山西省忻州市代縣第三中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.甲校有3600名學(xué)生，乙校有5400名學(xué)生，丙校有1800名學(xué)生。為統(tǒng)計(jì)三校學(xué)生某方面的情況，計(jì)劃采用分層抽樣法，抽取一個容量為90人的樣本，應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生A．30人，30人，30人

B．30人，45人，15人C．20人，30人，10人

D．30人，50人，10人參考答案：B2.定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)滿足對，有，且當(dāng)時，，若函數(shù)在上至少有三個零點(diǎn)，則的取值范圍是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B因?yàn)椋沂嵌x域?yàn)镽的偶函數(shù)，令x=-1所以，即f（1）=0則有，所以是周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)時，，圖象為開口向下，頂點(diǎn)為（3，0）的拋物線，因?yàn)楹瘮?shù)在上至少有三個零點(diǎn)，因?yàn)閒（x）≤0，所以g（x）≤0，可得a＜1，要使函數(shù)在上至少有三個零點(diǎn)，令，如圖要求g（2）＞f（2），可得就必須有，所以可得，所以。

3.函數(shù)（其中）的圖象不可能是參考答案：C4.已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（A）

（B）

（C）

（D）

參考答案：B略5.若復(fù)數(shù)z滿足z(i＋1)＝，則復(fù)數(shù)z的虛部為()A．－1

B．0

C．i

D．1參考答案：B6.在區(qū)間(0,3)上任取一個實(shí)數(shù)x，則的概率是(

)A. B. C. D.參考答案：C在區(qū)間(0,3)上任取一個實(shí)數(shù)x，若，則.∵(0,3)的區(qū)間長度為3，(0,1)的區(qū)間長度為1∴在區(qū)間(0,3)上任取一個實(shí)數(shù)x，則的概率是故選C.

7.已知α、β均為銳角，且的值為（）A．﹣1 B．1 C． D．不存在參考答案：B【考點(diǎn)】兩角和與差的正切函數(shù)；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．【分析】由條件化簡可得tanβ=tan（﹣α），再由α、β均為銳角，可得β=﹣α，即α+β=，故可求tan（α+β）的值．【解答】解：∵tanβ===tan（﹣α），又∵α、β均為銳角，∴β=﹣α，即α+β=，∴tan（α+β）=tan=1，故選B．8.設(shè)則“且”是“”的（

）A.充分而不必要條件

B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．即不充分也不必要條件參考答案：A略9.定義運(yùn)算=ad－bc，則滿足=0的復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)在A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：答案：A10.下列命題正確的個數(shù)是(

)①命題“”的否定是“”；②函數(shù)的最小正周期為”是“”的必要不充分條件；③在上恒成立在上恒成立；④“平面向量與的夾角是鈍角”的充分必要條件是“”.(A)1

(B)2

(C)3

(D)4參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.曲線y=2lnx在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為__________．參考答案：y=2x–2由，得則曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線的斜率為，則所求切線方程為，即.

12.已知sinα=，且α為鈍角，則cos=．參考答案：．【分析】根據(jù)題意，由余弦的二倍角公式可得cos=，又由α是鈍角，可得的范圍，由此可得cos的符號為正，即可得答案．【解答】解：∵由α是鈍角，即90°＜α＜180°，則45°＜＜90°，∴cosα＜0，cos＞0，∴cosα=﹣=﹣，∴cos===．故答案為：．13.(幾何證明選講）如圖，內(nèi)接于圓，，直線切圓于點(diǎn)，交于點(diǎn).若，則的長為

.參考答案：略14.若向量，滿足||=||=|+|=1，則?的值為

．參考答案：﹣【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】平面向量及應(yīng)用．【分析】利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可得出．【解答】解：∵向量，滿足||=||=|+|=1，∴，化為，即1，解得．故答案為．【點(diǎn)評】熟練掌握向量的數(shù)量積運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．15.若拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則實(shí)數(shù)p的值是

