天體問題四種模型一、重力與萬有引力關系模型1．考慮地球（或某星球）自轉影響，地表或地表附近的隨地球轉的物體所受重力實質是萬有引力的一個分力由于地球的自轉，因而地球表面的物體隨地球自轉時需要向心力，向心力必來源于地球對物體的萬有引力，重力實際上是萬有引力的一個分力，由于緯度的變化，物體作圓周運動的向心力也不斷變化，因而地球表面的物體重力將隨緯度的變化而變化，即重力加速度的值g隨緯度變化而變化；從赤道到兩極逐漸增大．在赤道上，在兩極處，。

例1如圖１所示，Ｐ、Ｑ為質量均為m的兩個質點，分別置于地球表面不同緯度上，如果把地球看成是一個均勻球體，Ｐ、Ｑ兩質點隨地球自轉做勻速圓周運動，則以下說法中正確的是：（）A．P、Q做圓周運動的向心力大小相等B．P、Q受地球重力相等C．P、Q做圓周運動的角速度大小相等D．P、Q做圓周運動的周期相等

解析：隨地球自轉的物體必與地球有相同的周期、角速度；質量一樣的物體在地表不同緯度處所受地球萬有引力一般大,但重力和向心力不一般大．正確選項是CD。2．忽略地球（星球）自轉影響，則地球（星球）表面或地球（星球）上方高空物體所受的重力就是地球（星球）對物體的萬有引力．例2蕩秋千是大家喜愛的一項體育活動．隨著科技的迅速發展，將來的某一天，同學們也許會在其它星球上享受蕩秋千的樂趣。假設你當時所在星球的質量是M、半徑為R，可將人視為質點，秋千質量不計、擺長不變、擺角小于90°，萬有引力常量為G。那么，（1）該星球表面附近的重力加速度g星等于多少？（2）若經過最低位置的速度為v0,你能上升的最大高度是多少？解析：（1）設人的質量為m,在星球表面附近的重力等于萬有引力，有

解得

（2）設人能上升的最大高度為h,由功能關系得解得

二、衛星（行星）模型衛星（行星）模型的特征是衛星（行星）繞中心天體做勻速圓周運動，如圖2所示。1．衛星（行星）的動力學特征中心天體對衛星（行星）的萬有引力提供衛星（行星）做勻速圓周運動的向心力，即有：

2．衛星（行星）軌道特征由于衛星（行星）正常運行時只受中心天體的萬有引力作用，所以衛星（行星）平面必定經過中心天體中心。

3．衛星（行星）模型題型設計1)討論衛星（行星）的向心加速度a、繞行速度?、角速度ω、周期T與半徑r的關系問題。由得，故r越大，a向越小。由得，故r越大，?越小。由得，故越大，越小。由得，故越大，越長。 例3我國將要發射一顆繞月運行的探月衛星“嫦娥1號”。設該衛星的軌道是圓形的，且貼近月球表面．已知月球的質量約為地球質量的，月球的半徑約為地球半徑的,地球上的第一宇宙速度約為7．9km/s，則該探月衛星繞月運行的速率約為（）A．0．4km/sB．1．8km/sC．11km/sD．36km/s解析：由得，當衛星半徑時，v稱之為該中心天體的第一宇宙速度．所以有，解得，所以正確答案為B。

2)求中心天體的質量M或密度ρ（設中心天體的半徑R)若已知衛星繞中心天體做勻速圓周運動的周期T與半徑r根據得，則若已知衛星繞中心天體做勻速圓周運動的線速度若已知衛星繞中心天體做勻速圓周運動的線速度?與半徑r由得、則

若已知衛星繞中心天體做勻速圓周運動的線速度?與周期T由和得、則若已知中心天體表面的重力加速度g及中心天體的球半徑R由得則例4一飛船在某行星表面附近沿圓軌道繞該行星飛行，認為行星是密度均勻的球體，要確定該行星的密度，只需要測量（）A．飛船的軌道半徑B．飛船的運行速度C．飛船的運行周期D．行星的質量解析；根據得

