山西省忻州市河邊中學2022-2023學年高三數學文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某設備使用年限x（年）與所支出的維修費用y（萬元）的統計數據(x,y)分別為(2,1.5)，(3,4.5)，(4,5.5)，(5,6.5)，由最小二乘法得到回歸直線方程為，若計劃維修費用超過15萬元將該設備報廢，則該設備的使用年限為（

）A.8年 B.9年 C.10年 D.11年參考答案：D【分析】根據樣本中心點在回歸直線上，求出，求解，即可求出答案.【詳解】依題意在回歸直線上，，由，估計第年維修費用超過15萬元.故選:D.【點睛】本題考查回歸直線過樣本中心點、以及回歸方程的應用，屬于基礎題.2.已知向量a，b滿足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝－，則a與b的夾角為A．

B．

C．

D．參考答案：B3.定義在R上的函數f（x）滿足f（x）=，則f（3）的值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2參考答案：B【考點】3T：函數的值．【分析】利用分段函數的性質和對數的運算法則求解．【解答】解：∵f（x）=，∴f（3）=f（2）﹣f（1）=f（1）﹣f（0）﹣f（1）=﹣f（0）=﹣log24=﹣2．故選：B．4.是虛數單位，復數等于

A．

B．

C．

D．參考答案：D5.將函數的圖像按向量平移后，所得圖像解析式是A、

B、C、

D、參考答案：答案：A解析：∵按向量平移，即是左移個單位，下移個單位，∴

平移后為

故：選A；

6.執行如圖所示的程序框圖，如果輸出的結果為0，那么輸入的x為（

）A．

B．－1或1

C．1

D．－1參考答案：D7.已知復數z滿足（i是虛數單位），則=（）A. B. C. D.參考答案：A【分析】把已知等式變形，再由復數代數形式的乘除運算化簡得答案．【詳解】解：由，得，．故選：A．8.若點滿足不等式，則的最大值是（）A. B. C.2 D.﹣2參考答案：C【分析】由不等式組畫出可行域，再利用目標函數的幾何意義為可行域內任意一點與定點連線的斜率，進而求解。【詳解】由約束條件畫出可行域如圖，的幾何意義為可行域內動點與定點連線的斜率，由圖可知在與交點處，斜率最大，點，所以其最大值為．故選：C．【點睛】本題考查線性規劃問題，還考查了利用目標函數的幾何意義求最值，重點考查學生數形結合的思想，屬于中檔題。9.設a、b、c為非零實數，且，則（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】取，計算知錯誤，根據不等式性質知正確，得到答案.【詳解】，故，，故正確；取，計算知錯誤；故選：C.【點睛】本題考查了不等式性質，意在考查學生對于不等式性質的靈活運用.10.函數y＝sin(2x＋)的圖象可由函數y＝sin2x的圖象

A．向左平移個單位長度而得到

B．向右平移個單位長度而得到C．向左平移個單位長度而得到

D．向右平移個單位長度而得到參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某籃球運動員在5場比賽中得分的莖葉圖如圖所示，則這位球員得分的平均數等于________．參考答案：1512.函數圖像上一個最高點為,相鄰的一個最低點為,則

參考答案：13.若點O和點F分別為橢圓的中心和左焦點，點P為橢圓上任意一點，則的最大值為

。參考答案：614.在△ABC中，已知AB=8，AC=6，點O為三角形的外心，則=

．參考答案：14【考點】平面向量數量積的運算．【分析】可分別取AB，AC的中點D，E，并連接OD，OE，據條件即可得出OD⊥AB，OE⊥AC，而，代入進行數量積的計算即可求出該數量積的值．【解答】解：如圖，取AB中點D，AC中點E，連接OD，OE，則：OD⊥AB，OE⊥AC；∴=====32﹣18=14．故答案為：14．15.已知集合A＝{x|x2＜3x＋4，xR}，則A∩Z中元素的個數為

▲

．參考答案：416.不等式的解集為___________．參考答案：；易得不等式的解集為.17.如右圖，正方體的棱長為1，分別為線段上的點，則三棱錐的體積為____________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題14分）如圖，四棱錐中，底面是邊長為4的菱形，，，為中點.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面平面；（Ⅲ）若，求三棱錐的體積.參考答案：見解析【考點】空間幾何體的表面積與體積垂直平行【試題解析】解（Ⅰ）設，連結，∵為中點，為中點，∴∥．

又∵平面，平面，

∴∥平面．

（Ⅱ）連結，∵,為中點，∴．

又∵底面為菱形，∴.

