用作帶通濾波器；類型4：h(n)奇對稱N為偶數，只能用作高通和帶通濾波器。

由前面的分析可知：FIR濾波器的轉移函數是復變量的多項式而不是有理式，所以它的設計就不能象IIR濾波器那樣先設計模擬濾波器再進行數字化，而是根據給定指標直接找出可實現的理想濾波器的函數，用有限沖激響應來逼近設計指標。2023/2/5622、FIR數字濾波器的窗函數設計法從時域出發，用窗函數截取理想濾波器的單位抽樣響應hd(n)；以有限長的h(n)逼近hd(n)；這樣得到的濾波器其頻率響應H(ejω)將逼近理想濾波器的頻率響應Hd(ejω)

?？梢?，窗函數設計法不能精確地指定濾波器參數ωp，ωs

，αp

，αs

，而只能由通帶截止頻率ωc以及窗函數的長度和性能來決定濾波器的性能。2023/2/563FIR數字濾波器的窗函數設計法步驟：由設計指標Hg(ω)，確定hd(n);(用傅里葉級數法，hd(n)有無限多項）2.根據對過渡帶到阻帶衰減的要求，選擇窗函數的形式，并估計窗口長度N，wN(n);3.h(n)=hd(n)·wN(n)4.對h(n)求DTFT得到H(ejω)，與Hd(ejω)比較，合格則設計完畢，不合格則修改窗函數及其參數，重復3、4步驟直到合格為止。2023/2/564

四類FIR數字濾波器的窗口法設計

（1）、低通（LP）數字濾波器:

理想低通模型為：Hg(ω)=|Hd(ejω)|=1

φ(ω)=－Nω/2上式為非因果序列，進行截短（相當于在時域乘窗函數，頻域和窗譜相卷積），變成長度為N＋1的因果序列：Hd(ejω)=Hg(ω)ejφ(ω)2023/2/565（2）、高通（HP）數字濾波器的設計:上式為非因果序列，進行加窗函數截短，變成長度為N＋1的因果序列：理想高通模型：2023/2/566（3）、帶通（BP）數字濾波器的設計:理想帶通模型：上式為非因果序列，進行加窗函數截短，變成長度為N＋1的因果序列：2023/2/567（4）、帶阻（BS）數字濾波器的設計:理想帶阻模型：上式為非因果序列，進行加窗函數截短，變成長度為N＋1的因果序列：2023/2/5682.3窗函數的選擇

在信號處理中經常需要用窗函數對信號進行截短，矩形窗是最簡單的窗函數，對信號的自然截短就意味著在時域乘了矩形窗，窗的寬度就是截短后信號數據的長度。窗函數的頻譜影響了截短后信號的頻譜，對濾波器設計而言，窗函數的頻譜影響了濾波器的性能。

窗函數的影響：

（1）平滑了頻譜，降低了頻率分辨率；（2）造成頻譜“泄漏”。

2023/2/569由于窗函數的截短效應，實際的幅頻特性曲線中存在通帶和阻帶內的波紋：N小，通帶窄，過渡帶大，阻帶波紋大；N增大過渡帶減小，阻帶波紋減小，但通帶內出現波紋；過渡帶寬度小于等于窗譜主瓣寬度。

隨著N增大，通帶波紋并不消逝，稱為吉布斯(Gibbs)現象。這是因為矩形窗的頻譜是sinc函數，有較大旁瓣，矩形窗頻譜和Hd(ejω)卷積產生了吉布斯現象，應盡量減小，可以設計和采用旁瓣較小的其它窗。對hd(n)加矩形窗處理后，Hg(ω)與原理想低通Hd(ω)的區別：在理想特性不連續點ω=ωc附近形成過渡帶。過渡帶的寬度近似為WRg(ω)主瓣寬度4π/N通帶內產生了波紋，最大的峰值在ωc-2π/N處。阻帶內產生了余振，最大的負峰在ωc+2π/N處。通帶與阻帶中波紋的情況與窗函數的幅度譜有關。WRg(ω)旁瓣幅度的大小直接影響Hg(ω)波紋幅度的大小。這兩點就是用窗函數直接截斷hd(n)而引起的截斷相應在頻域中的反應，即吉布斯效應。2023/2/570如何減少吉布斯效應？調整窗口長度N可以有效地控制過渡帶的寬度。減少帶內波動以及加大阻帶的衰減只能從窗函數的形狀上找解決辦法。為了消除吉布斯效應，取得較好的頻率特性，一般采用其他類型的窗口，這些窗口函數在靠近兩端的h(n)逐步衰減到零，使窗口頻譜的主瓣包含更多的能量。從而降低通帶內的波紋并加大阻帶的衰減。2023/2/571幾種常用的窗函數矩形窗（RectangleWindow)三角形窗（BartlettWindow)漢寧窗（Hanning)----升余弦窗漢明窗（Hamming)----改進的升余弦窗布萊克曼窗（Blackman)凱澤窗（KaiserWindow)2023/2/5722023/2/573Rectangularwindow：W[n]=100.20.40.60.81-100-80-60-40-200w/pGain,dBRectangularwindow主瓣寬度為4π/N,第一旁瓣比主瓣低13dB2023/2/574Hanningwindow:00.20.40.60.81-100-80-60-40-200w/pGain,dBHanningwindow能量更集中在主瓣中，但主瓣寬度加寬到8π/N2023/2/575Hammingwindow:00.20.40.60.81-100-80-60-40-200w/pGain,dBHammingwindow能量更加集中在主瓣中（占99.96%），第一旁瓣的峰值比主瓣小40dB,主瓣寬度仍為8π/N2023/2/576Blackmanwindow:00.20.40.60.81-100-80-60-40-200w/pGain,dBBlackmanwindow旁瓣進一步減小,但主瓣寬度變寬為12π/N2023/2/577Kaiserwindow:I0是修正的零階貝塞爾函數β:控制阻帶的重要參數。β加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小。4<β<9（β=0矩形窗）2023/2/578窗函數主瓣寬度第一旁瓣相對主瓣的幅度阻帶最小衰減矩形窗4π/N-13dB-21dB三角窗8π/N-25dB-25dB漢寧窗(hanning)8π/N-31dB-44dB漢明窗(hamming)8π/N-41dB-53dBBlackman12π/N-57dB-74dBKaiser(α=7.865)10π/N-57dB-80dB

這些窗函數都是對稱的，可以用來設計線性相位FIR濾波器2023/2/579對窗函數的綜合要求：

（1）窗譜的主瓣應盡可能窄，以使設計出的濾波器有較陡的過渡帶；

（2）窗譜的最大旁瓣相對于主瓣盡可能小，使設計出的濾波器幅頻特性中肩峰和余振較小，紋波較小，從而阻帶衰減較大。窗函數法的參數選擇：

(1)確定截止頻率c

(2)利用過渡帶寬度的要求確定窗函數的主瓣寬度

(3)選擇窗函數形式

(4)利用關系式A/N估計窗口長度N，其中A是常數窗函數法設計簡單、實用，但是不能得到最佳效果，而且當理想濾波器的頻率響應Hd(ejω)不能用簡單的函數式表示的時候，則很難求出hd(n)。窗函數法小結1.由給定的濾波器的幅頻響應Hd