則由于飛船在某行星表面附近沿圓軌道繞該行星飛行，所以上式中r=R，即。所以正確答案為C。3)衛星的變軌問題衛星繞中心天體穩定運動時萬有引力提供了衛星做勻速圓周運動的向心力，有當衛星由于某種原因速度?突然增大時，衛星將做離心運動；當突然減小時，，衛星做向心運動。

例5“神舟六號”飛行到第５圈時，在地面指揮控制中心的控制下，由近地點250km圓形軌道1經橢圓軌道2轉變到遠地點350km的圓軌道3。設軌道2與1相切于Q點，與軌道3相切于P點，如圖３所示，則飛船分別在1、2、軌道上運行時（）A．飛船在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率B．飛船在軌道3上的角速度小于在軌道1上的角速度C．飛船在軌道1上經過Q點時的加速度大于在軌道2上經過Q點的加速度D．飛船在軌道2上經過P點時的加速度等于在軌道3上經過P點的加速度解析：設地球質量為M，地球半徑為R，飛船質量為m，軌道半徑為r，由牛頓第二定律得和、即，可見在r增大時，V和ω都將減小，故A錯B對。飛船在同一點受到地球的萬有引力相同，其加速度必相同，與其在哪個軌道上運動無關，所以C錯D對。正確選項為BD。4)地球同步衛星問題地球同步衛星是指相對地面靜止的、運行周期與地球的自轉周期相等的衛星，這種衛星一般用于通訊，又叫做同步通信衛星，其特點可概括為“五個一定”即位置一定（必須位于地球赤道的上空）；周期一定（T=24h);高度一定（）；方向一定（自運行西向東運行）。

例6在地球上（看做質量均勻分布的球體）上空有許多同步衛星，下面說法中正確的是（）A．它們的質量可能不同B．它們的速度可能不同C．它們的角速度可能不同D．它們離地心的距離可能不同

解析：由同步衛星的“五個一定”可知BCD錯誤，正確答案為A。5)衛星的追及與相遇問題兩衛星在同一軌道繞中心天體同向運動，要使后一衛星追上前一衛星，我們稱之為追及問題。兩衛星在不同軌道繞中心天體在同一平面內做勻速圓周運動，當兩星某時相距最近時我們稱之為兩衛星相遇問題。例7如圖4所示，a、b、c是在地球大氣層外圓形軌道上運動的3顆衛星，下列說法正確的是（）A．b、c的線速度大小相等，且大于a的線速度B．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度C．c加速可追上同一軌道上的b，b減速可等候同一軌道上的cD．a衛星由于某原因，軌道半徑緩慢減小，其線速度將增大

解析：因為c在同b、一軌道上運行，故其線速度大小、加速度大小均相等。又b、c軌道半徑大于a的軌道半徑，由知vb=vc>va，故A選項錯；由加速度可知ab=ac<aa，故B選項錯當c加速時，c受到的萬有引力，故它將做離心運動；當b減速時，b受到的萬有引力,故它將做向心運動。所以無論如何c也追不上b，b也等不到c，故C選項錯。對a衛星，當它軌道半徑緩慢減小時，在轉動一段較短時間內，可近似認為它的軌道半徑未變，視為穩定運行，由知，r減小時v逐漸增大，故D選項正確。例8如圖5所示，A是地球的同步衛星．另一衛星B的圓形軌道位于赤道平面內，離地面高度為h。已知地球半徑為R，地球自轉角速度為ω0，地球表面的重力加速度為g，O為地球中心．（1）求衛星B的運行周期。（2）如衛星B繞行方向與地球自轉方向相同，某時刻A、B兩衛星相距最近（O、B、A在同一直線上），則至少經過多長時間，他們再一次相距最近？解析：（1）由萬有引力定律和向心力公式得