∵,

∴平面.

又∵平面,

∴平面平面.（Ⅲ）

．19.直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分別是CC1、BC的中點，AE⊥A1B1，D為棱A1B1上的點．（1）證明：DF⊥AE；（2）是否存在一點D，使得平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為？若存在，說明點D的位置，若不存在，說明理由．參考答案：考點：二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的性質．專題：空間位置關系與距離；空間向量及應用．分析：（1）先證明AB⊥AC，然后以A為原點建立空間直角坐標系A﹣xyz，則能寫出各點坐標，由與共線可得D（λ，0，1），所以?=0，即DF⊥AE；

（2）通過計算，面DEF的法向量為可寫成=（3，1+2λ，2（1﹣λ）），又面ABC的法向量=（0，0，1），令|cos＜，＞|=，解出λ的值即可．解答： （1）證明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1，又∵AC?面A1ACC1，∴AB⊥AC，以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系A﹣xyz，則有A（0，0，0），E（0，1，），F（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），設D（x，y，z），且λ∈，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），則

D（λ，0，1），所以=（，，﹣1），∵=（0，1，），∴?==0，所以DF⊥AE；

（2）結論：存在一點D，使得平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為．理由如下：設面DEF的法向量為=（x，y，z），則，∵=（，，），=（，﹣1），∴，即，令z=2（1﹣λ），則=（3，1+2λ，2（1﹣λ））．由題可知面ABC的法向量=（0，0，1），∵平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為，∴|cos＜，＞|==，即=，解得或（舍），所以當D為A1B1中點時滿足要求．點評：本題考查空間中直線與直線的位置關系、空間向量及其應用，建立空間直角坐標系是解決問題的關鍵，屬中檔題．20.（本題滿分12分）如圖，已知是正三棱柱，它的底面邊長和側棱長都是2，D為側棱的中點，為的中點．（1）求證：；（2）求直線到平面的距離；（3）求二面角的正切值．參考答案：【知識點】點到面的距離

二面角

G11（1）略；（2）；（3）.(1)證明:連結,則，又∵,∴平面,∴,而,∴.

(2)取中點為,連結則,∴.

過作直線于點,則平面,∴就是直線到平面的距離.在矩形中,∴在中,直線到平面的距離.

(3)過作于點,則平面,

過作于點,連結,則∴即為所求二面角的平面角,

在中,為中點,∴,在中,.所以二面角的正切值為.【思路點撥】(1)連結,證明平面,∴,而,∴；（2）取中點為,連結則,∴.過作直線于點,則平面,∴就是直線到平面的距離；（3）過作于點,則平面,過作于點,連結,則則即為所求二面角的平面角,即可求得.21.已知f（x）=cos2（﹣x）﹣（cosx﹣sinx）2﹣．（1）求f（x）的單調區間；（2）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（）=0，且a=1，求△ABC周長的最大值．參考答案：【考點】正弦定理．【分析】（1）利用三角函數恒等變換的應用化簡函數解析式可得f（x）=sin2x﹣，利用正弦函數的單調性即可得解．（2）由題意知，可求，利用正弦定理可求，，從而利用三角函數恒等變換的應用化簡可求a+b+c=2sin（B+）+1，由范圍，可求，利用正弦函數的性質可求其最大值．【解答】解：（1）=，∴由，得其增區間為：；由，得其減區間為：．（2）∵由題意知，∴．又由正弦定理，知：，，則△ABC的周長為=．由，知：，則有，，∴△ABC的周長的最大值為3．22.設不等式|x﹣2|＞1的解集與關于x的不等式x2﹣ax+b＞0的解集相同．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函數的最大值，以及取得最大值時x的值．參考答案：【考點】絕對值不等式的解法；函數的值域．【專題】計算題；不等式的解法及應用．【分析】（Ⅰ）依題意，通過解絕對值不等式|x﹣2|＞1可求其解集，從而可知x2﹣ax+b=0的解，由韋達定理可求得a，b的值；（Ⅱ）通過導數法可求得f（x）=4+3的最大值，以及取得最大值時x的值．【解答】解：（Ⅰ）∵|x﹣2|＞1，∴x＞3或x＜1．∴不等式|x﹣2|＞1的解集為{x|x＞3或x＜1}；∵不等式|x﹣2|＞1的解集與關于x的不等式x2﹣ax+b＞0的解集相同，∴1和3是方程x