山西省朔州市南河種鎮中學2021年高二數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.一梯形的直觀圖是一個如圖所示的等腰梯形，且該梯形面積為，則原梯形的面積(

)A．2

B.

C．2

D．4參考答案：D設直觀圖中梯形的上底為x，下底為y，高為h.則原梯形的上底為x，下底為y，高為2h，故原梯形的面積為4，選D.2.“1＜m＜2”是“方程+=1表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】簡易邏輯．【分析】根據橢圓的性質，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【解答】解：若方程+=1表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓，則，即，解得1＜m＜2，即“1＜m＜2”是“方程+=1表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓”的充要條件，故選：C【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據橢圓方程的性質是解決本題的關鍵．3.不等式的解集是(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：C4.已知等差數列共有10項，其中奇數項之和15，偶數項之和為30，則其公差是（）

A．5

B．4

C．3

D．2參考答案：C略5.用三段論推理：“指數函數是增函數，因為是指數函數，所以是增函數”，你認為這個推理

()A．大前提錯誤

B.小前提錯誤

C．推理形式錯誤

D．是正確的參考答案：A6.已知圓O：；直線過點（0，3），傾斜角為，在區間（0，π）內隨機取值，與圓O相交于A、B兩點，則|AB|≤的概率是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A7.若函數滿足：，則的最小值為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B8.不等式a2+b2﹣a2b2﹣1≤0成立的充要條件是（）A．|a|≥1且|b|≥1 B．|a|≤1且|b|≤1 C．（|a|﹣1）（|b|﹣1）≥0 D．（|a|﹣1）（|b|﹣1）≤0參考答案：C【考點】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】a2+b2﹣a2b2﹣1≤0?（a2﹣1）（b2﹣1）≥0?（|a|﹣1）（|b|﹣1）≥0．即可判斷出結論．【解答】解：a2+b2﹣a2b2﹣1≤0?a2（1﹣b2）+（b2﹣1）≤0?（b2﹣1）（1﹣a2）≤0?（a2﹣1）（b2﹣1）≥0?（|a|﹣1）（|b|﹣1）≥0．故選：C．【點評】本題考查不等式的性質與解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．9.在極坐標系中，點M（1，0）關于極點的對稱點為（）A．（1，0） B．（﹣1，π） C．（1，π） D．（1，2π）參考答案：C【考點】極坐標刻畫點的位置．【分析】（ρ，θ）關于極點的對稱點為（ρ，π+θ）．【解答】解：∵（ρ，θ）關于極點的對稱點為（ρ，π+θ），∴M（1，0）關于極點的對稱點為（1，π）．故選：C．10.若命題；命題，則下列命題為真命題的（）A. B. C. D.參考答案：B【分析】先單獨判斷出命題、真假性，再結合邏輯連接詞“且或非”的真假性關系判斷各選項的真假性.【詳解】解：因為恒成立所以命題為真命題，為假命題又因為當時，恒成立所以命題為假命題，為真命題選項A：為假命題；選項B：為真命題；選項C：為假命題；選項D：為假命題故選：B.【點睛】本題主要考查了全稱與特稱命題的真假性判斷和復合命題真假性的判斷，與的真假性一定相反；命題滿足“全真則真，有假則假”.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.方程x2﹣2kx﹣3k=0一根大于1，一根小于﹣1，則實數k的取值范圍．參考答案：（1，+∞）【考點】7H：一元二次方程的根的分布與系數的關系．【分析】設（x）=x2﹣2kx﹣3k，令f（1）＜0且f（﹣1）＜0即可解出k的范圍．【解答】解：設f（x）=x2﹣2kx﹣3k，由題意可知，即，解得k＞1．故答案為：（1，+∞）．12.從1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52中得出的一般性結論是．參考答案：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2【考點】F3：類比推理．【分析】從具體到一般，觀察按一定的規律推廣．【解答】解：從具體到一般，按照一定的規律，可得如下結論：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2故答案為：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）213.如果執行右側的程序框圖，那么輸出的

．參考答案：420

略14.在等比數列中，若是方程的兩根，則的值是__________.參考答案：略15.過點作圓的兩條切線,切點分別為,為坐標原點,則的外接圓方程是

．參考答案：16.已知正方體、球、底面直徑與母線相等的圓柱，它們的表面積相等，試比較它們的體積V正方體，V球，V圓柱的大小．參考答案：解：設正方體的邊長為a，球的半徑為r，圓柱的底面直徑為2R，則6a2＝4πr2＝6πR2＝S．∴a2＝，r2＝，R2＝．----------------------------3分∴(V正方體)2＝(a3)2＝(a2)3＝＝，(V球)2＝＝π2(r2)3＝π2≈，(V圓柱)2＝(πR2×2R)2＝4π2(R2)3＝4π2≈．∴V正方體＜V圓柱＜V球．--------10分

