山西省大同市鴉兒崖中學2021年高一數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知某地區中小學生人數和近視情況分別如圖1和圖2所示，為了了解該地區中小學生的近視形成原因，按學段用分層抽樣的方法抽取該地區4%的學生進行調查，則樣本容量和抽取的初中生中近視人數分別為（

）A.400，54 B.200，40 C.180，54 D.400，40參考答案：A【分析】根據分層抽樣的定義建立比例關系即可得到結論。【詳解】由圖1得樣本容量為，抽取的初中生人數為人，則初中生近視人數為人，故選．【點睛】本題主要考查分層抽樣的應用。2.集合A={﹣1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有（）A．2個 B．4個 C．6個 D．8個參考答案：B【考點】子集與真子集．【分析】根據題意，列舉出A的子集中，含有元素0的子集，進而可得答案．【解答】解：根據題意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，﹣1}、{﹣1，0，1}，四個；故選B．【點評】元素數目較少時，宜用列舉法，當元素數目較多時，可以使用并集的思想．3.如圖所示，D是△ABC的邊AB的中點，則向量=（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】利用向量加法的三角形法則可得，化簡后可得正確選項.【詳解】，故選C.【點睛】本題考查向量的線性運算，屬于基礎題.4.已知函數f（x）是奇函數，當x＞0時，f（x）=x（1﹣x）；當x＜0時，f（x）等于（）A．﹣x（1+x） B．x（1+x） C．x（1﹣x） D．﹣x（1﹣x）參考答案：B【考點】函數奇偶性的性質．【分析】要求x＜0時的解析式，先設x＜0，則﹣x＞0，因為已知x＞0時函數的解析式，所以可求出f（﹣x），再根據函數的奇偶性來求f（x）與f（﹣x）之間的關系可求【解答】解：設x＜0，則﹣x＞0，∵當x＞0時，f（x）=x（﹣x+1），∴f（﹣x）=﹣x（x+1）又∵f（x）是定義在R上的奇函數，∴f（x）=﹣f（﹣x）=x（x+1）故選B5.函數f（x）=，若f（a）=1，則a的值是（）A．2 B．1 C．1或2 D．1或﹣2參考答案：A【考點】函數的零點；函數的值．【分析】根據分段函數，直接解方程即可得到結論．【解答】解：若a＜2，則由f（a）=1得，3a﹣2=1，即a﹣2=0，∴a=2．此時不成立．若a≥2，則由f（a）=1得，log=1，得a2﹣1=3，即a2=4，∴a=2，故選：A．6.已知角θ的頂點在坐標原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直線3x﹣y=0上，則等于（）A．﹣ B． C．0 D．參考答案：B【考點】運用誘導公式化簡求值．【分析】利用三角函數的定義，求出tanθ，利用誘導公式化簡代數式，代入即可得出結論．【解答】解：∵角θ的頂點在坐標原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直線3x﹣y=0上，∴tanθ=3，∴===，故選：B．【點評】本題考查三角函數的定義，考查誘導公式的運用，正確運用三角函數的定義、誘導公式是關鍵．7.若滿足條件C＝60°，AB＝，BC＝的△ABC有（

）個A.0

B.1 C.2

D.3參考答案：C【分析】通過判斷與c判斷大小即可得到知道三角形個數.【詳解】由于，所以△ABC有兩解，故選C.【點睛】本題主要考查三角形解得個數判斷，難度不大.8.

（

）A．

B． C． D．

參考答案：D9.定義在R上的函數滿足，（），則下面成立的是（

）

A．

B．C． D．參考答案：B略10.如圖，該程序框圖所輸出的結果是（

）

A、32

B、62

C、63

D、64參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，，則線段的中點的坐標是________.參考答案：12.若函數f(x)＝cosx＋|2x－a|為偶函數，則實數a的值是

．參考答案：013.已知函數且，則

。參考答案：14.函數在區間上的最小值為

.參考答案：115.若△ABC的面積為，BC=2，C=，則邊AB的長度等于_____________.參考答案：216.設，，，則a，b，c由小到大的順序為

．參考答案：c＜a＜b【考點】不等關系與不等式；指數函數的圖象與性質；對數值大小的比較．【分析】由0＜sin，cos，tan＜1及冪函數、指數函數、對數函數的圖象或性質即可比較出a，b，c的大小．【解答】解：∵，∴0，即c＜0；∵，∴0＜＜1，即0＜a＜1；∵tan＞0，∴，即b＞1．故c＜a＜b．17.不等式的解集為___________。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知向量（為實數）．（I）時，若，求；（II）若，求的最小值，并求出此時向量在方向上的投影．參考答案：解：（I）,,, （4分）

得； （6分）（II）時，， （9分）當時，， （12分）此時，在方向上的投影． （15分）略19.設數列的前項和為，已知，.⑴求的值；⑵求數列的通項公式；⑶證明：對一切正整數，有.參考答案：⑴；⑵；⑶當時，；當時，；當時，，此時=20.設方程的解集為，方程的解集為，，求參考答案：略21.若在定義域內存在實數，使得成立，則稱函數有“和一點”.（1）函數是否有“和一點”？請說明理由；（2）若函數有“和一點”，求實數a的取值范圍；（3）求證：有“和一點”.參考答案：（1）不存在；（2）a＞﹣2；（3）見解析【分析】（1）解方程即可判斷；（2）由題轉化為2（x+1）+a+2x+1＝2x+a+2x+2+a+2有解，分離參數a＝2x﹣2求值域即可求解；（3）由題意判斷方程cos（x+1）＝cosx+cos1是否有解即可．【詳解】（1）若函數有“和一點”，則不合題意故不存在（2）若函數f（x）＝2x+a+2x有“和一點”.則方程f（x+1）＝f（x）+f（1）有解，即2（x+1）+a+2x+1＝2x+a+2x+2+a+2有解，即a＝2x﹣2有解，故a＞﹣2；（3）證明：令f（x+1）＝f（x）+f（1），即cos（x+1）＝cosx+cos1，即cosxcos1﹣sinxsin1﹣cosx＝cos1，即（cos1﹣1）cosx﹣sinxsin1＝cos1，故存在θ，故cos（x+θ）＝cos1，即cos（x+θ）＝cos1，即cos（x+θ），∵cos21﹣（2﹣2cos1）＝cos21+2cos1﹣2＜cos22cos22＜0，故01，故方程cos（x+1）＝cosx+cos1有解，即f（x）＝cosx函數有“和一點”.【點睛】本題考查了新定義及分類討論的思想應用，同時考查了三角函數的化簡與應用，轉化為有解問題是關鍵，是中檔題22.定義：在R上的函數f(x)滿足：若任意∈R，都有f()≤，則稱函數f(x)是R上的凹函數.已知二次函數,(∈R,≠0).（1）當＞0時，判斷函數f(x)是否為R上凹函數，若是，請給出證明，若不是,說明理由.（2）如果x∈［0,1］時，|f(x)|≤1，試求實數的取值范圍.參考答案：（1）函數f(x)是R上凹函數

證明如下：對任意x＞0,∴［f(x)+f(x)］-2f(［()］=x≥0.

∴