山西省忻州市南河溝鄉中學2021年高三數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設函數則不等式的解集是

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略2.若執行如圖所示的程序框圖，輸出S的值為3，則判斷框中應填入的條件是（）A．k＜6？ B．k＜7？ C．k＜8？ D．k＜9？參考答案：C【考點】E7：循環結構．【分析】根據程序框圖，寫出運行結果，根據程序輸出的結果是S=3，可得判斷框內應填入的條件．【解答】解：根據程序框圖，運行結果如下：

S

k

第一次循環

log23

3第二次循環

log23?log34

4第三次循環

log23?log34?log45

5第四次循環

log23?log34?log45?log56

6第五次循環

log23?log34?log45?log56?log67

7第六次循環

log23?log34?log45?log56?log67?log78=log28=3

8故如果輸出S=3，那么只能進行六次循環，故判斷框內應填入的條件是k＜8．故選：C．【點評】本題考查程序框圖，尤其考查循環結構，對循環體每次循環需要進行分析并找出內在規律，屬于基礎題．3.已知變量x，y滿足約束條件，則的取值范圍為（）A．（﹣，] B．（﹣∞，] C．（﹣，） D．（﹣∞，）參考答案：D【考點】7C：簡單線性規劃．【分析】首先畫出可行域，利用目標函數的幾何意義求最值即可．【解答】解：由已知得到可行域如圖：則的幾何意義表示區域內的點與（0，﹣1）連接的直線斜率，所以與A連接的直線斜率最大，與O連接直線斜率最小，故則的取值范圍為（﹣∞，）；故選D．【點評】本題考查了簡單線性規劃問題；正確畫出可行域是前提，利用目標函數的幾何意義求最值是關鍵，利用了數形結合的思想．4.已知平面向量滿足的夾角為60°，若則實數的值為A.1 B. C.2 D.3參考答案：D略5.已知R，且≥對∈R恒成立，則的最大值是A．

B．

C．

D．參考答案：A【知識點】導數的應用，數形結合法確定不等式恒成立的條件.

B12

E8解析：即對∈R恒成立，設直線y=ax與曲線相切的切點為，又，則，所以，，所以，設：，則得，可判斷f(a)在處有最大值，所以的最大值是：，故選A.【思路點撥】≥對∈R恒成立，即對∈R恒成立，即直線y=ax恒在曲線的下方，為此先求直線y=ax與曲線相切的條件，，再用導數法求得ab的最大值.

6.已知實數x，y滿足，則|3x+y|的最大值為（）A．5 B．6 C．7 D．8參考答案：C【考點】7C：簡單線性規劃．【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標函數的最優解求解表達式的最大值即可．【解答】解：實數x，y滿足的可行域如圖：則|3x+y|的最大值就是平移圖中的兩條虛線，可知B是最優解，由：，解得B（2，1），則|3x+y|的最大值為：3×2+1=7．故選：C．7.定義域為的函數，滿足，，則不等式的解集為(▲)A.

B.

C.

D.參考答案：D略8.函數y=+的定義域為（）A．[﹣，+∞） B．（﹣∞，] C．[﹣，] D．（﹣，）參考答案：C【考點】函數的定義域及其求法．【分析】根據二次根式被開方數大于或等于0，列出不等式組求出解集即可．【解答】解：函數y=+，∴，解得﹣≤x≤，∴函數y的定義域為[﹣，]．故選：C．9.已知函數f（x）為奇函數，且當x＞0時，，則f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2參考答案：A【考點】函數的值．【專題】函數的性質及應用．【分析】利用奇函數的性質，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．【解答】解：∵函數f（x）為奇函數，x＞0時，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故選A．【點評】本題考查奇函數的性質，考查函數的求值，屬于基礎題．10.已知奇函數f(x)在R上是增函數.若，則a，b，c的大小關系為（A）a＜b＜c（B）b＜a＜c（C）c＜b＜a

（D）c＜a＜b參考答案：C由題意：，且：，據此：，結合函數的單調性有：，即.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.(坐標系與參數方程選做題)極坐標系內，點關于直線的對稱點的極坐標為.參考答案：12.某校今年計劃招聘女教師x人，男教師y人，若x、y滿足，則該學校今年計劃招聘教師最多人．參考答案：10【考點】簡單線性規劃．【分析】作出不等式組對應的平面區域，則目標函數為z=x+y，利用線性規劃的知識進行求解即可．【解答】解：設z=x+y，作出不等式組對應的平面區域如圖：由z=x+y得y=﹣x+z，平移直線y=﹣x+z，由圖象可知當直線y=﹣x+z經過點A時，直線y=﹣x+z的截距最大，此時z最大．但此時z最大值取不到，由圖象當直線經過整點E（5，5）時，z=x+y取得最大值，代入目標函數z=x+y得z=5+5=10．即目標函數z=x+y的最大值為10．故答案為：10．13.已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（t，），若﹣2與共線，則t=