17.已知a∈(，)，sinα=，則tan2α=

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數，對任意的x∈（0，+∞），滿足，其中a，b為常數．（1）若f（x）的圖象在x=1處切線過點（0，﹣5），求a的值；（2）已知0＜a＜1，求證：；（3）當f（x）存在三個不同的零點時，求a的取值范圍．參考答案：【考點】6H：利用導數研究曲線上某點切線方程；53：函數的零點與方程根的關系；6K：導數在最大值、最小值問題中的應用．【分析】（1）由求得a=b，代入原函數求得則f′（1），再求出f（1）由直線方程點斜式求得切線方程，代入（0，﹣5）求得a=﹣2；（2）求出=，令g（x）=（0＜x＜1），利用導數求得g（x）在（0，1）上為減函數，則由g（x）＞g（1）＞0得答案；（3）求出函數f（x）=lnx﹣ax+的導函數，分析可知當a≤0時，f′（x）＞0，f（x）為（0，+∞）上的增函數，不符合題意；當a＞0時，由△＞0求得a的范圍．進一步求得導函數的兩個零點，分別為，則x1＜1，x2＞1，由f（x）在（x1，1）上遞增，得f（x1）＜f（1）=0，再由，可得存在，使得f（x0）=0，結合，f（1）=0，可得使f（x）存在三個不同的零點時的實數a的取值范圍是（0，）．【解答】（1）解：由，且，得，即，∴a=b．則f（x）=lnx﹣ax+，∴，則f′（1）=1﹣2a，又f（1）=0，∴f（x）的圖象在x=1處的切線方程為y﹣0=（1﹣2a）（x﹣1），即y=（1﹣2a）x﹣1+2a．∵（0，﹣5）在切線上，∴﹣5=﹣1+2a，即a=﹣2；（2）證明：∵f（x）=lnx﹣ax+，∴=，令g（x）=（0＜x＜1），則=＜0．∴g（x）在（0，1）上為減函數，∵x∈（0，1）時，g（x）＞g（1）=2ln1﹣+2﹣ln2=．∴0＜a＜1時，；（3）由f（x）=lnx﹣ax+，得=．當a=0時，，f（x）為（0，+∞）上的增函數，不符合題意；當a＜0時，，f（x）為（0，+∞）上的增函數，不符合題意；當a＞0時，由△=1﹣4a2＞0，得0．則當x∈（0，），（）時，f′（x）＜0；當x∈（）時，f′（x）＞0．設，則x1＜1，x2＞1，∵f（x）在（x1，1）上遞增，∴f（x1）＜f（1）=0，又，∴存在，使得f（x0）=0，又，f（1）=0，∴f（x）恰有三個不同的零點．綜上，使f（x）存在三個不同的零點時的實數a的取值范圍是（0，）．【點評】本題考查了函數性質的應用，考查了利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，訓練了函數最值的求法，考查了利用導數判斷函數零點的方法，著重考查了數學轉化思想的應用，是難度較大的題目．19.（本小題滿分10分)設對于任意實數，不等式≥m恒成立．求m的取值范圍；參考答案：解：20.（本題滿分13分）已知數列中，.（Ⅰ）設，求數列的通項公式；（Ⅱ）設求證：是遞增數列的充分必要條件是.參考答案：解：（Ⅰ）

是公差為的等差數列，又

…………6分

（Ⅱ）證明：“必要性”數列遞增…………

9分

“充分性”以下用“數學歸納法”證明，時，成立①時，成立；②假設成立，則那么即時，成立綜合①②得成立。即時，遞增，

故，充分性得證。

…………

13分略21.已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若此方程表示圓，求m的取值范圍；（2）若（1）中的圓與直線x+2y﹣4=0相交于M、N兩點，且OM⊥ON（O為坐標原點），求m；（3）在（2）的條件下，求以MN為直徑的圓的方程．參考答案：【考點】直線和圓的方程的應用；二元二次方程表示圓的條件．【專題】直線與圓．【分析】（1）圓的方程化為標準方程，利用半徑大于0，可得m的取值范圍；（2）直線方程與圓方程聯立，利用韋達定理及OM⊥ON，建立方程，可求m的值；（3）寫出以MN為直徑的圓的方程，代入條件可得結論．【解答】解：（1）（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，∴方程表示圓時，m＜5；（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），則x1=4﹣2y1，x2=4﹣2y2，得x1x2=16﹣8（y1+y2）+4y1y2，∵OM⊥ON，∴x1x2+y1y2=0，∴16﹣8（y1+y2）+5y1y2=0①，由，得5y2﹣16y+m+8=0，∴，．代入①得．（3）以MN為直徑的圓的方程為（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0，即x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y=0，∴所求圓的方程為．【點評】本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．22.已知函數在區間和上單調遞增，在上單調遞減，其圖象與軸交于三點，其