.參考答案：8試題分析：的右焦點(diǎn)為，所以考點(diǎn)：本小題主要考查雙曲線和拋物線中基本量的計(jì)算，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.點(diǎn)評：橢圓和雙曲線、拋物線經(jīng)常結(jié)合出題，要注意它們之間基本量的聯(lián)系和區(qū)別.16.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2，）到直線ρcos（x﹣）=0的距離是．參考答案：考點(diǎn)： 簡單曲線的極坐標(biāo)方程．專題： 坐標(biāo)系和參數(shù)方程．分析： 把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．解答： 解：點(diǎn)P（2，）化為，即．直線ρcos（x﹣）=0化為，化為+y=0．∴點(diǎn)（2，）到直線ρcos（x﹣）=0的距離d==．故答案為：．點(diǎn)評： 本題考查了把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．17.一個直六棱柱的底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長為3，則它的外接球的表面積為．參考答案：25π【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】直六棱柱的外接球的直徑為直六棱柱中最長的對角線，可得直六棱柱的外接球的直徑，即可求出外接球的體積．【解答】解：直六棱柱的外接球的直徑為直六棱柱中最長的對角線，∵一個直六棱柱的底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長為3，∴直六棱柱的外接球的直徑為5，∴外接球的半徑為，∴外接球的表面積為=25π．故答案為：25π．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(1,0)，若直線l的極坐標(biāo)方程為，曲線C的參數(shù)方程是，（m為參數(shù)）．（1）求直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；（2）設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求．參考答案：（1），；（2）1．（1）由，得，由，得，因?yàn)椋サ茫灾本€的直角坐標(biāo)方程為，曲線的普通方程為．（2）點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，點(diǎn)在直線上，設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入，得，設(shè)點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，，所以．19.橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)M（0，-1），直線l經(jīng)過點(diǎn)N（2，1）且與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)（異于點(diǎn)M），記直線MA的斜率為，直線MB的斜率為，證明為定值，并求出該定值.參考答案：(Ⅰ)(Ⅱ)見證明【分析】(Ⅰ)根據(jù)已知得到關(guān)于a,b,c的方程組，解方程組即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)先考慮直線l的斜率不存在的情況，再考慮斜率存在的情況，直線l的方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理，再求出，化簡即得其為定值.【詳解】（Ⅰ）將代入中，由可得，所以弦長為，故有，解得，所以橢圓的方程為：．（Ⅱ）若直線l的斜率不存在，即直線的方程為x=2，與橢圓只有一個交點(diǎn)，不符合題意。設(shè)直線l的斜率為k，若k=0，直線l與橢圓只有一個交點(diǎn)，不符合題意，故k≠0.所以直線l的方程為，即，直線l的方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立得：消去y得:,設(shè)，則，,把代入上式，得，命題得證.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中的定值問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知.（Ⅰ）求函數(shù)在上的最小值；（Ⅱ）對一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）證明：對一切，都有成立.參考答案：略21.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（I）求函數(shù)的解析式，并寫出的單調(diào)減區(qū)間；（II）已知的內(nèi)角分別是A，B，C，若的值.

參考答案：解：（Ⅰ）由圖象最高點(diǎn)得，

由周期得所以當(dāng)時，，可得因?yàn)樗怨?/p>

由圖像可得的單調(diào)遞減區(qū)間為

………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

,又，

.

……12分略22.廠家在產(chǎn)品出廠前，需對產(chǎn)品做檢驗(yàn)，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時，商家按合同規(guī)定也需要隨機(jī)抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗(yàn)，以決定是否接收這批產(chǎn)品（1）若廠家?guī)旆恐械拿考a(chǎn)品的合格率為0.8。從中任意取出4件進(jìn)行檢驗(yàn)，求至少有一件是合格品的概率；（2）若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品，其中有3件不合格，按合同規(guī)定該商家從中任取兩件，都進(jìn)行檢查，只有兩件都合格時才接收這批產(chǎn)品，否則拒收，求該商家拒收這批產(chǎn)品的概