．參考答案：1考點：平面向量共線（平行）的坐標表示．專題：平面向量及應用．分析：由向量減法的坐標運算及數乘運算求得若﹣2的坐標，再由向量共線的坐標表示列式求得t的值．解答： 解：∵=（，1），=（0，﹣1），∴﹣2=，又=（t，），且﹣2與共線，則，解得：t=1．故答案為：1．點評：平行問題是一個重要的知識點，在2015屆高考題中常常出現，常與向量的模、向量的坐標表示等聯系在一起，要特別注意垂直與平行的區別．若=（a1，a2），=（b1，b2），則⊥?a1a2+b1b2=0，∥?a1b2﹣a2b1=0，是基礎題．14.已知平面向量，滿足：，則的夾角為

參考答案：因為，所以，所以的夾角為。15.不等式的解集為

.

參考答案：16.實數x，y滿足約束條件，若函數的最大值為4，則實數a的值為__________．參考答案：略17.已知函數是定義域為，其圖像上的任意一點滿足，則下列命題正確的是

。（寫出所有正確命題的編號）①函數一定是偶函數；②函數可能既不是奇函數，也不是偶函數；③函數可能是奇函數；④函數若是偶函數，則值域是或；⑤函數的值域是，則函數一定是奇函數。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）已知橢圓C:=1()的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為.(1)求橢圓的方程；(2)設不與坐標軸平行的直線與橢圓交于、兩點，坐標原點到直線的距離為，求△面積的最大值.參考答案：解：（1）設橢圓的半焦距為，依題意∴，∴

所求橢圓方程為．……5分（2）設，．坐標原點到直線的距離為，得．………6分把代入橢圓方程，整理得，，．………8分…………………9分．…………11分當且僅當，即時等號成立．所以，．所以，面積的最大值．…13分

略19.參考答案：20.如圖，四棱柱的底面是菱形，，底面，，.（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.參考答案：（Ⅰ）證明：∵平面，平面，∴.∵是菱形，∴.∵，∴平面.∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）∵平面，，以為原點，，，方向為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系.∵，，，∴，，.則，，，，∴，.設平面的法向量為，∵，，∴.令，得.同理可求得平面的法向量為.∴.21.己知函數f（x）=|x﹣2|+a，g（x）=|x+4|，其中a∈R．（Ⅰ）解不等式f（x）＜g（x）+a；（Ⅱ）任意x∈R，f（x）+g（x）＞a2恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點】絕對值不等式的解法；絕對值三角不等式．【專題】函數思想；綜合法；函數的性質及應用．【分析】（Ⅰ）問題轉化為解不等式|x﹣2|＜|x+4|，兩邊平方，解出即可；（Ⅱ）f（x）+g（x）＞a2可化為a2﹣a＜|x﹣2|+|x+4|，根據絕對值的性質，求出|x﹣2|+|x+4|的最小值，從而求出a的范圍．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜g（x）+a即|x﹣2|＜|x+4|，兩邊平方得：x2﹣4x+4＜x2+8x+16，解得：x＞﹣1，∴原不等式的解集是（﹣1，+∞）；（Ⅱ）f（x）+g（x）＞a2可化為a2﹣a＜|x﹣2|+|x+4|，又|x﹣2|+|x+4|≥|（x﹣2）﹣（x+4）|=6，∴a2﹣a＜6，解得：﹣2＜a＜3，∴a的范圍是（﹣2，3）．【點評】本題考察了解絕對值不等式問題，考察轉化思想，是一道基礎題．22.現對某市工薪階層關于“樓市限購令”的態度進行調查，隨機抽調了50人，他們月收入的頻數分布及對樓市“樓市限購令”贊成人數如下表．

月收入（單位百元）[15,25[25，35[35，45[45，55[55，65[65,75頻數510151055贊成人數4812521

（Ⅰ）由以上統計數據填下面2乘2列聯表并問是否有99%的把握認為“月收入以5500為分界點對“樓市限購令”的態度有差異；

月收入不低于55百元的人數月收入低于55百元的人數合計贊成

不贊成

合計

（Ⅱ)若對在[15，25），[25，35）的被調查中各隨機選取兩人進行