忽略地球自轉影響有解得

（2）設A、B兩衛星經時間t再次相距最近，由題意得（ωB-ω0）t=2π又有解得6)衛星的發射能量問題發射衛星過程中，火箭帶著衛星克服地球引力做功，將消耗大量能量，所以發射軌道越高的衛星，耗能越多，難度越大。同步衛星必須自西向東運行，才可以與地球保持相對靜止，故發射階段，火箭在合適之時應盡量靠近赤道且自西向東輸送，以便利用地球自轉動能，節省火箭能量。例9我中已經擁有甘肅酒泉、山西太原和四川西昌三個衛星發射中心，又計劃在海南建設一個航天發射場，預計2010年前投入使用．關于我國在2010年用運載火箭發射一顆同步衛星，下列說法正確的是（）A．在海南發射同步衛星可以充分利用地球自轉的能量，從而節省能源B．在酒泉發射同步衛星可以充分利用地球自轉的能量，從而節省能源C．海南和太原相比，在海南的重力加速度略微小一點，同樣的運載火箭在海南可以發射質量更大的同步衛星D．海南和太原相比，在太原的重力加速度略微小一點，同樣的運載火箭在太原可以發射質量更大的同步衛星解析：我國海南離赤道較近，火箭隨地球自轉線速度較大，具有的動能較大，若沿自轉方向發射可以節省能源。離赤道越近，所需隨地球自轉的向心力越大，則重力加速度越小，發射時克服引力越容易，故在海南處可以發射質量較大的衛星。正確選項為AC。三、雙星模型宇宙中往往會有相距較近，質量可以相比的兩顆星球，它們離其它星球都較遠，因此其它星球對它們的萬有引力可以忽略不計。在這種情況下，它們將各自圍繞它們連線上的某一固定點O做同周期的勻速圓周運動。如圖6所示，這種結構叫做雙星．雙星問題具有以下兩個特點：⑴由于雙星和該固定點O總保持三點共線，所以在相同時間內轉過的角度必相等，即雙星做勻速圓周運動的角速度必相等，因此周期也必然相同。⑵由于每顆星的向心力都是由雙星間相互作用的萬有引力提供的，因此大小必然相等，由F=mrω2可得,可得，，即固定點O離質量大的星較近。列式時須注意：萬有引力定律表達式中的r表示雙星間的距離，按題意應該是L，而向心力表達式中的r表示它們各自做圓周運動的半徑，在本題中為r1、r2,千萬不可混淆。例10神奇的黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統的運動規律．天文學家觀測河外星系大麥哲倫云時，發現了LMCX－3雙星系統，它由可見星A和不可見的暗星B構成。兩星視為質點，不考慮其它天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，如圖7所示。引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的速率v和運行周期T。（1）可見星A所受暗星B的引力FA可等效為位于O點處質量為m’的星體（視為質點）對它的引力，設A和B的質量分別為m1、m2,試求m’（用m1、m2表示）；（2）求暗星B的質量m2與可見星A的速率v、運行周期T和質量m1之間的關系式；（3）恒星演化到末期，如果其質量大于太陽質量ms的2倍，它將有可能成為黑洞。若可見星A的速率v＝2．7×105m/s，運行周期T＝4．7π×104s，質量m1＝6ms,試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎？（G＝6．67×10－11N·m2/kg2，ms＝2．0×1030kg）解析：設A、B的圓軌道半徑分別為r1、r2，由題意知，A、B做勻速圓周運動的角速度相同，設其為ω,由牛頓運動定律，有設A、B間距離為r,則r=r1+r2由以上各式解得由萬有引力定律有代入r得令通過比較得（2）由牛頓第二定律，有可見星A的軌道半徑將r1m′代人上式解得將m1=6ms代入上式得代入數據得設m2=nms(n>0),將其代入上式得可見，的值隨n增大而增大，試令n=2,得

可見，若使以上等式成立，則必大于2，即暗星B的質量m2必大于2ms，由此可得出結論：暗星B有可能是黑洞。

四、三星模型例11宇宙中存在一些離其它恒星較遠的、由質量相等的三顆星組成的三星系統，通常可忽略其它星體對它們的引力作用。已觀測到穩定