多數的可能性問題—從阿羅不可能性定理說起民主人民當家作主，少數服從多數多數人對少數人的暴政多數人的偏好真的能夠上升為社會偏好從而造成多數人的專制？阿羅不可能性定理1972年諾貝爾經濟學獎得主，美國的社會學家和經濟學家肯尼思·阿羅，他在《社會選擇與個人價值》一書中提出并證明了著名的阿羅不可能定理。定理簡單地來說，也就是：當至少有三名候選人和兩位選民時，大多數情況下達成多數人的偏好優先是幾乎不可能實現的，也就是說多數人的個體偏好真正轉化為社會偏好的可能性是極其低微的。投票者對不同選擇方案的喜好程度AabcBbcaCcab表一我們假設現在有三個個體A，B,C，有三個可供選擇的候選對象a,b,c,每個個體行成他各自的偏好序列，我們假設他們的偏好序列如下:如果三個人都能充分表達自己的意見,則結果如下所示：首先，在a和b中選擇,A、C喜歡a,B喜歡b；然后,在b和c中選擇,A、B喜歡b,C喜歡c；最后,在c和a中選擇,B、C喜歡c,A喜歡a。這樣三個人的最終表決結果如下a>b,b>c,c>a可見,利用少數服從多數的投票機制,將產生不出一個令所有人滿意的結論這就是著名的“投票悖論”。這個投票悖論最早是由康德爾賽在18世紀提出的,而是阿羅對其進行了數學的證明。阿羅認為，一種“合理的”集體選擇和社會決策機制應能夠滿足如下幾個前提條件：1.自由選擇。對所有備選方案，任何人都可以有自己的任何的行為偏好。2.非獨裁性。沒有哪個人能使其偏好自動地支配任一其他人的偏好。也就是說，不存在這樣一個成員，只要他喜歡狀況a超過b，不管其他成員的偏好如何，集體就得把a放在b前面。3.如果社會中每個人喜歡狀況a超過b，則集體也必須把a放在b前面。4.不相干方案的獨立性。集體對任何兩個方案的偏好，僅與集體成員對這兩個方案的偏好有關，而與他們對其他不相干方案的偏好無關。所有這四個要求看起來極其有道理，不過要找到一個適合所有這些條件的機制卻相當困難。事實上，阿羅已經證明了以下這個著名的結論：如果一個社會決策機制滿足以上條件，那么它必然是一個獨裁：所以社會偏好順序就是一個人的偏好順序。這就是“阿羅不可能定理”。它表明，在現實的公共選擇中，人們不可能找出一種確切的集體選擇規則或方法，能夠保證從個人的偏好得到“合理的”集體的選擇。從20世紀60年代中期起,森(Sen,AmartyaKumar,1933-)在工具性建設方面的貢獻減少了這種悲觀主義色彩。森所建議的解決方法其實非常簡單。森發現,當所有人都同意其中一項選擇方案并非最佳的情況下,阿羅的“投票悖論”就可以迎刃而解。比如,我們假定所有人均同意a項選擇方案并非最佳,這樣上面的表1就變為表2,僅僅A的偏好由于同意“a并非最佳”而a和b的順序互換了一下,別的都不變。投票者對不同選擇方案的喜好程度AbacBbcaCcab表二在對a和b兩種方案投票時,b以兩票(AB)對一票(C)而勝出于a(a>b)；同理,在對a和c以及b和c分別進行投票時,可以得到c以兩票(BC)對一票(A)而勝出于a(c>a)；b以兩票(AB)對一票(C)而勝出于c(b>c)。這樣,b>c→c>a→b>a,投票悖論就此宣告消失,唯有C項選擇方案得到大多數票而獲勝。

森把這個發現加以延伸和拓展,得出了解決投票悖論的三種選擇模式:(1)所有人都同意其中一項選擇方案并非最佳；(2)所有人都同意其中一項選擇方案并非次佳；(3)所有人都同意其中一項方案并非最差。森認為,在上述三種選擇模式下,投票悖論不會再出現,取而代之的結果是得大多數票者獲勝的規則總是能達到唯一的決定。顯而易見，對并非最佳方案的共識是容易并且有可能實現的，因而森在一定程度上解決了阿羅不可能定理絕對性的悲劇結果。除此之外，也有理論家試圖從放寬阿羅的四個合理性假設上來解決投票困境，也有理論家試圖從投票規則的重新定義和選擇上面來解決投票悖論試圖接